Теория игр
Рассмотрим применение критериев в играх, которые являются математическими моделями процесса функционирования конфликтующих элементов систем, в котором действия игроков происходят по определенным правилам, называемых стратегиями.
Основной постулат теории игр – это то, что любой субъект системы по меньшей мере так же разумен, как и оперирующая сторона и делает все возможное для достижения своих целей. От реального конфликта игра (математическая модель конфликта) отличается тем, что она ведется по определенным правилам, которые устанавливают порядок и очередность действий субъектов системы, их информированность, порядок обмена информацией, формирование результата игры.
Существует много видов игр, различающихся по количеству игроков, числу ходов, характеру функций выигрыша и т.д.Выделим следующие основные игры:
антагонистические (игры со строгим соперничеством) и неантогонистические. В первом случае интересы игроков противоположны, во - втором - могут совпадать;
стратегические и нестратегические (в первых субъект системы действует независимо от остальных, преследуя свои цели, во вторых субъекты выбирают единую для всех стратегию);
парные игры и игры для N-лиц;
коалиционные и бескоалиционные;
кооперативные и некооперативные (в первых возможен обмен информацией о возможных стратегиях игроков);
конечные и бесконечные ( имеются в виду число стратегий).
Наибольшее распространение имеют парные стратегические бескоалиционные конечные некооперативные игры. Модель проблемной ситуации в этом случае имеет вид:
< U, V, W1, W2, R1, R2 >,
где
U - множество стратегий оперирующей стороны;
V - множество стратегий оппонирующей стороны;
W1 и W2 - показатели качества игроков;
R1 и R2 - системы предпочтения игроков.
Системы предпочтения игроков, в свою очередь, основываются на двух ведущих принципах рационального поведения: принципе наибольшего гарантированного результата и принципе равновесия.
Первый основан на том, что рациональным выбором одного из игроков должен считаться такой, при котором он рассчитывает на самую неблагоприятную для него реакцию со стороны другого игрока.
Второй принцип гласит, что рациональным выбором любого игрока считается такая стратегия u$ (или v$), для которой ситуация (u$, v$) обоюдовыгодна: любое отклонение от данной ситуации игры не является выгодным ни для одного из игроков.
Решается парная матричная игра с нулевой суммой (выигрыш одной стороны равен проигрышу другой) на основе рассмотрения платежной матрицы, которая представляет собой совокупность значений U и V (пара стратегий (u,v) U x V определяется как ситуацией игры) а также выигрышей Wij при парном сочетании всевозможных стратегий сторон.
Решение парной матричной игры может быть в чистых стратегиях, когда для каждой из сторон может быть определена единственная оптимальная стратегия, отклонение от которой невыгодно обоим игрокам. Если выгодно использовать несколько стратегий с определенной частотой их чередования, то решение находится в смешанных стратегиях.
Необходимо отметить, что при рассмотрении игр с использованием адаптивной системы число ее стратегий может быть существенно расширено благодаря реализации "гибких" конструкторских решений. Анализ игровых ситуаций в этом случае может быть направлен не только на выбор рационального варианта проектируемого изделия, но и на определение алгоритмов рационального применения системы в конфликтной ситуации.
Другая особенность применения методов теории игр заключается в выборе решений, получаемых на основе анализа конфликтной ситуации. В теории игр доказывается теорема о том, что оптимальная стратегия для каждого из игроков является оптимальной и для другого. Так, если решение игры получено в чистых стратегиях (имеется седловая точка), то выбор решения однозначен.
Отметим, что в случае наличия седловой точки ни один из игроков не может улучшить стратегию и стратегии называются чистыми. Отметим, что игра с чистыми стратегиями может существовать только при наличии полной информации о действиях противника.
Если же решение игры получено в смешанных стратегиях, то это эквивалентно созданию множества вариантов проектируемого компонента и использованию их с оптимальными частотам, соответствующими оптимальной смешанной стратегии. В случаях, когда не имеется полной информации о действиях противника, вводятся вероятности применения той или иной стратегии в виде векторов
P<n>=<p1, p2, ..., pn> - для игрока A, где ;
Q<m>=<q1, q2, ..., qn> - для игрока B, где .
При этом игрок A выбирает стратегию в соответствии с принципом максимина по выражению:
,
а игра B по принципу минимакса
.
При получении решения в смешанных стратегиях рекомендуются следующие случаи принятия окончательного решения:
для дальнейшего продолжения выбирается тот вариант, который гарантирует максимальное качество (выбор по максиминной стратегии аналогично критерию Вальда);
выбирается тот вариант, который в смешанной стратегии должен использоваться с максимальной вероятностью;
реализуется несколько вариантов изделия с частотами, соответствующими смешанной стратегии (создание адаптивно-модульных конструкций).
Важное значение в задачах исследования качества адаптивных систем имеет не только решение игры, но и анализ платежной матрицы. Это особенно важно в тех случаях, когда решение в смешанных стратегиях не реализуется. Этот анализ может проводиться на основе: оценки возможных потерь эффективности в случае реализации чистой стратегии; определения дополнительных затрат на их компенсацию с помощью "гибких" конструкторских решений; оценки достоверности рассмотренных стратегий противодействия; определения возможности реализации компромиссных вариантов и т.д.
Для анализа конфликтной ситуации требуется на основе математической модели операции построить платежную матрицу [Wmn] =[Wij], где Wij характеризует качество изделия при выборе i-го варианта проектируемого изделия и при j-м варианте противодействия противника.
Решение может быть получено в чистых стратегиях, когда есть седловая точка. Условие седловой точки имеет вид
,
где левая часть выражения - нижняя цена игры, правая - верхняя цена игры.
Если условие не выполняется, то седловая точка отсутствует и требуется реализация смешанной стратегии.
Решение в смешанных стратегиях состоит в реализации чистых стратегий с различными вероятностями, задаваемыми распределением:
для проектируемого изделия в виде вектора-столбца
G = {gi}, где i = 1,2 ...m; ;
для противодействия в виде вектора-строки
F = {fj}, где j = 1,2 ...n; ,
где
gi - вероятность выбора стратегии ui;
fj - вероятность выбора стратегии vj.
Платежную функцию запишем в следующем виде:
где индексом "т" обозначена процедура транспонирования.
Платежная функция W(G,F) всегда имеет седловую точку, т.е. всегда существует решение матричной игры. Это утверждение соответствует основной теореме теории матричных игр: каждая матричная игра с нулевой суммой имеет, по крайней мере, одно решение в чистых или смешанных стратегиях.
Последовательность решения игры следующая:
1. Анализируется платежная матрица на предмет исключения заведомо невыгодных и дублирующих стратегий.
1. Проверяется наличие седловой точки.
2. Если решение в чистых стратегиях отсутствует, то ищется решение в смешанных стратегиях с помощью методов линейного программирования или методом Монте-Карло.
Проведем вычисление с помощью описанных алгоритмов: