Логика в лицах (по Маркову Андрею Андреевичу 1903-1979 гг).

Оглавление
Введение ...................................................................................................................3
Глава 1. Становление А. А. Маркова (младшего) как ученого
Глава 2. Математико-логический период деятельности
Заключение
Список литературы

Логика в лицах (по Маркову Андрею Андреевичу 1903-1979 гг).

Диапазон математических дисциплин, затронутых Марковым на его творчеством пути, был чрезвычайно широк. Просматривая список его трудов, можно, например, обнаружить, что в один и тот же год им публиковались работы в такой абстрактной области, как аксиоматическая теория множеств, и в такой прикладной, как теория пластичности. Еще в начале 30-х гг. Марковым была опубликована серия глубоких работ по общей теории динамических систем. Именно им (к сожалению, теперь редко кто об этом знает) было впервые сформулировано общее, не зависящее от дифференциальных уравнений, определение динамической системы — понятия, играющего в современной теоретической кибернетике столь важную роль.
Глава 2. Математико-логический период деятельности
И все же высшим периодом научной деятельности Маркова по праву считается его последний, длившийся более тридцати лет «математико-логический» период. В этот период Марковым были не только получены первоклассные конкретные результаты (в том числе, решение двух знаменитых математических проблем — проблемы равенства для полугрупп, — так называемой проблемы Туэ, — и проблемы гомеоморфии в топологии) и не только создана большая, продуктивно работающая научная школа, представители которой ныне работают во многих странах мира. В этот период им было создано новое, — названное им конструктивным, — направление в математике. Нет надобности объяснять, что достижение такого рода является редкой удачей для любого ученого, даже самого крупного масштаба.
Здесь, может быть, уместно будет сказать об одной черте Маркова, выглядевшей почти загадочной. Обычно, оставляя какую-нибудь область исследований, он никогда больше о ней ничего не говорил, — за редкими исключениями, естественно. Поэтому многие современники Маркова (особенно, более молодые) считали его по преимуществу математическим логиком.
Переход А. А. Маркова к проблемам конструктивного направления в математике, происшедший, в конце 40-х годов, связан с некоторыми давно назревавшими глубинными процессами в области исследовании оснований математики. Еще в начале XX столетия были высказаны (в развернутом виде — Л. Э. Я. Брауэром и Г. Вейлем сомнения в удовлетворительности теории множеств в качестве логической основы математики.
Обладая, как мы уже видели, огромным и многообразным собственным научным опытом и располагая обширными познаниями в самых разнообразных областях науки, Марков по складу своего ума и по характеру деятельности был в значительной мере естествоиспытателем, а не просто математиком, и потому его подход к математике был подходом естествоиспытателя, стремящегося придать развитию своей науки такое направление, чтобы ее исходные понятия и конечные результаты имели по возможности более понятный и ощутимый смысл.
Марков неоднократно и настойчиво отмечал, что уже с самого начала своей математической деятельности он испытывал крайнюю неудовлетворенность теоретико-множественной установкой Г. Кантора, фактически безраздельно господствовавшей в математике того времени. По этой «архитектурной программе для математики» все без исключения математические понятия предлагалось определять в терминах разработанной Кантором теории множеств, так что всякий математический объект в конечном счете оказывался множеством, удовлетворяющим некоторым условиям. Эта гениальная по простоте рецептура формирования математических понятий создала у математиков такое ощущение единства самых разнородных математических теорий, что многие даже на первый взгляд заметные изъяны теории множеств на определенное время отошли на второй план. Впервые математические фундамент зашатался, когда к началу XX в. обнаружились так называемые антиномии (т. е. противоречия) теории множеств.
Оказалось, что при ничем не ограниченном использовании теории множеств в математике некоторые высказывания могут быть доказаны вместе с их отрицаниями (что фактически означает возможность доказать любое математическое утверждение!). Предпринятые попытки «косметического ремонта» теории множеств на время внесли в умы успокоение, но они не давали никаких надежных гарантий на будущее. Кроме того, было осознано то обстоятельство, что в рамках канторовской программы всякое математическое высказывание в конечном счете (т. е. по исключении из него определений всех фигурирующих в нем математических понятий) оказывается некоторым высказыванием о множествах. Между тем, сколько-нибудь точное определение самого понятия множества в теории множеств отсутствует — оно поясняется на примерах. Но тогда, — коль скоро неясно, что такое множество, — становится неясным и то, о чем говорит любое наперед взятое математическое высказывание.
