Задачи

Задание 1.
Имеются следующие выборочные данные за отчетный период по предприятиям одной из корпораций (выборка 10%-ная, механическая).
Таблица 1
Исходные данные
Номер
предприятия
Среднесписочная численность работников, чел. Объем выпуска продукции, млн.руб. Номер
предприятия
Среднесписочная численность работников, чел. Объем выпуска продукции, млн.руб.
1 221 426,45 16 232 466,94
2 156 391,95 17 108 273,33
3 225 436,54 18 264 561,22
4 251 499,75 19 122 315,67
5 265 581,42 20 150 358,20
6 158 356,20 21 199 381,8
7 120 269,20 22 242 459,20
8 190 444,72 23 293 567,13
9 253 430,42 24 178 368,44
10 179 360,21 25 227 483,34
11 267 512,42 26 308 716,20
12 304 654,32 27 266 551,83
13 191 461,61 28 307 689,35
14 201 365,82 29 211 475,90
15 110 256,20 30 189 450,22
Задание 1
По исходным данным:
1. ...

Задание 1.
Имеются следующие выборочные данные за отчетный период по предприятиям одной из корпораций (выборка 10%-ная, механическая).
Таблица 1
Исходные данные
Номер
предприятия
Среднесписочная численность работников, чел. Объем выпуска продукции, млн.руб. Номер
предприятия
Среднесписочная численность работников, чел. Объем выпуска продукции, млн.руб.
1 221 426,45 16 232 466,94
2 156 391,95 17 108 273,33
3 225 436,54 18 264 561,22
4 251 499,75 19 122 315,67
5 265 581,42 20 150 358,20
6 158 356,20 21 199 381,8
7 120 269,20 22 242 459,20
8 190 444,72 23 293 567,13
9 253 430,42 24 178 368,44
10 179 360,21 25 227 483,34
11 267 512,42 26 308 716,20
12 304 654,32 27 266 551,83
13 191 461,61 28 307 689,35
14 201 365,82 29 211 475,90
15 110 256,20 30 189 450,22
Задание 1
По исходным данным:
1.Постройте статистический ряд распределения организаций по признаку среднесписочная численность работников, образовав пять групп с равными интервалами;
2. Графическим и расчетным методами определите значения моды и медианы полученного ряда распределения;
3. Рассчитайте характеристики интервального ряда распределения: среднюю арифметическую, средне квадратическое отклонение, коэффициент вариации.
Сделайте выводы по результатам выполнения пунктов 1,2,3.
4. Вычислите среднюю арифметическую по исходным данным, сравните ее с аналогичным показателем, рассчитанным в п.3 для интервального ряда распределения. Объясните причину их расхождения.

Задача 2.
По исходным данным с использованием результатов выполнения задания 1:
1. Установите наличие и характер корреляционной связи между признаками «среднесписочная численность работников» и «объем выпуска продукции», используя метод аналитической группировки;
2. Оцените силу и тесноту корреляционной связи между названными признаками, используя коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение.
3. Оцените статистическую значимость показателя силы связи.
Сделайте выводы по результатам выполнения задания.
Задача 3.
По результатам выполнения задания 1 с вероятностью 0,997 определите:
1. Ошибку выборки среднего размера среднесписочной численности работников и границы, в которых будет находиться величина среднесписочной численности работников для генеральной совокупности.
2. Ошибку выборки доли предприятий со среднесписочной численностью работников 228 чел. и более, а также границы, в которых будет находиться генеральная доля.
Задача 4.
Имеются следующие условные данные по организации:
Показатель Базисный период Отчетный период
Объем выпуска продукции, млн.руб. 307,5 430,0
Среднесписочная численность работников, чел. 577,0 621,0

Определите:
1. Уровень производительности труда (выработки) работников за каждый период;
2. Абсолютные и относительные изменения всех показателей в отчетном периоде по сравнению с базисным;
3. Абсолютные изменения объема выпуска продукции под влиянием изменения:
а) среднесписочной численности работников;
б) производительности труда;
в) среднесписочной численности работников и производительности труда (двух факторов вместе).
Сделайте выводы.

