Наиболее часто используемые распределения вероятностей.

Оглавление
Введение
Основные дискретные распределения
Пуассоновское распределение
Биномиальное распределение
Геометрическое распределение
Основные непрерывные распределения
Равномерное распределение
Экспоненциальное распределение
Распределение Лапласа
Гамма-распределение
Нормальное распределение
Основные распределения в математической статистике
X2 – распределение
Распределение Стьюдента
Заключение
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Наиболее часто используемые распределения вероятностей.

..m Основные характеристики биноминального распределения: График этого распределения при различном числе испытаний п и вероятностях успеха р имеет вид: Рис.2. График биномиального распределенияБиномиальное распределение связано с нормальным распределением и распределением Пуассона; при определенных значениях параметров при большом числе испытаний оно превращается в эти распределения. [1]Геометрическое распределениеЕсли проводятся независимые испытания Бернулли и подсчитывается количество испытаний до наступления следующего «успеха», то это число имеет геометрическое распределение. Таким образом, если вы бросаете монету, то число подбрасываний, которое вам нужно сделать до выпадения очередного герба, подчиняется геометрическому закону. Геометрическое распределение определяется формулой: f(x) = p(1-p)x-1где р — вероятность успеха, х = 1, 2,3... Название распределения связано с геометрической прогрессией. Итак, геометрическое распределение задает вероятность того, что успех наступил на определенном шаге. [3]Геометрическое распределение представляет собой дискретный аналог показательного распределения. Если время изменяется квантами, то вероятность успеха в каждый момент времени описывается геометрическим законом. Если время непрерывно, то вероятность описывается показательным или экспоненциальным законом. Основные непрерывные распределенияРавномерное распределениеРавномерное распределение полезно при описании переменных, у которых каждое значение равновероятно, иными словами, значения переменной равномерно распределены в некоторой области. Ниже приведены формулы плотности и функции распределения равномерной случайной величины, принимающей значения на отрезке [а, b]. Положим а=0,b=1. Ниже показан график равномерной плотности вероятности, сосредоточенной на отрезке [0,1]. Рис.3. График равномерной плотности Числовые характеристики равномерного закона: Экспоненциальное распределениеЕсли Т — время между наступлениями редких событий, происходящих в среднем с интенсивностью X, то величина T имеет экспоненциальное распределение с параметром . Экспоненциальное распределение часто используется для описания интервалов между последовательными случайными событиями, например, интервалов между заходами на непопулярный сайт, так как эти посещения являются редкими событиями. Если распределение между моментами наступления некоторых событий является показательным, то распределение, отсчитанное от любого момента t до следующего события, также имеет показательное распределение (с тем же самым параметром). Иными словами, для потока редких событий время ожидания следующего посетителя всегда распределено показательно независимо от того, сколько времени вы его уже ждали. Показательное распределение связано с пуассоновским распределением: в единичном интервале времени количество событий, интервалы между которыми независимы и показательно распределены, имеет распределение Пуассона. [5]Если время не непрерывно, а дискретно, то аналогом показательного распределения является геометрическое распределение. Плотность экспоненциального распределения описывается формулой: Это распределение имеет только один параметр, который и определяет его характеристики. График плотности показательного распределения имеет вид: Рис.4. График плотности показательного распределенияОсновные числовые характеристики экспоненциального распределения:   Распределение ЛапласаФункция плотности распределения Лапласа, или, как его еще называют, двойного экспоненциального, используется, например, для описания распределения ошибок в моделях регрессии. Взглянув на график этого распределения, вы увидите, что оно состоит из двух экспоненциальных распределений, симметричных относительно оси OY. Если параметр положения равен 0, то функция плотности распределения Лапласа имеет вид: Основные числовые характеристики этого закона распределения в предположении, что параметр положения нулевой, выглядят следующим образом: Рис.5. Функция плотности распределения ЛапласаВ общем случае плотность распределения Лапласа имеет вид: где а — среднее распределения; b — параметр масштаба; е — число Эйлера (2,71...). Гамма-распределениеПлотность экспоненциального распределения имеет моду в точке 0, и это иногда неудобно для практических применений. Во многих примерах заранее известно, что мода рассматриваемой случайной переменной не равна 0, например, интервалы между приходами покупателей в магазин электронной торговли или заходами на сайт имеют ярко выраженную моду. Для моделирования таких событий используется гамма-распределение. Плотность гамма-распределения имеет вид: где Г — Г-функция Эйлера, а > 0 — параметр «формы» b > 0 — параметр масштаба. В частном случае имеем распределение Эрланга и экспоненциальное распределение. Основные характеристики гамма-распределения: Полезное свойство гамма-распределения: сумма любого числа независимых гамма-распределенных случайных величин (с одинаковым параметром масштаба b) также подчиняется гамма-распределению, но с параметрами а1 + а2 + … + аn и b.Нормальное распределениеНормальное распределение вероятностей особенно часто используется в статистике. Нормальное распределение дает хорошую модель для реальных явлений, в которых: 1) имеется сильная тенденция данных группироваться вокруг центра; 2) положительные и отрицательные отклонения от центра равновероятны; 3) частота отклонений быстро падает, когда отклонения от центра становятся большими. Формально плотность нормального распределения записывается так: где а и σ2 — параметры закона, интерпретируемые соответственно как среднее значение и дисперсия данной случайной величины (ввиду особой роли нормального распределения мы будем использовать специальную символику для обозначения его функции плотности и функции распределения). Визуально график нормальной плотности — это знаменитая колоколообразная кривая. Соответствующая функция распределения нормальной случайной величины (а, σ 2) обозначается Ф(x; a,σ2) и задается соотношением: Нормальный закон с параметрами а = 0 и σ 2 = 1 называется стандартным. Приведем некоторые полезные факты относительно нормального распределения. Среднее значение определяет меру расположения плотности. Плотность нормального распределения симметрична относительно среднего. Среднее нормального распределения совпадает с медианой и модой. Рис.6.