Автоматизация процесса приготовления шампанского на установках непрерывного действия

Введение
Глава 1. Изучение технологического объекта управления
1.1. История развития производства шампанского
1.2. Характеристика процесса производства шампанского на установках непрерывного действия
1.2.1. Приготовление шампанских и игристых вин в системе последовательно соединенных аппаратов
1.2.2. Приготовление шампанских и игристых вин в одноемкостном, одно- или многокамерном аппарате
1.2.3. Приготовление шампанских и игристых вин в условиях сверхвысокой концентрации дрожжей
1.3. Анализ и оптимизация материальных потоков при приготовлении шампанского на установках непрерывного действия
Глава 2. Разработка концепции математической модели
2.1. Применение математических моделей для оптимизации размещения товаров на складах
2.2 Симплекс-метод решения задачи линейного программирования
2.3. Пример решения поставленной задачи
Глава 3. Экономическая эффективность проекта
Глава 4. Безопасность жизнедеятельности.
4.1 Общие положения. Выбор оборудования
4.2. Потенциально опасные и вредные производственные факторы
4.3. Разработка безопасных оптимальных условий труда. Технические и организационные меры защиты
4.4. Нормирование шума. Методы защиты от шума
4.5. Информационно - справочная система "Охрана труда"
4.6. Выводы по охране труда
Заключение
Список литератур

Автоматизация процесса приготовления шампанского на установках непрерывного действия