Задание 1.
Имеются следующие выборочные данные за отчетный период по предприятиям одной из корпораций (выборка 10%-ная, механическая).
Таблица 1
Исходные данные
Номер
предприятия
Среднесписочная численность работников, чел. Объем выпуска продукции, млн.руб. Номер
предприятия
Среднесписочная численность работников, чел. Объем выпуска продукции, млн.руб.
1 221 426,45 16 232 466,94
2 156 391,95 17 108 273,33
3 225 436,54 18 264 561,22
4 251 499,75 19 122 315,67
5 265 581,42 20 150 358,20
6 158 356,20 21 199 381,8
7 120 269,20 22 242 459,20
8 190 444,72 23 293 567,13
9 253 430,42 24 178 368,44
10 179 360,21 25 227 483,34
11 267 512,42 26 308 716,20
12 304 654,32 27 266 551,83
13 191 461,61 28 307 689,35
14 201 365,82 29 211 475,90
15 110 256,20 30 189 450,22
Задание 1
По исходным данным:
1. Постройте статистический ряд распределения организаций по признаку среднесписочная численность работников, образовав пять групп с равными интервалами;
2. Графическим и расчетным методами определите значения моды и медианы полученного ряда распределения;
3. Рассчитайте характеристики интервального ряда распределения: среднюю арифметическую, средне квадратическое отклонение, коэффициент вариации.
Сделайте выводы по результатам выполнения пунктов 1,2,3.
4. Вычислите среднюю арифметическую по исходным данным, сравните ее с аналогичным показателем, рассчитанным в п.3 для интервального ряда распределения. Объясните причину их расхождения.

Задача 2.
По исходным данным с использованием результатов выполнения задания 1:
1. Установите наличие и характер корреляционной связи между признаками «среднесписочная численность работников» и «объем выпуска продукции», используя метод аналитической группировки;
2. Оцените силу и тесноту корреляционной связи между названными признаками, используя коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение.
3. Оцените статистическую значимость показателя силы связи.
Сделайте выводы по результатам выполнения задания.
Задача 3.
По результатам выполнения задания 1 с вероятностью 0,997 определите:
1. Ошибку выборки среднего размера среднесписочной численности работников и границы, в которых будет находиться величина среднесписочной численности работников для генеральной совокупности.
2. Ошибку выборки доли предприятий со среднесписочной численностью работников 228 чел. и более, а также границы, в которых будет находиться генеральная доля.
Задача 4.
Имеются следующие условные данные по организации:
Показатель Базисный период Отчетный период
Объем выпуска продукции, млн.руб. 307,5 430,0
Среднесписочная численность работников, чел. 577,0 621,0

Определите:
1. Уровень производительности труда (выработки) работников за каждый период;
2. Абсолютные и относительные изменения всех показателей в отчетном периоде по сравнению с базисным;
3. Абсолютные изменения объема выпуска продукции под влиянием изменения:
а) среднесписочной численности работников;
б) производительности труда;
в) среднесписочной численности работников и производительности труда (двух факторов вместе).
Сделайте выводы.

