Основы теории Максвелла для электромагнитного поля

СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
ТЕОРИЯ МАКСВЕЛЛА
Электрическое и магнитное поля
Сила тока и Плотность тока
Уравнение Пуассона
ПРАКТИКА
Задача
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ЛИТЕРАТУРА

Основы теории Максвелла для электромагнитного поля

Для того, чтобы найти поля , и , в одной и той же точке, необходимо применить уравнение Максвелла к бесконечно малой площадке, окружающей точку.
Потоки через контур l (1-2-3-4) с площадью dS=dydz: нормальной компоненты поля Dxdydz, нормальной компоненты тока проводимости jxdydz, т.е.
3
Уравнение Пуассона
Аналогично для остальных компонент находим потоки через dzdx, dxdy площадки.
получаем
.
Теорема Гаусса для электрического и магнитного полей в дифференциальной форме представляется уравнением Пуассона.
Поток , через грань dydz (заштрихована) равен -Dxdydz, , а через грань параллельную ей, но смещенную по x на dx .
Поток D через обе эти грани равен
Аналогично вычисляя поток через все грани объема dV, получим полный заряд внутри dV:
- уравнение Пуассона4.
Уравнения Максвелла представим в форме
Важнейшим достижением Максвелла явилось включение тока смещения (переменного электрического поля) в уравнение для полного тока Ампера. Это позволило Максвеллу описать распространение электромагнитного поля в виде волн и построить электромагнитную теорию света в вакууме.
Рассмотрим распространение электромагнитного поля в однородной изотропной среде без границ, в которой нет зарядов и токов j=0, ρ=0.
Подействуем оператором rot на уравнение для :
Но , а .
Заменим и учтем, что div=0
Аналогично для
Это волновые уравнения, если
В вакууме ε=1, μ=1, т.е. - квадрат показателя преломления среды5.
Решение волновых уравнений в однородной безграничной среде имеет вид:
где ω и - неизвестные константы, которые нужно определить. Подставляя вид решений в волновое уравнение, получаем дисперсионное уравнение для волн в однородной изотропной безграничной среде:
Задавая ω - частоту, получим волновое число k и наоборот.
Скорость распространения волн определяется скоростью продвижения фазы колебаний в пространстве, т.е. фиксируя фазу , мы
можем найти фазовую скорость волны
Из дисперсного уравнения: vф=c/n.
Умножая первое уравнение на , а второе - на и вычитая, получаем
,
т.е.
- уравнение баланса энергии в единице объема, где - вектор Пойнтинга (плотность потока энергии), - плотность энергии электромагнитного поля. Уравнение баланса энергии имеет физический смысл: убыль плотности электромагнитного поля равна потоку энергии из объема в окружающее пространство6.
В изотропной среде волны поперечные, т.к.
образуют правую тройку векторов
и колеблются синфазно.
Докажем синфазность полей E и H в волне. Для плоской волны
Решения этих волновых уравнений имеют вид прямой и обратной волны.
7
для прямой волны найдем
и подставим в первое уравнение системы первого порядка
но , т.е.
Сохранение выделенного направления колебаний в пространстве вектора напряженности электрического поля при распространении волны называется поляризацией.
Три типа поляризации волны:
плоская (линейная),
круговая,
эллиптическая.
Экспериментальное подтверждение теория электромагнитных волн Максвелла получила в опытах Герца с электрическими контурами - вибраторами.
Герц экспериментально установил, что электромагнитные волны отражаются от металлических предметов.
Попов, а позже Маркони сконструировали приемники электромагнитных волн и осуществили радиосвязь8.
ПРАКТИКА
Задача
Основы теории Максвелла для электромагнитного поля
Задача
Напряженность электрического поля в зазоре между обкладками конденсатора площадью 1 см2, заполненного диэлектриком с диэлектрической проницаемостью 100, изменяется равномерно со скоростью 0,17 МВ/мс. Определить силу тока смещения в таком электрическом поле.
Решение
\(*)
Рассмотрим возникновение тока в конденсаторе.
Поверхностная плотность заряда конденсатора σ равна σ=D, т.е. полный заряд обкладок σS на каждой равен