Для одних математиков (как, например, для знаменитого Г. Фреге) обнаружение этой дискомфортности теории множеств обернулось глубокой личной трагедией. Другие, как Л. Э. Я. Брауэр и Г. Вейль, стали искать альтернативные пути построения математики — например, в терминах так называемых умственных построений (интуиционизм Брауэра) или же в чисто, — как бы мы теперь сказали, — семиотических терминах (т. е. без обращения к категории смысла — формализм Гильберта, фактически предвосхитивший весь структурализм XX века, включая и идеологию машинной математики). Все эти новые концепции вносили существенный вклад в развитие современной им философской мысли, но удовлетворительного решения проблемы единообразного построения математики они не давали. Все это означало наличие существенного кризиса в основаниях математики, и бескомпромиссный характер Маркова смириться с таким положением вещей в его науке не мог.
Присоединяясь к интуиционистской критике теоретико-множественной программы Кантора, Марков-естествоиспытатель считал особым дискомфортом неконструктивный характер определений ряда центральных математических понятий, обусловливавший неконструктивность математических теорий в целом. Эта неконструктивность теорий выражалась, в частности, в появлении в математике так называемых «чистых теорем существования», т. е. теорем, в которых существование тех или иных математических объектов доказывается без того, чтобы сделать эти объекты хоть сколько-нибудь осязаемыми.
Ощущая свою личную ответственность за общее состояние дел в математике, Марков настойчиво искал выход из сложившейся ситуации. В этой связи у него уже в предвоенное время возник острый интерес к основаниям математики. В частности, в семинаре, которым он в те годы руководил в Ленинградском университете, тщательно изучалась только что вышедшая из печати классическая двухтомная монография Д. Гильберта и П. Бернайса «Основания математики». Чуткий ко всему новому в современной ему науке, Марков с пристальным вниманием следил за первыми шагами становления общей теории алгорифмов, опиравшейся на произведенное в середине 30-х годов уточнение общего понятия алгорифма. Он был, вероятно, первым, кому в полной мере удалось осознать фундаментальный характер этого события и те богатые общелогические и общематематические возможности, которые оно открывало. Опираясь на точное понятие алгорифма, Марков продолжил и на современной основе развил идеи Брауэра и Вейля, сформулировав собственную концепцию построения математики. В этой концепции роль базисных «кирпичей», из которых в дальнейшем предлагается строить математические понятия, отводится конструктивным, — и в частности, алгорифмическим, — процессам, а также тем объектам, которые возникают в результате развертывания таких процессов, — так называемым конструктивным объектам.
Последовательная реализация этой программы требует развития специальной конструктивной логики, учитывающей специфику конструктивных объектов. Теория алгорифмов открыла определенные перспективы и в этом направлении. Над этой неимоверно трудной проблемой, требующей невероятной изощренности ума и изобретательности, Марков трудился до самых последних дней своей жизни.
На базе предложенного Марковым подхода и им самим, и постепенно сгруппировавшейся вокруг него научной школой была проделана огромная работа как по развитию общих принципов марковского конструктивизма, так и по разработке конкретных теорий конструктивной математики — и в первую очередь, конструктивного математического анализа.
Его первые работы в этом направлении были выполнены в 1946 г. и опубликованы в печати в 1947 г. Эти работы посвящены построению примера ассоциативной системы с неразрешимой проблемой тождества и примера ассоциативной системы с неразрешимой проблемой односторонней делимости.
На протяжении ряда лет А. А. Марков уделяет большое внимание прикладным вопросам математической логики, в частности, вопросам применения математической логики к теории вычислительных машин (большой теоретический и практический интерес представляет разработанный А. А. Марковым точный математический язык, предназначенный для описания работы вычислительных машин).
Формулировка основных принципов конструктивного направления была одним из тех удивительных предвосхищений, которыми так богата история математической логики. Можно было бы сказать, что традиционная математика делала здесь шаг навстречу математике машинной, если бы эта последняя в тот момент существовала. В самом деле, конструктивный математический анализ, открыл, например, возможность ставить и решать задачи не только о достаточности, но и о недостаточности таких-то и таких-то исходных данных для фактического нахождения значений таких-то величин.