Итого:
30
100
--
Рассчитаем моду и медиану.
Мода (Мо) - это значение варьирующего признака, наиболее часто встречающееся в данном ряду. Модой в дискретном ряду является вариант, имеющий наибольшую частоту.
В интервальном же вариационном ряду моду определяют по формуле:
;
где xMo - минимальная граница модельного интервала;
iMo - величина интервала;
fMo, fMo-1, fMo+1 - частота модельного интервала, предшествующего интервала, следующего за модальным.
Медиана (Ме) - это численное значение признака у той единицы изучаемой совокупности, которая находится в середине ранжированного ряда.
Численное значение медианы можно определить по ряду накопленных частот. Накопленная частота для медианы равна половине объема совокупности. Для интервального ряда в этом случае определяется только интервал, само значение определяется по формуле:
;
где: xMe - начальное значение медианного интервала;
iMe - величина интервала;
SMe-1 - накопленная частота в интервале , предшествующем медианному;
fMe - частота медианного интервала.
Модальный интервал определяется по наибольшей частоте. Модальный интервал от 188 до 228 чел.(так как f=9). Медианный интервал – это интервал, в котором накопленная частота больше полусуммы всех частот (по таблице 3).
Медианный интервал также от 188 до 228 чел.. , так как половина всех частот равна 15, и это значение находится в указанном интервале.
Делаем расчеты по формулам:
Таким образом, половина предприятий имеет среднесписочную численность менее 215 человек, а вторая половина более 215 человек. Чаще всего встречается численность персонала 220 чел.
Рис.1 Гистограмма распределения предприятий по среднесписочной численности работников.
Рис. 2 Кумулята распределения предприятий по среднесписочной численности работников.
Рассчитаем характеристики интервального ряда распределения. Для этого составим вспомогательную таблицу.
Таблица 4.
Расчетная таблица для нахождения характеристик ряда распределения.
№ п/п
Группы предприятий
по среднесписочной
численности
работников
Число
предприятий
Середина
интервала
 
 
 
 
1
108-148
4
128
512
-84
7056
28224
2
148-188
5
168
840
-44
1936
9680
3
188-228
9
208
1872
-4
16
144
4
228-268
8
248
1984
36
1296
10368
5
268-308
4
288
1152
76
5776
23104
 
Итого:
30
 
6360
 
71520
Рассчитываем среднесписочную численность работников по среднеарифметической взвешенной:
чел.
Найдем дисперсию:
Далее находим среднеквадратичное отклонение:
Коэффициент вариации:
Исчисленный коэффициент вариации менее 33%, совокупность предприятий по признаку среднесписочной численности работников является однородной.
Исчисляем среднесписочную численность работников по исходным данным:
(является более точной)
Задача 2.
По исходным данным с использованием результатов выполнения задания 1:
1. Установите наличие и характер корреляционной связи между признаками «среднесписочная численность работников» и «объем выпуска продукции», используя метод аналитической группировки;
2. Оцените силу и тесноту корреляционной связи между названными признаками, используя коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение.
3. Оцените статистическую значимость показателя силы связи.
Сделайте выводы по результатам выполнения задания.
Решение:
Для измерения тесноты и силы связи между факторным и результативным признаками рассчитывают специальные показатели – эмпирический коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение .
Эмпирический коэффициент детерминации оценивает силу связи, определяя, насколько вариация результативного признака Y объясняется вариацией фактора Х (остальная часть вариации Y объясняется вариацией прочих факторов). Показатель рассчитывается как доля межгрупповой дисперсии в общей дисперсии по формуле
,
где – общая дисперсия признака Y,
– межгрупповая (факторная) дисперсия признака Y.
Значения показателя изменяются в пределах . При отсутствии корреляционной связи между признаками Х и Y имеет место равенство =0, а при наличии функциональной связи между ними - равенство =1.
Рассчитаем средние показатели по группам.
Таблица 5
Группировка предприятий
№
п/п
Группы предприятий
по среднесписочной
численности
работников
Число
предприятий
Среднесписочная
численность
работников, чел.
Объем выпуска продукции, млн.руб.
Всего
В среднем
на одном
предприятии
Всего
В среднем
на одном
предприятии
А
Б
1
2
3 (2:1)
4
5 (4:1)
1
108-148
4
460
115
1114,4
278,6
2
148-188
5
821
164,2
1835
367,0
3
188-228
9
1854
206
3926,4
436,3
4
228-268
8
2040
255
4063,2
507,9
5
268-308
4
1212
303
2627
656,8
 