2) основная задача;
3) каноническая задача.
Задачу ЛП будем называть общей задачей, если система линей­ных ограничений (1) содержит хотя бы одно неравенств, основ­ной задачей, если все ограничения системы (1) являются уравне­ниями.
Задачу ЛП будем называть канонической задачей, если она является частным случаем основной задачи в том смысле, что си­стема линейных уравнений – каноническая, а целевая функция вы­ражена только через свободные неизвестные.
Система линейных уравнений называется канонической систе­мой, если она удовлетворяет двум условиям:
1) в каждом уравнении содержится неизвестное с коэффициентов равным единице, отсутствующее во всех остальных уравнениях и называемое базисным неизвестным;
2) свободные члены всех уравнений неотрицательны.
Теорема. (Основная теоремасимплекс-метода). Каноническая задача всегда имеет и причем единственное решение, то есть оптимальный план.
Неизвестные, не являющиеся базисными, называются свободны­ми неизвестными. При т = 2, п = 4, если предполагать базисными неизвестные х3 и х4, каноническую задачу можно записать в виде
Если в канонической системе положить все свободные неизвест­ные равными нулю, то базисные неизвестные будут равны неотри­цательным свободным членам уравнений. Полученный таким спосо­бом план называется базисным планом канонической задачи. При х1 = x2 = 0 из системы (4) получим, что х3 = b1  0, х4 = b2  0, и базисный план задачи (4) - (6) будет иметь вид
Xbas=(0, 0, b1, b2),
причем, как видно из выражения (6), значение целевой функции для этого плана f(Xbas) = C0.
Из трех форм задачи ЛП главная роль отводится канонической, так как алгоритм симплекс-метода непосредственно применяется к канонической задаче, а общая и основная задачи в конечном счете сводятся к канонической.
Симплекс-метод решения канонической задачи линейного про­граммирования называют еще методом последовательного улучше­ния базисного плана. Любую каноническую задачу можно поме­стить в так называемую симплексную таблицу. Рассмотрим, как заполняется симплексная таблица задачи (4)-(6). В эту таблицу за­писывается расширенная матрица канонической системы (4), слева выписываются названия базисных неизвестных, содержащихся в со­ответствующих уравнениях. Последняя строка симплексной табли­цы называется индексной строкой и заполняется коэффициентами целевой функции (6) по следующему правилу: свободный член С0 вносится со своим знаком, коэффициенты при неизвестных - с про­тивоположными знаками.
Симплексная таблица канонической задачи
Баз.
x0
x1
x2
x3
x4
x3
x4
b1
b2
a11
a21
a12
a22
1
1
f
C0
C1
C2
Если в задаче ЛП система уравнений каноническая, а целевая функция выражена не только через свободные неизвестные, то та­кую задачу будем называть "почти канонической". При внесении такой задачи в симплексную таблицу индексная строка подсчитывается по правилу цен. Это правило будет рассмотрено ниже.
Для решения канонической ("почти канонической") задачи, запи­санной в симплексную таблицу, применяется алгоритм симплекс-метода. Существуют две разновидности этого алгоритма: для зада­чи максимизации и для задачи минимизации. Можно использовать только одну из них, сводя Каждый раз, например, задачу минимиза­ции целевой функции f(X) к задаче максимизации функции -f(X), умножив все коэффициенты функции f(X) на -1. Это возможно в силу линейности целевой функции. Приведем алгоритм симплекс-метода для случая задачи максимизации.
Алгоритм симплекс-метода
1. Запишем каноническую задачу максимизации (4)-(б) в исход­ную симплексную таблицу и проанализируем знаки элементов индексной строки, не считая элемента С0. При этом возможны три случая.
1.1. Все элементы индексной строки неотрицательны. Следовательно, базисный план Xbas=(0, 0, b1, b2), является оптимальным, a f(Xbas) = C0 есть максимальное значение целевой функции. Вычисления прекращаем.
1.2. Среди элементов индексной строки есть хотя бы один от­рицательный, а над ним в таблице нет ни одного положи­тельного. В этом случае целевая функция не ограничена сверху на множестве планов задачи и, значит, оптимально­го плана не существует. Вычисления прекращаем.
1.3. Над каждым отрицательным элементом индексной стро­ки есть хотя бы один положительный. Это значит, что ис­ходный базисный план можно улучшить, построив новую симплексную таблицу, содержащую новый базисный план с неменьшим значением целевой функции. Переходим к п. 2.
2. Среди отрицательных элементов индексной строки, над каждым из которых есть хотя бы один положительный, выбираем наи­больший по абсолютной величине и выделяем ключевой стол­бец, в основании которого оказался выбранный элемент. Клю­чевой столбец указывает на неизвестное, вводимое в базис.
3. Подсчитываем ключевое отношение - наименьшее из отношений свободных членов уравнений только к соответствующим положительным элементам ключевого столбца.
4. В ключевом столбце выбираем и выделяем ключевой элемент -знаменатель ключевого отношения. Если ключевых отношений несколько, то выбираем знаменатель любого из них. Клю­чевой элемент указывает на неизвестное, выводимое из базиса.
5. В новой таблице прежде всего выписываем слева новые базис­ные неизвестные.
6. Далее в новой таблице заполняем и выделяем ключевую стро­ку. Она получается делением всех элементов соответствующей строки исходной таблицы на ключевой элемент.
7. Остальные элементы новой таблицы подсчитываем по правилу двух перпендикуляров: каждый элемент новой таблицы, за ис­ключением элементов ключевой строки, равен разности между соответствующим элементом исходной таблицы и произведени­ем элементов, оказавшихся в основаниях перпендикуляров, опу­щенных из "старого" элемента на ключевой столбец и ключевую строку.
Заметим, что при выборе ключевого столбца не обязательно сре­ди отрицательных элементов индексной строки выбирать наиболь­ший по абсолютной величине, можно брать любой из них. Это свя­зано с тем, что существуют лишь вероятностные оценки минималь­ного количества симплексных таблиц, необходимых для решения за­дачи. Заметим также, что ключевой элемент всегда положителен.
Симплекс-метод относится к числу конечных и монотонных методов, а именно: через конечное число шагов либо мы получим опти­мальный план, либо убедимся в неограниченности целевой функции на множестве планов задачи, причем последовательность симплекс­ных таблиц строится так, что значения целевой функции монотонно возрастают (в задаче максимизации) или монотонно убывают (в за­даче минимизации).
Пример 1. Решить симплекс-методом следующую задачу ЛП:
Задача - основная, но не каноническая, так как система уравнений не является канонической (свободный член первого уравнения отрицателен и ни в одном из уравнений нет базисного неизвестного).
Применим метод искусственного базиса. С этой целью составим вспомогательную задачу, так чтобы система уравнений оказалась канонической. Умножив обе части первого уравнения на -1, и при­бавив к левым частям обоих уравнений искусственные неизвестные z1 и z2, получим так называемую расширенную систему. Соста­вим вспомогательную функцию, равную сумме искусственных не­известных, и поставим своей целью минимизировать вспомогатель­ную функцию на множестве планов расширенной системы.
Первый этап. Вспомогательная задача.
Вспомогательная задача является "почти канонической", поэтому решим ее при помощи стандартного алгоритма симплекс-метода. В результате получим последовательность симплексных таблиц вида
Все элементы индексной строки табл. 3 неположительны, следо­вательно, вспомогательная задача решена и получен ее оптималь­ный план, причем минимальное значение вспомогательной функции min=0. Отсюда следует, что существует каноническая система, равносильная исходной системе, которая содержится в заверша­ющей симплексной таблице вспомогательной задачи. Вы­писав ее из табл. 3, и присоединив к ней заданную целевую функ­цию, получим задачу, равносильную исходной основной задаче, которая, как и вспомогательная задача, будет "почти канонической".
Второй этап. Задача, равносильная основной.
Решим эту задачу симплекс-методом.
В индексной строке табл. 1 есть отрицательный элемент - 15/4, а над ним в таблице нет ни одного положительного. Следовательно, в данной задаче целевая функция не ограничена сверху на множестве планов задачи и оптимального плана не существует. Значит, не существует оптимального плана и в исходной задаче.
Пример 2. Решить симплекс-методом следующую задачу ЛП: