Отношения между суждениями. Логический квадрат

СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНЕЕ
ГЛАВА I. Логический квадрат и отношения между суждениями
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

Отношения между суждениями. Логический квадрат

O
I : ∃x(S(x)∧ P(x))→ ∃x(S(x)∧ P(x)).
Если неверно, что некоторые S суть Р, то верно, что некоторые S
не суть P.
I
O : x(S(x) P(x))→ x(S(x) P(x)).
Если неверно, что некоторые S не суть P, то верно, что некоторые S
суть P18.
4. Отношение между суждениями типов A – O и E – J
Наиболее интересным является отношение противоречия существующее между суждениями типов А – О и Е – J, то есть между типами суждений, находящимися на противоположных концах диагоналей логического квадрата.
Для этого отношения характерно то, что противоречащие друг другу суждения не могут быть одновременно истинными, но не могут быть и одновременно ложными: если одно из них истинно, то второе обязательно ложно; если же одно из них ложно, то второе необходимо будет истинным
Можно обратить внимание на сходство отношений между понятиями и суждениями: противоположные понятия не исчерпывают всего объёма родового понятия, в нём ещё остаётся промежуток; точно также противоположные суждения оба могут быть ложными, и истина лежит где-то посередине
Противоречащие понятия полностью разделяют объём родового понятия на две части; точно также противоречащие суждения не оставляют места чему-то третьему: истина заключена в одном из них19.
Н.А. Черняк предлагает символическую форму записи такого рода отношений:
A : ∀x(S(x) → P(x)) → ∃x(S(x) ∧ P(x)) .
Если верно, что все S суть P, то неверно, что некоторые S не
суть P.
О
А : ∀x(S(x) → P(x)) → ∃x(S(x) ∧ P(x)) .
Если не верно, что все S суть P, то верно, что некоторые S не
суть P.
A
O : ∃x(S(x)∧ P(x))→ x(S(x) → P(x)).
Если верно, что некоторые S не суть P, то неверно, что все S.
суть P O : x(S(x)P(x))→ x(S(x) → P(x)).
Если неверно, что хотя бы некоторые S не суть P, то верно, что
все S суть P.
I
E : x(S(x) → P(x)) → x(S(x) P(x)) .
Если верно, что ни одно S не суть P, то неверно, что некоторые S
суть P.
I
E : x(S(x) → P(x)) → x(S(x) P(x)) .
Если неверно, что ни одно S не суть P, то верно, что некоторые S
суть P.
E
I : x(S(x) P(x)) → x(S(x) → P(x)).
Если верно, что некоторые S суть P, то неверно, что ни одно S не
суть P.
E
I : x(S(x) P(x)) → x(S(x) → P(x)).
Если неверно, что хотя бы некоторые S суть P, то верно, что ни
одно S не суть P20.
Обобщая вышесказанное модно сделать следующие выводы. Если истинно, что все объекты какого-то множества обладают определённым признаком, то о некоторых объектах, являющихся составной частью этого множества, можно также с уверенностью сказать, что истинно, что и они обладают этим признаком. Мы отслеживаем два различных параметра, во-первых, наличие или отсутствие признака у элементов множества, и, во-вторых, истинность или ложность утверждения о наличии или отсутствии этого признака.
То же самое мы можем сказать и в том случае, если речь идёт об отсутствии признака у всех объектов определённого множества. Тогда у части этого множества данный признак также будет отсутствовать. И если истинно, что у всех объектов данного множества признак отсутствует, то истинно и высказывание, что некоторые объекты этого множества не обладают этим признаком.
Подведём итог для преобразования истинных общих высказываний в частные. Если общее высказывание истинно, то и соответствующее ему частное высказывание также истинно21.
Рассмотрим теперь случай, когда утверждение о присутствии признака у всех объектов множества, ложно. Но это справедливо как в случае, если некоторые, но не все элементы этого множества обладают искомым признаком, причём неизвестно, какие обладают этой характеристикой, а какие нет. И это справедливо, когда ни один элемент множества не обладает этим признаком. В этой ситуации мы не можем с уверенностью сказать, ложно или истинно утверждение, что некоторые элементы обладают выделенным нами признаком, так как признак этот действительно может отсутствовать у всех элементов, но это может быть и не так. Мы не знаем в такой ситуации, какую истинностную характеристику приписать этому высказыванию, при ложности соответствующего общего высказывания.