Стали возможны примеры задач, «разрешимых в функциях», но «неразрешимых в вычислимых функциях» (т. е. «в алгорифмах»). Задачи такого рода в традиционной математике никогда не рассматривались, и более того — они в ней и не могли быть рассмотрены.
Рабочий аппарат, применявшийся в школе Маркова, опирался на очень удачно выбранное им понятие нормального алгорифма, обладающее многими достоинствами как принципиального (демонстрация плодотворности «продукционного», — как мы теперь сказали бы, — подхода), так и методического характера. Выдержав испытание временем, оно прочно вошло в научный обиход как общей теории алгорифмов, так и теоретической кибернетики, где послужило источником точной постановки ряда проблем.
Занятия данной проблематикой, постоянная работа с уточненными моделями таких расплывчатых понятий, как «предписание», «разрешение», «язык», «суждение», «истинное суждение», «рассуждение» и т. п., а также, — предположительно, — работа над прикладными задачами, о которых мы пока можем строить лишь догадки — все это естественным образом подводило Маркова к собственно кибернетической проблематике.
Первые отзвуки этого интереса видны уже в заключительных строках его «Теории алгорифмов». Интересовался в это время Марков и работой, по-видимому, одного из первых в нашей стране семинаров по кибернетике, который вели в Ленинграде. В дальнейшем, особенно после переезда Маркова в Москву (декабрь 1955 г.), интерес этот активизировался. Несомненно, здесь важную роль сыграли контакты, установившиеся у Маркова с А. А. Ляпуновым, а затем и с А. И. Бергом. Марков стал проявлять живой интерес к исследованиям по машинному переводу и математической лингвистике, по математической биологии, он активно поддерживал Л. В. Канторовича, — впоследствии лауреата Нобелевской премии по экономике, — в его напряженной борьбе с традиционными экономистами. Будучи прирожденным полемистом с моментальной и остроумной реакцией, Марков нередко спасал положение на заседаниях с докладами Канторовича, когда накал страстей достигал наивысшей отметки. На кафедре математической логики МГУ, возглавлявшейся Марковым, работал ряд ведущих специалистов страны в области математической кибернетики, — в том числе С. В. Яблонский и О. Б. Лупанов, — готовились молодые научные кадры.
По приглашению председателя Научного совета по кибернетике АН СССР академика А. И. Берга Марков стал членом Президиума совета, и когда 25 июня 1960 г. состоялось заседание инициативной группы по организации Института кибернетики АН СССР, обратившееся за поддержкой к А. И. Бергу, решением Президиума совета от 8 октября 1960 г. (протокол № 3) Записка о создании Института кибернетики и Проект его структуры были одобрены. 30 ноября того же года Бюро Отделения физико-математических наук АН СССР (протокол № 16, п. 256) приняло Постановление о целесообразности создания Института кибернетики и создало для подготовки плана мероприятий рабочую комиссию во главе с Марковым, который акад. А. И. Бергом и академиком-секретарем ОФМН акад. Л. А. Арцимовичем намечался на пост директора института. Комиссия проделала большую работу по выработке тематики и структуры института, по подбору научных кадров, преодолела ряд серьезных организационных трудностей, связанных с подготовкой проекта Постановления Президиума Академии наук. К сожалению, по ряду не зависящих от комиссии причин, осложнившихся к тому же расхождениями внутри ее руководства по вопросу о принципах комплектации института, организации института на этот раз не суждено было состояться.
Вопросам общего характера посвящены его статьи «Математическая логика и вычислительная математика» и «Что такое кибернетика?» Вторая из этих статей представляет собой резюме доклада, неоднократно читанного в Москве в начале 60-х гг.
По времени этот период совпал с одним из наиболее удушливых периодов советской истории, когда всякое сколько-нибудь новое явление в культуре или в науке оценивалось, — и, как правило недоброжелательно, — с идеологических позиций. Судьба кибернетики общеизвестна. Не менее остро складывалась ситуация и с конструктивным направлением в математике. Уже первые антитеоретико-множественные выступления Маркова (конец 40-х — начало 50-х гг.) были встречены «в штыки» не только профессионалами-идеологами, но и придерживавшимися традиционных взглядов коллегами.