Роль ретроспективной информации в разработке прогноза

Введение
1. Ретроспективная информация в различных методах разработки прогнозов
1.1. Экспертные (интуитивные) методы прогнозирования
1.2. Формализованные (фактографические) методы прогнозирования
2. Примеры использования ретроспективной информации при статистических методах разработки прогноза
2.1. Использование ретроспективной информации при статистических методах разработки прогноза: общая характеристика
2.2. Использование при применении метода наименьших квадратов
2.2.1. Использование при применении метода наименьших квадратов с весами.
2.3. Использование при применении метода экспоненциального сглаживания
2.4. Использование при применении метода гармонических весов
2.5. Использование при применении метода авторегрессии
Заключение
Список литературы

Роль ретроспективной информации в разработке прогноза

f(t) = а0 + а1t +а1t2 – парабола;
f(t) = а0 + а1 / t – гипербола.
 Для линейной зависимости условие (2.1) запишется в виде
(2.2)
Для краткости обозначим сумму  через Q.
Тогда задача определения тренда формулируется так: найти такие значения коэффициентов а0 и а1, чтобы Q = minQ.
Необходимым условием осуществления минимума функции является равенство нулю частных производных этой функции по параметрам а0 и ах:
;
После преобразования получим систему так называемых нормальных уравнений:
  (2.3)
Решив эту систему относительно а0 и а1, получим пара­метры функции f(t) =a0 +a1t.
 В случае когда принимается гипотеза о квадратичном виде функции f(t), т. е. , система нормальных уравнений имеет вид:
  (2.4)
 
,,,,,и подставив их в систему (2.4), нужно решить эту систему относительно а0, a1, и а2 и получить искомые параметры.
В случае гиперболической зависимости f(t) = а0 + а1 / t – система нормальных уравнений имеет вид
После вычисления коэффициентов аппроксимирующих зависимостей производится процедура прогнозной экстраполяции, заключающаяся в расчете значений функции f(t) на будущие моменты времени t = n+1, n+2, n+3 и т. д. путем подстановки значения аргумента t в выражение тренда.7
 
 2.2.1. Использование при применении метода наименьших квадратов с весами.
 
Экстраполяция выполненной с помощью МНК тенденции изменений показателя на прогнозный период предполагает, что все наблюдения (уровни временного ряда) равнозначны для прогноза. Однако информация об изменении показателя в период времени, непосредственно примыкающий к моменту прогноза, «ценнее» для прогнозирования, чем в более удаленный. Но и более удаленные от момента прогноза наблюдения временного ряда также несут значительную информацию о процессе, поэтому пренебрегать этими наблюдениями при расчете прогноза не следует.
Для учета различной «ценности», или, как это принято в терминологии прогнозирования и информатики, «веса» информации в различные моменты времени применяют метод наименьших квадратов с весами (МНКВ) и метод экспоненциального сглаживания.
Рассмотрим метод наименьших квадратов с весами.8
Суть метода заключается в том, что каждому отклонению  придается вес < 1, причем веса возрастают для точек, находящихся ближе к моменту прогнозирования. Следовательно, чем дальше наблюдение (уровень) стоит от момента прогноза, тем меньший вес оно имеет, тем меньшее влияние оказывает на формирование уровня прогнозного значения показателя.
Для определения веса  удобно использовать выражение
, (2.5)
где – некоторое число, меньшее единицы; п – число наблюдений. Чем меньше величина , тем меньше ранние наблюдения влияют на прогноз.
Условие (2.5) для МНКВ запишется в виде
(2.6)
Система нормальных уравнений для МНКВ имеет вид:
 
 2.3. Использование при применении метода экспоненциального сглаживания
 
Идея метода заключается в том, что временной ряд сглаживается с помощью взвешенной скользящей средней, веса которой подчиняются экспоненциальному закону, причем чем дальше от момента прогноза отстоит точка ряда, тем меньшее участие принимает она в формировании прогнозного значения.
В общем виде скользящая средняя Sk временного ряда по т наблюдениям при длине ряда п определяется по формуле
; k+(m-1)<n (2.7)
 
Прогноз временных рядов методом экспоненциального сглаживания основывается на вычислении экспоненциальной средней k-го порядка для ряда xt:
  , (2.8)
где – экспоненциальная средняя k-го порядка для t-го наблюдения
 временного ряда;
  – экспоненциальная средняя [k-1]-гo порядка для [t-1]-гo наблюдения временного ряда;
к – порядок средней, характеризующий уровень ряда в зависимости от степени прогнозирующего полинома;
t – точка ряда, для которой вычисляется средняя;
i – номера точек, для которых вычисляется средняя,
 –параметр сглаживания.
 
2.4. Использование при применении метода гармонических весов
 
 В его основе лежит взвешивание скользящего показателя, но вместо скользящей средней используется идея скользящего тренда. Экстраполяция проводится по скользящему тренду, отдельные точки ломаной линии взвешиваются с помощью гармонических весов, что позволяет более поздним наблюдениям придавать больший вес.9
 Для осуществления прогноза данным методом исходный ряд динамики разбивается на фазы k. Число фаз должно быть меньше числа членов ряда п, т. е. k<n. Обычно фаза равна 3-5 уровням. Для каждой фазы рассчитывается линейный тренд,
т. е.
yi(t) = ai + bikt (i=1,2,...,n-k+1). (2.9)
В общем виде ряд гармонических весов определяют по формуле:
(2.10)
 
2.5. Использование при применении метода авторегрессии
 
В основе метода лежит гипотеза стационарности изучаемого явления, т. е. сохранения статистических характеристик явления без изменения на ретроспективном промежутке времени, в настоящем и будущем. В качестве информации, привлекаемой для прогноза, используется ряд динамики случайной прогнозируемой величины (компоненты). Относительно случайной компоненты  выдвигается гипотеза о том, что она представляет собой стационарный процесс.
Авторегрессионные модели можно применять при прогнозировании изучаемых экономических показателей динамического ряда только при выполнении следующих предпосылок:
1) отклонения от тренда  представляют собой стационарный в широком смысле случайный процесс;
2) отклонения от тренда  являются случайной величиной, не зависящей от времени;
3) отклонения от расчетных значений, полученных по авторегрессионной модели, имеют нормальный закон распределения с математическим ожиданием, равным 0;
4) в ряду отклонений от расчетных значений, полученных по авторегрессионной модели, отсутствует автокорреляция.
 Авторегрессионная модель:
(2.11)
Важным является оценка погрешности полученного прогноза.