Прикладное значение теории двойственности

Оглавление
ВВЕДЕНИЕ. АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕОРИИ ДВОЙСТВЕННОСТИ
ГЛАВА 1. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ДВОЙСТВЕННОСТИ НА ПРИМЕРЕ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
ГЛАВА 2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НА ПРИНЦИП ДВОЙСТВЕННОСТИ
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Прикладное значение теории двойственности

В
M
X9
1
1
1
1
1
1
1
X6
0,8
0,6
0,1
0,1
0,1
1
0,3
M
X10
0,1
0,3
0,5
0,3
0,2
-1
1
0,1
X8
0,1
0,1
0,4
0,6
0,7
1
0,4
F
-4
-4,5
-5,8
-6
-7,5
FM
1,1
1,3
1,5
1,3
1,2
-1
1,1
Исходная запись неоптимальна, так как при коэффициентах переменных для целевой функции (FM) есть положительные числа. Максимальный коэффициент мах(1,1; 1,3; 1,5; 1,3; 1,2) = 1,5. За базовую переменную возьмем х3 (для нее коэффициент в целевой функции максимален и равен 1,5). Далее находим мин(1/1; 0,3/0,1; 0,1/0,5; 0,4/0,4). Он равен 0,1/0,5, поэтому х3 выражаем через третье уравнение. Выразим все уравнения через новый базис, проведем несколько таких шагов и получим оптимальное решение.
Оптимальным будет решение, представленное в симплекс-таблице:
4
4,5
5,8
6
7,5
M
M
Св
Б.П.
X1
X2
X3
X4
X5
X6
X7
X8
X9
X10
В
4,5
X2
1,4
1
2
-0,2
0,4
X8
0,12
0,2
0,3
0,6
1
-0,46
0,12
5,8
X3
-0,4
1
1
1
-2
1,2
0,6
X7
0,12
0,2
0,3
-0,4
1
0,54
-1
0,32
F
-0,02
-0,2
-1,7
-2,6
-6,06
5,28
FM
-1
-1
Полученное решение является оптимальным, так как все коэффициенты при переменных отрицательные. Оптимальным решением задачи будет вектор-строка вида: , а оптимальное значение целевой функции: .
Дадим экономическую интерпретацию полученного решения: для того, чтобы получить рекламный пакет минимальной стоимости необходимо потратить 40% средств на тарифный план №2 и 60% на тарифный план №3. При этом общий рекламный пакет содержит ровно 30% времени выходов на «НТВ», более 20% (точнее, 42%) время выхода на «РТР» и менее 40% (28%) время показа на «ОРТ». Минимальная стоимость единицы пакета составляет 5,28 у.е. Допустим, если клиент приобретает 1 час рекламного времени, то 18 минут реклама будет идти на «НТВ», 25 минут на «РТР» и 17 минут на ОРТ.
Перейдем к построению двойственной задачи, которая строится следующим образом:
1) целевая функция двойственной задачи должна максимизироваться, так как целевая функция исходной задача минимизируется.
2) матрица коэффициентов системы ограничений будет представлять собой транспонированную матрицу соответствующих коэффициентов прямой задачи. При этом все ограничения должны быть одного типа, например "больше или равно". Приведем второе и четвертое ограничения прямой задачи системы (8) к типу "больше или равно", умножив их на –1. Полученную матрицу транспонируем:
(13)
3) Число переменных в двойственной задаче будет равно числу ограничений в исходной (4), а число ограничений в двойственной задаче равно числу переменных в прямой, т.е. (5). Переменная y1 двойственной задачи соответствует первому ограничению прямой задачи, переменная y2– второму, y3– третьему, а y4– четвёртому.
4) Коэффициентами при переменных y1, y2, y3 и y4 в целевой функции двойственной задачи являются свободные члены ограничений исходной задачи (все ограничения одного типа), т.е. вектор-столбец вида:
(14)
а правыми частями ограничений двойственной задачи являются коэффициенты целевой функции прямой задачи, т.е. вектор .
5) Все переменные прямой задачи положительны, то все ограничения двойственной задачи будут неравенствами типа «≤» (поскольку двойственная задача на максимум). Поскольку первое условие исходной задачи представляет собой равенство, а остальные три – неравенства, то y1 может принимать любые значения, а y2,y3 и y4 – только положительные.
Выполнив все преобразования получим следующую математическую модель двойственной задачи:
(15)
Проанализируем теперь экономический смысл двойственной задачи. Для этого сначала рассмотрим экономический смысл переменных y1, y2, y3 и y4. Из ограничений видно, что величина y1 имеет размерность [у.е./ед. пакета], величина y2– [у.е./ед. НТВ], y3– [у.е./ед. РТР ], а y4– [у.е./ед. ОРТ]. Указать экономический смысл переменной y1 не представляется возможным в силу условия задачи. Что касается экономического смысла переменных y2 и y4, то в системе (1) они соответствует второму и четвёртому ограничениям, отражающим относительную избыточность предложения времени рекламы на "НТВ" и времени рекламы на "ОРТ", т.е. они могут быть рассмотрены как условный убыток для предприятия представляющего их, или цену, выплачиваемую его приобретателю. Таким образом, время рекламы на «НТВ» и «ОРТ» выступают в задаче в качестве антиблага, что экономически также достаточно абсурдно. Экономический смысл переменной y3, отражающей ограниченность времени рекламы на "РТР", виден явно: она представляет собой двойственную оценку, или условную цену этого ресурса.
Таким образом, экономический смысл ограничений заключается в следующем. Пусть, моя рекламная фирма вместо того, чтобы компоновать новый рекламный пакет из пяти тарифных планов, решила, приобретя у другой фирмы время на «НТВ» по цене y3 и взяв у нее некоторое количество времени на «РТР» с доплатой y2 и время на «ОРТ» с доплатой y4, новый пакет из этих компонентов с учетом некоего параметра y1.
Целевая функция данной двойственной задачи экономически интерпретируется как максимальная прибыль фирмы, представляющей время для рекламы на «ОРТ», «НТВ», «РТР».
Решив двойственную задачу, получим оптимальное решение y*=(6,06; 2,6; 0; 0; 0,02; 0,2; 1,7), значение целевой функции при этом будет равно 5,28 (что соответствует первой теореме двойственности), порядок расчетов приведен в симплекс-таблице:
1
-0,3
0,1
-0,4
Св
Б.П.
Y1