Эконометрика, вариант 4

1. В таблице представлены измеренные значения х, объясняющей переменной и соответствующие значения y зависимой переменной:
х 72 58 15 62 18 28 83 63 49 10
y 33 19 5 29 19 22 34 31 15 12
А) найти выборочное уравнение регрессии у по х:
;
Б) постройте корреляционное поле и график полученной выборочной функции регрессии;
В) вычислить выборочный коэффициент корреляции объясняющей и зависимой переменных;
Г) найти доверительный интервал для функции регрессии с заданной доверительной вероятностью γ=0,95;
Д) найти доверительный интервал для коэффициента регрессии и для дисперсии возмущений с заданной доверительной вероятностью γ=0,95;
Е) вычислить вариации ; ; и проверить уравнение регрессии на значимость по F-критерию Фишера-Сендекора при уровне значимости α=0,05;
Ж) найти значение коэффициента де ...

1. В таблице представлены измеренные значения х, объясняющей переменной и соответствующие значения y зависимой переменной:
х 72 58 15 62 18 28 83 63 49 10
y 33 19 5 29 19 22 34 31 15 12
А) найти выборочное уравнение регрессии у по х:
;
Б) постройте корреляционное поле и график полученной выборочной функции регрессии;
В) вычислить выборочный коэффициент корреляции объясняющей и зависимой переменных;
Г) найти доверительный интервал для функции регрессии с заданной доверительной вероятностью γ=0,95;
Д) найти доверительный интервал для коэффициента регрессии и для дисперсии возмущений с заданной доверительной вероятностью γ=0,95;
Е) вычислить вариации ; ; и проверить уравнение регрессии на значимость по F-критерию Фишера-Сендекора при уровне значимости α=0,05;
Ж) найти значение коэффициента детерминации.

2.Задан временной ряд величины у:
t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
y 27 36 29 41 54 71 50 81 98 75
а) найти линейное уравнение тренда у по t;
б) проверить значимость уравнения тренда при уровне значимости α=0,05. Найти точечный прогноз значения ряда в момент t=11 по уравнению тренда;
в) провести сглаживание временного ряда методом скользящей средней при m=3;
г) построить на одном графике эмпирические значения временного ряда, линию тренда и ломаную полученную в результате применения скользящей средней;
д) проверить ряд на наличие автокорреляции ошибок по критерию Дарбина-Уотсона при α=0,05;
е) Если по критерию Дарбина-Уотсона гипотеза об отсутствии автокорреляции ошибок принимается, то найти доверительный интервал для значения ряда в момент t=11 при уровне значимости α=0,05

1. В таблице представлены измеренные значения х, объясняющей переменной и соответствующие значения y зависимой переменной:
х 72 58 15 62 18 28 83 63 49 10
y 33 19 5 29 19 22 34 31 15 12
А) найти выборочное уравнение регрессии у по х:
;
Б) постройте корреляционное поле и график полученной выборочной функции регрессии;
В) вычислить выборочный коэффициент корреляции объясняющей и зависимой переменных;
Г) найти доверительный интервал для функции регрессии с заданной доверительной вероятностью γ=0,95;
Д) найти доверительный интервал для коэффициента регрессии и для дисперсии возмущений с заданной доверительной вероятностью γ=0,95;
Е) вычислить вариации ; ; и проверить уравнение регрессии на значимость по F-критерию Фишера-Сендекора при уровне значимости α=0,05;
Ж) найти значение коэффициента де терминации.

2.Задан временной ряд величины у:
t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
y 27 36 29 41 54 71 50 81 98 75
а) найти линейное уравнение тренда у по t;
б) проверить значимость уравнения тренда при уровне значимости α=0,05. Найти точечный прогноз значения ряда в момент t=11 по уравнению тренда;
в) провести сглаживание временного ряда методом скользящей средней при m=3;
г) построить на одном графике эмпирические значения временного ряда, линию тренда и ломаную полученную в результате применения скользящей средней;
д) проверить ряд на наличие автокорреляции ошибок по критерию Дарбина-Уотсона при α=0,05;
е) Если по критерию Дарбина-Уотсона гипотеза об отсутствии автокорреляции ошибок принимается, то найти доверительный интервал для значения ряда в момент t=11 при уровне значимости α=0,05

№ п/п
у
 
 
 
