Что такое случайная величина

Случайные величины
Числовые характеристики случайных величин
Законы распределения случайных величин непрерывного типа
Равномерный закон распределения
Показательный закон
Нормальный закон
Литература

Что такое случайная величина

Различают следующие группы числовых характеристик: характеристики положения (математическое ожидание, мода, медиана, квантиль и др.), рассеивания (дисперсия, среднеквадратичное отклонение и др.), характеристики формы плотности распределения (показатель асимметрии, эксцесса и др.).
Математическим ожиданием (средним значением по распределению) называется действительное число, определяемое в зависимости от типа СВ Х формулой:
mX = M[X] =
Математическое ожидание существует, если ряд (соответственно интеграл) в правой части формулы сходится абсолютно. Если mX = 0, то СВ Х называется центрированной (обозначается ).
Свойства математического ожидания:
1. M[C] = C, где С - константа;
2. M[CX] = CM[X];
3. M[X+Y] = M[X]+M[Y], для любых СВ X и Y;
4. M[XY] = M[X]M[Y] + KXY, где KXY = M[] - ковариация СВ X и Y.
Начальным моментом k-го порядка (k = 0, 1, 2, ...) распределения СВ Х называется действительное число, определяемое по формуле:
k = M[Xk] =
Центральным моментом k-го порядка распределения СВ Х называется число, определяемое по формуле:
k = M[(X-mX)k]=
Из определений моментов, в частности, следует, что: 0 = 0 = 1, 1 = mX, 2 = DX = X2.
Модой СВНТ называется действительное число Mo(X) = x*, определяемое как точка максимума ПР f(x). Мода может иметь единственное значение (унимодальное распределение) или иметь множество значений (мультимодальное распределение).
Медианой СВНТ называется действительное число Mе(X) = x0, удовлетворяющее условию: P{X  x0} = P{X  x0} или F(x0) = 0,5.
Квантилем уровня р называется действительное число tp, удовлетворяющее уравнению: F(tp) = p. В частности, из определения медианы следует, что x0 = t0,5.
Дисперсией СВ Х называется неотрицательное число D[X] = DХ, определяемое формулой:
DX = M[(X-mX)2] = M[X2] - mX2 =
Дисперсия существует, если ряд (соответственно интеграл) в правой части равенства сходится. Свойства дисперсии:
1. D[C] = 0, где С - константа;
2. D[CX] = C2D[X];
3. D[X-C] = D[X], дисперсия, очевидно, не меняется от смещения СВ X;
4. D[X + Y] = D[X] + D[Y] + 2KXY, где KXY = M[] - ковариация СВ X и Y;
5.
Неотрицательное число Х = называется среднеквадратичным отклонением СВ X. Оно имеет размерность СВ Х и определяет некоторый стандартный среднеквадратичный интервал рассеивания, симметричный относительно математического ожидания. (Величину Х иногда называют стандартным отклонением). СВ Х называется стандартизованной, если mX = 0 и Х = 1. Если величина Х = const (т.е. Х не случайна), то D[X] = 0.
Показателем асимметрии ПР является коэффициент асимметрии (“скошенности”) распределения: A = 3/3X. Показателем эксцесса ПР является коэффициент эксцесса (“островершинности”) распределения: E = (4/4X)-3. В частности, для нормального распределения E = 0.
Законы распределения случайных величин непрерывного типа
Равномерный закон распределения
СВНТ Х называется распределенной равномерно на отрезке [a, b] (при этом для краткости говорят: СВ Х подчиняется закону R(a, b), т.е. Х  R(a, b)), если плотность распределения вероятностей постоянна на данном отрезке. Тогда плотность распределения (ПР) f(x) и функция распределения (ФР) F(x) будут иметь следующий вид:
f(x) = F(x) =
Основные числовые характеристики СВ Х  R(a, b):
mX = M[X] = (a + b)/2;
k = M[Xk] = (bk+1 - ak+1)/[(k + 1)(b - a)], k = 1, 2, ... ;
k = M[(X-mX)k] = [(b - a) k+1 - (a - b) k+1]/[2 k+1(k + 1)(b - a)],
k = 1, 2, ... ;
Mo(X)  [a, b];
Mе(X) = M[X] = (a + b)/2;
t0,5 = Mе(X) = M[X] = (a + b)/2;
DX = M[(X - mX)2] = M[X2] - mX2 = (b - a)2/12;
Х = (b - a)/;
A = 3/3X = 0;
E = (4/4X) - 3 = -6/5.