Магнитогидродинамические волны в плазме

Содержание
1.Понятие плазмы
1.1.Общие сведения о плазме
1.2.Классификация видов плазмы
2. Плазма в магнитном поле
2.1. Движение заряженных частиц в магнитном поле
2.2. Кинетическая теория плазмы в магнитном поле
3. Магнитная гидродинамика
3.1. Уравнения магнитной гидродинамики
3.2. Простейшие равновесные системы
3.3. Волны в магнитной гидродинамике
3.4. Анизотропная магнитная гидродинамика
4. Устойчивость плазмы в гидродинамическом приближении
4.1. Метод малых колебаний
4.2. Устойчивость плоской границы и скинированного пинча
4.3. Устойчивость цилиндрического пинча
Список литературы

Магнитогидродинамические волны в плазме

Как раз такая ситуация часто осуществляется в низкотемпературной плазме МГД-генераторов. В высокотемпературных или достаточно разряженных плазмах замагниченными оказываютя и электроны, и ионы. К таким плазмам относятся: плазма в магнитных термоядерных ловушках, в верхних слоях ионосферы, в магнитосфере Земли, солнечной короне, газовых разрядах при низком давлении.
Во многих представляющих интерес случаях процессы, протекающие
в плазме, охватывают промежутки времени, меньшие времени соударения, но
значительно превышающие период ларморовского оборота частиц в магнитном поле. При этом можно пренебречь парными соударениями частиц. Подобная модель часто используется для исследований колебаний и волн в плазме и для анализа некоторых важных неустойчивостей плазмы в магнитном поле.
3. Магнитная гидродинамика
3.1. Уравнения магнитной гидродинамики
Уравнения магнитной гидродинамики были впервые рассмотрены Альфвеном, который объединил с уравнениями Максвелла три уравнения обычной гидродинамики:
3.
Здесь - масса, заключенная в единице объема, - скорость жидкости, - показатель адиабаты, - плотность электрического тока и - магнитное поле.
Первое уравнение непрерывности выражает закон сохранения массы или числа частиц. Второе уравнение движения представляет собой уравнение Ньютона, отнесенное к единичному объему среды. Последнее соотношение представляет собой уравнение адиабаты и соответствует закону сохранения энергии в условиях отсутствия теплопроводности.
В уравнения обычной гидродинамики Альфвена добавим силу Лоренса, с которой магнитное поле действует на единичный объем, если в нем течет ток, опустим ток смещения и учтем закон Ома. Окончательно система уравнений магнитной гидродинамики будет иметь следующий вид:
4и может быть сведена к трем
уравнениям для трех неизвестных , т.е. является замкнутой системой. Дополнительное уравнение можно рассматривать как некое начальное уравнение.
3.2. Простейшие равновесные системы
В случае статического равновесия () уравнения магнитной гидродинамики принимают вид:
5
При этом мы также предположим, что ,так как в задачах, связанных с осуществлением управляемой термоядерной реакции, можно
обычно не учитывать силу тяжести. Следовательно, линии поля В и линии тока j лежат на поверхностях постоянного давления. Рассмотрим примеры равновесных систем.
Самый простой случай получится, если магнитное поле имеет одну компоненту . В частности если магнитное поле внутри плазмы равно нулю, то давление внутри плазмы будет постоянным, граница плазмы будет резкой. Такая ситуация осуществляется в так называемых -пинчах, где столб плазмы сжимается нарастающим продольным магнитным полем.
Другим простейшим случаем является так называемый z-пинч, в котором по поверхности цилиндрического столба плазмы пропускается продольный ток I, создающий -тое магнитное поле. При одинаковых температурах электронов и ионов можно было бы легко достичь высоких температур, необходимых для протекания термоядерной реакции. К сожалению, такой простейший разряд оказывается неустойчивым.
Точно также неустойчивым является и -пинч с прямыми силовыми линиями. Для.стабилизации z-пинча в нем создают продольное магнитное поле, которое частично подавляет неустойчивость плазмы.
Рассмотренный пример полностью скинированного пинча с током, текущим лишь по его поверхности, является идеализированной моделью. В действительности проводимость плазмы не является бесконечно большой, и ток будет частично проникать внутрь плазмы.
Рассмотрим условие равновесия плазменного шнура в терроидальном кожухе, который считается идеально проводящим, в следствии чего в него не может проникать магнитное поле. Предположим, что пинч имееи форму тора с большим и мальм радиусом. Продольный -тый ток будем считать распределенным лишь по поверхности плазмы (скинированный случай). Этот ток создает снаружи пинча магнитное поле, силовые линии которого располагаются в меридиальных плоскостях rz. В простейшем случае можно считать, что давление плазмы постоянно по сечению шнура. При этом . Такие магнитные поля принято называть бессиловыми полями. Внутри плазмы имеется продольное поле, параллельно которому и может лишь протекать ток при постоянном давлении плазмы.
