1. примеры экономических задач, решение которых сводится к математической задаче нахождения неотрицательных решений систем линейных алгебраических уравнений или неравенств 2. матричные и графические методы решения систем линейных уравнений

Введение
1.Примеры экономических задач, решение которых сводится к решению систем линейных уравнений (неравенств)
1.1. Прямая и двойственная задача линейного программирования
1.2. Задачи целочисленного программирования
1.3. Задача нахождения межотраслевого баланса
1.4. Задачи регрессионных эконометрических моделей
2. Матричные и графические методы решения систем линейных уравнений
2.1. Матричные методы
2.1.1.Система из n линейных уравнений c n неизвестными
2.1.2. Система из m линейных уравнений с n неизвестными
2.2. Графические методы
Литература:

1. примеры экономических задач, решение которых сводится к математической задаче нахождения неотрицательных решений систем линейных алгебраических уравнений или неравенств
2. матричные и графические методы решения систем линейных уравнений

,
где
-матрица коэффициентов прямых затрат,
-вектор- столбец валовой продукции,
-вектор-столбец конечной продукции.
С помощью этой модели можно выполнять три варианта расчётов:
Задав в модели величины валовой продукции каждой отрасли , можно определить объёмы конечной продукции каждой отрасли :
.
Задав величины конечной продукции всех отраслей можно определить величины валовой продукции каждой отрасли :
Здесь Е –единичная матрица порядка n, (Е-А)-1 –матрица, обратная к матрице (Е-А).
1.4. Задачи регрессионных эконометрических моделей
1.4.1. Однофакторная линейная модель
Предположим, что мы имеем статистические данные о расходах на питание, душевом доходе и размере семьи для нескольких групп семей. Требуется проанализировать зависимость величины расходов на питание от величины душевого дохода семьи.
Первый показатель (расходы на питание) – результативный признак, который обозначим через y, а два других будут факторными признаками, или просто факторами, и обозначим их соответственно, и .
Тогда однофакторная линейная модель зависимости расходов на питание y от величины душевого дохода семей , выражается линейной функцией вида:
,
параметры которой находятся в результате решения системы линейных уравнений:
,
где суммирование проводится по всем группам семей.
В дальнейшем решении оценивается полученное уравнение регрессии.
1.4.2. Двухфакторная линейная модель
Рассмотрим теперь зависимость расходов на питание y от величины душевого дохода семей и размера семей , которая выражается линейной функцией вида:
Параметры модели находятся путём решения системы уравнений:
и далее также происходит оценка полученного уравнения регрессии.
2. Матричные и графические методы решения систем линейных уравнений
2.1. Матричные методы
2.1.1.Система из n линейных уравнений c n неизвестными
Рассмотрим систему линейных уравнений, в которой число уравнений равно числу неизвестных
Если определитель матрицы системы не равен нулю, то эта система имеет единственное решение, которое можно найти либо по формулам Крамера3:
, ,…, ,
либо с помощью матричного уравнения:
, где -матрица, обратная матрице ,
.
2.1.2. Система из m линейных уравнений с n неизвестными
Теперь рассмотрим систему из m линейных уравнений с n неизвестными
.
Если ввести предварительно понятие ранга матрицы, то можно сформулировать теорему о существовании решения системы.
Пусть дана прямоугольная матрица
Рангом r матрицы А называется наибольший порядок минора этой матрицы, отличного от нуля. Для определения этого минора нужно с помощью элементарных преобразований привести матрицу к верхней треугольной (или трапецевидной) форме и посмотреть на количество не- нулевых строк матрицы –это и будет значение ранга матрицы.
Матрицы
и
называются соответственно матрицей и расширенной матрицей системы.
Теорема Кронекера-Капелли.4Для совместности системы (т.е.чтобы система имела хотя бы одно решение) m линейных уравнений c n неизвестными необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был равен рангу её расширенной матрицы.
Если , то система называется однородной – такая система всегда совместна.
Если ранг системы равен числу неизвестных (r=n), то система называется определённой (т.е. имеет одно решение как в предыдущем пункте).
Если же ранг системы меньше числа неизвестных (r<n) – то система неопределённая (т.е. имеет больше одного решения). Для решения такой системы необходимо рассмотреть какой-нибудь базисный минор матрицы А, выделить в этом миноре произвольную строку, элементы которой являются коэффициентами при r неизвестных в одном из уравнений системы. Эти неизвестные называются базисными, а остальные n-r неизвестных -свободными неизвестными. Далее из исходной системы выделяется система из r уравнений, среди коэффициентов которой содержатся элементы базисного минора. Базисные неизвестные в выделенной системе оставляются в левых частях уравнения, а члены, содержащие свободные неизвестные, переносятся вправо. Из полученной системы уравнений выражаются базисные неизвестные через свободные неизвестные (например, по формулам Крамера). Придавая свободным неизвестным произвольные значения, находим соответственные значения базисных неизвестных.
2.2. Графические методы
Графический метод решения применим к задачам линейного программирования. Рассмотрим его на следующем примере. Пусть дана задача максимизации линейной целевой функции
f(x) =x1 + Зх2  max