 
1
33
30,2
7,9
100,0
51,7
2
19
25,7
44,4
16,0
7,1
3
5
11,8
45,6
324,0
126,6
4
29
27,0
4,2
36,0
15,6
5
19
12,7
39,4
16,0
105,7
6
22
16,0
36,5
1,0
49,6
7
34
33,7
0,1
121,0
115,5
8
31
27,3
13,9
64,0
18,3
9
15
22,7
60,0
64,0
0,1
Сумма
207
207
251,9
742,0
490,1
Среднее
23
23
28,0
82,4
54,5
Проанализируем надежность уравнений в целом через F-критерий Фишера-Синдекора для уровня значимости a = 0,05. Оценку статистической значимости уравнения регрессии осуществим при использовании F -критерия Фишера. Фактическое значение F - критерия определим по формуле:
.
Вывод: Табличное значение критерия при уровне значимости в 5% и степенях свободы k1 =1 и k2 = 9- 2=7 будет равно Fтабл =5,59. В результате получаем, чтоFфакт=13,65>Fтабл =5,59, а следовательно при 5%-м уровне значимости можно утверждать что уравнение регрессии является статистически значимым.
Ж) Рассчитаем коэффициент детерминации: .
Вывод: Значение коэффициента детерминации свидетельствует о том, что 66,1% вариации у можно объяснить вариацией фактора х, а 33,9% влиянием прочих факторов.
2.Задан временной ряд величины у:
t
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y
27
36
29
41
54
71
50
81
98
75
а) найти линейное уравнение тренда у по t;
б) проверить значимость уравнения тренда при уровне значимости α=0,05. Найти точечный прогноз значения ряда в момент t=11 по уравнению тренда;
в) провести сглаживание временного ряда методом скользящей средней при m=3;
г) построить на одном графике эмпирические значения временного ряда, линию тренда и ломаную полученную в результате применения скользящей средней;
д) проверить ряд на наличие автокорреляции ошибок по критерию Дарбина-Уотсона при α=0,05;
е) Если по критерию Дарбина-Уотсона гипотеза об отсутствии автокорреляции ошибок принимается, то найти доверительный интервал для значения ряда в момент t=11 при уровне значимости α=0,05.
Решение:
А) найдем линейное уравнение тренда у по t.
Построим вспомогательную таблицу для определения параметров линейного уравнения тренда:
t
y
t2
Y2
tY
1
27
1
729
27
2
36
4
1296
72
3
29
9
841
87
4
41
16
1681
164
5
54
25
2916
270
6
71
36
5041
426
7
50
49
2500
350
8
81
64
6561
648
9
98
81
9604
882
10
75
100
5625
750
Сумма
562
385
36794
3676
Средняя
56,2
38,5
3679
367,6
Определим значения параметров уравнения:
,
.
, .
,
.
Получаем уравнение вида: .
Таким образом, с течением времени показатель у возрастает.
б) проверим значимость уравнения тренда при уровне значимости α=0,05.
Используем формулу:
, где R2 – коэффициент детерминации, который определим по формуле:
.
Построим вспомогательную таблицу.
t
y
 
 
 
1
27
24,3
7,3
852,6
2
36
31,4
21,3
408,0
3
29
38,5
89,7
739,8
4
41
45,6
20,8
231,0
5
54
52,7
1,8
4,8
6
71
59,7
126,7
219,0
7
50
66,8
283,5
38,4
8
81
73,9
50,0
615,0
9
98
81,0
288,4
1747,2
10
75
88,1
171,8
353,4
Сумма
562
562,0
1061,4
5209,6
Средняя
56,2
56,2
106,14
520,96
Получаем:
; .
Fkp = 5,32.
Поскольку F > Fkp, то уравнение тренда статистически значимо.
Найдем точечный прогноз значения ряда в момент t=11 по уравнению тренда.
Получаем: .
в) проведем сглаживание временного ряда методом скользящей средней при m=3.
Проведем выравнивание с помощью сглаживание методом скользящей средней. Этот метод состоит в замене абсолютных уровней ряда динамики их средними арифметическими значениями за определенные интервалы. Выбираются эти интервалы способом скольжения: постепенно исключаются из интервала первые уровни и включаются последующие.
Например, если дан ряд ежегодных уровней: x1, x2,…, x9, - то трехлетняя скользящая средняя определяется следующим образом:
для первого интервала ;
для второго интервала ;
для третьего интервала и т.д.
Расчет представим в таблице.
t