3.3. Волны в магнитной гидродинамике
Рассмотрим малые колебания однородной жидкости или газа. В обычном газе единственной формой такого движения является звук, представляющий собой упругие продольные (вдоль нормали к фронту волны) колебания молекул. В магнитной гидродинамике звуковые колебания в присутствии магнитного поля искажаются и становятся более сложными. Кроме того, появляется возможность движения нового типа – так называемых альфвеновских волн, связанных с новым фактором, учитываемым в уравнениях магнитной гидродинамики, а именно с упругостью силовых линий магнитного поля.
Механизм возникновения этих волн таков: средний слой газа, будучи сдвинут в сторону, увлекает за собой «вмороженные» магнитные силовые линии. Последние, стремясь сократиться, возвращают слой в исходное положение, однако по инерции он проскальзывает дальше, и цикл повторяется. Далее можно видеть, что этот колебательный процесс, затрагивает и соседние слои газа, которые также начнут колебаться. Следовательно, возмущение будет распространяться вдоль магнитного поля.
3.4. Анизотропная магнитная гидродинамика
Давление высокотемпературной плазмы может быть различным для разных направлений, если столкновения не успевают его выравнивать. В этом более общем анизотропном случае полученные ранее уравнения магнитной гидродинамики следует несколько изменить. Очевидно, те уравнения, в которые давление не входит, останутся неизменными.
Уравнение движения приобретает вид:
6
Здесь теперь - тензор давления, компоненты которого связаны с функцией распределения j(V) формулой
7, где - плотность, - отклонение истинной скорости частиц от средней, а угловые скобки обозначают усреднение от функции распределения.
Уравнение движения также можно записать в виде:
8, где - тензор полного давления.
4. Устойчивость плазмы в гидродинамическом приближении
4.1. Метод малых колебаний
Поскольку плазма состоит из многих частиц, то с механической точки зрения, она является системой со многими степенями свободы. Различные
движения в плазме можно рассматривать как возбуждение тех или иных степеней свободы, которые можно разбить на две большие группы: «индивидуальные», в которых участвуют отдельные единицы, и «коллективные», в которых участвуют сразу многие частицы. Первая группа соответствует тепловому движению частиц и не представляет большого интереса. Вторая группа включает разнообразные волны, которые могут возбуждаться в плазме.
Основная задача плазмы заключается в том, чтобы выяснить условия, при которых возбуждаются (или, наоборот, могут быть стабилизированы) те или иные виды колебаний, и установить их относительное влияние на поведение плазмы в целом.
Если система находится в равновесии, то обычный метод определения ее устойчивости состоит в исследовании малых возмущений, которые могут нарушить это равновесие. При этом амплитуда возмущений считается малой, и уравнения движений системы могут быть линеаризованы по амплитуде возмущения. Если равновесное состояние является стационарным, то коэффициенты в полученных линеаризованных уравнениях не будут зависеть от времени. При таком подходе, который можно назвать методом малых колебаний, определяется спектр возможных частот, и если частота может принимать лишь действительные значения, то равновесие является устойчивым. Если же частота может быть мнимым значением, то это свидетельствует о неустойчивости, так как при этом возмущения будут нарастать.
4.2. Устойчивость плоской границы и скинированного пинча
Задача об определении полного спектра частот в методе малых колебаний сводится к линейному уравнению второго порядка в частных производных, которое удается решить лишь в простейших случаях (если не прибегать к численным методам). Для проблемы управляемой термоядерной реакции наибольший интерес представляет задача об устойчивости цилиндрического пинча.
Предположим, что плазма, которую будем рассматривать как несжимаемую жидкость, находится в однородном поле тяжести и занимает верхнее полупространство. Снизу она поддерживается однородным внешним магнитным полем, параллельным границе. Внутри плазмы также имеется однородное поле, параллельное границе, но не обязательно параллельное внешнему полю. Тогда:
9. Здесь - альфвеновские скорости, а - производная по внешней нормали от скачка полного давления.