Итого:
30
6387
212,9
13566
452,2
Вывод: из расчетных данных таблицы 5 прослеживается прямая связь между численностью работников предприятия и объемом выпуска продукции в расчете на одного работника. Так, при увеличении численности группы увеличивается и выпуск продукции на одного работника группы.
Строим аналитическую группировку и проведем связь между факторным и результативным признаками.
Измеряем полноту корреляционной связи между названными признаками с использованием коэффициента детерминации и эмпирического корреляционного отношения.
Таблица 6
Расчет межгрупповой дисперсии
№
п/п
Группы предприятий
по среднесписочной
численности
работников
Число
предприятий
Среднемесячные
затраты на рабочую
силу в расчете
на одного работника,
тыс.руб
 
 
 
Всего
В среднем
на одно
предприятие
А
Б
1
2
3 (2:1)
4
5
6
1
108-148
4
1114,4
278,6
-173,6
30137
120548
2
148-188
5
1835
367,0
-85,2
7259,04
36295,2
3
188-228
9
3926,4
436,3
-15,9
252,81
2275,29
4
228-268
8
4063,2
507,9
55,7
3102,49
24819,9
5
268-308
4
2627
656,8
204,55
41840,7
167363
 
Итого:
30
13566
452,2
 
 
351301
Расчет по формуле :
Общая дисперсия
или 88% доля вариации выпуска продукции.
Вариация объема выпуска продукции на 88% обусловлена среднесписочной численностью работников, а остальные 100-88= 12% - это неучтенные факторы.
Найдем тесноту связи, для этого определим эмпирическое корреляционное отношение:

Таким образом, связь между признаками среднесписочная численность работников и объем выпуска продукции в расчете на одного работника тесная.
Оценка статистической значимости коэффициента детерминации .
Показатели и рассчитаны для выборочной совокупности, т.е. на основе ограниченной информации об изучаемом явлении. Поскольку при формировании выборки на первичные данные могли иметь воздействии какие-либо случайные факторы, то есть основание полагать, что и полученные характеристики связи , несут в себе элемент случайности. Ввиду этого, необходимо проверить, насколько заключение о тесноте и силе связи, сделанное по выборке, будет правомерными и для генеральной совокупности, из которой была произведена выборка.
Проверка выборочных показателей на их неслучайность осуществляется в статистике с помощью тестов на статистическую значимость (существенность) показателя. Для проверки значимости коэффициента детерминации служит дисперсионный F-критерий Фишера, который рассчитывается по формуле
,
где n – число единиц выборочной совокупности,
m – количество групп,
– межгрупповая дисперсия,
– дисперсия j-ой группы (j=1,2,…,m),
– средняя арифметическая групповых дисперсий.
Величина рассчитывается, исходя из правила сложения дисперсий:
,
где – общая дисперсия.
Для проверки значимости показателя рассчитанное значение F-критерия Fрасч сравнивается с табличным Fтабл для принятого уровня значимости и параметров k1, k2, зависящих от величин n и m : k1=m-1, k2=n-m. Величина Fтабл для значений , k1, k2 определяется по таблице распределения Фишера, где приведены критические (предельно допустимые) величины F-критерия для различных комбинаций значений , k1, k2. Уровень значимости в социально-экономических исследованиях обычно принимается равным 0,05 (что соответствует доверительной вероятности Р=0,95).
Если FрасчFтабл , коэффициент детерминации признается статистически значимым, т.е. практически невероятно, что найденная оценка обусловлена только стечением случайных обстоятельств. В силу этого, выводы о тесноте связи изучаемых признаков, сделанные на основе выборки, можно распространить на всю генеральную совокупность.
Если FрасчFтабл, то показатель считается статистически незначимым и, следовательно, полученные оценки силы связи признаков относятся только к выборке, их нельзя распространить на генеральную совокупность.
Фрагмент таблицы Фишера критических величин F-критерия для значений =0,05; k1=3,4,5; k2=24-35 представлен ниже:
k2
k1
24
25
26
27
28
29