Иногда в подобной ситуации говорят, что истинностная характеристика в данном случае неопределённая. Эту неопределённость можно понимать двояко. Во-первых, понимать её просто как констатацию нашего незнания истинностной характеристики высказывания, как мы это только что анализировали. Но можно понимать и как специфическую характеристику истинности - быть неопределённым, наравне с характеристиками быть истинным или быть ложным. В таком случае мы выходим за пределы установок классической логики и рассматриваем традиционные свойства преобразований по логическому квадрату как неклассическое построение. Таким образом, эти преобразования могут служить примером неклассической логики. Но мы всё же будем рассматривать эти преобразования, как классику, и термин неопределённо использовать в первом смысле, как незнание истинностной характеристики высказывания.
С преобразованием общеотрицательных ложных высказываний в частноотрицательные ситуация выглядит точно так же. Если ложно высказывание, что у всех объектов данного множества отсутствует искомый признак, то о некоторых объектах мы не можем сказать что-либо определённое, так как неизвестно присутствует ли он у всех объектов (тогда высказывание: некоторые S не суть Р – ложно), или присутствует лишь у некоторых и можно выделить группу или хотя бы один объект, у которого этого признак нет, и тогда наше частноотрицательное высказывание истинно. То есть мы опять не знаем, какова истинностная характеристика результата такого преобразования22.
Подведём новый итог. Если общее суждение ложно, то частное суждение неопределённо с точки зрения его истинностной характеристики (мы не знаем, не можем определить по внешнему виду преобразования истинностную характеристику результата преобразования).
Если частноутвердительное высказывание истинно, то есть истинно, что некоторые объекты обладают определённым признаком, то из этого не следует, что и все объекты обладают этим признаком, хотя такая ситуация может сложиться. То есть мы не можем по внешнему виду преобразования определить истинностную характеристику результата преобразования.
То же самое происходит при подобном преобразовании частноотрицательных высказываний. Если у некоторых объектов выделенного вида отсутствует определённый признак (истинно высказывание: некоторые S не суть Р), то мы в общем случае ничего не можем сказать об отсутствии этого признака у всех объектов этого вида. То есть общеотрицательное высказывание будет с истинностной стороны – неопределённым.
Подведём следующий итог. Если частное суждение истинно, то общее суждение неопределённо.
Допустим теперь, что частноутвердительное высказывание ложно. Или, иначе, ложно утверждение, что некоторые объекты обладают искомым признаком. Но если даже в отношении некоторых объектов не верно, что они обладают этим признаком, то в отношении всех объектов подобного типа это тем более не верно, если хотя бы у одного объекта этого признака нет. И, следовательно, общеутвердительное высказывание также будет ложно.
То же самое мы обнаружим и при подобном преобразовании частноотрицательных высказываний. Если не правда, что у некоторых элементов множества отсутствует известный признак (у каких-то элементов он всё же есть), то обо всех элементах высказываться, что признак у них у всех отсутствует, также ложь (у каких-то он ведь есть).
Ещё один итог. Если частное высказывание ложно, то соответствующее ему общее также ложно.
Если общеутвердительное высказывание истинно, что значит, что все объекты данного множества обладают известным признаком, то общеотрицательное высказывание, что эти объекты не обладают данным признаком, ложно, раз известно, что они обладают.
Если общеотрицательное высказывание истинно, что значит, что все объекты данного множества не обладают данным признаком, то общеутвердительное высказывание, что они обладают им, ложно, раз известно, что они этим признаком не обладают.
Итог. Если общее высказывание истинно, то противоположное ему общее высказывание ложно23.
Если общеутвердительное высказывание ложно, то это значит, либо некоторые объекты, хотя бы один, данного множества не обладают признаком, наличие которого у объектов утверждается в высказывании, либо все они не обладают данным признаком. Но в этом случае мы, имея лишь данные о том, что утверждение все S суть Р ложно, не можем знать, все ли они не обладают данным признаком (если бы все не обладали, то соответствующее общеотрицательное высказывание было бы истинным, а если бы не все не обладали, то было бы ложным). Поэтому истинностная характеристика высказывания все S не суть Р неопределённа.
То же происходит, если ложно общеотрицательное высказывание. Ложность общеотрицательного высказывания не даёт нам определённости в вопросе у всех или не у всех объектов присутствует искомый признак. Поэтому мы не можем определить истинностную характеристику высказывания, в котором утверждается, что этот признак присутствует у всех объектов. Или иными словами истинностная характеристика соответствующего общеутвердительного высказывания неопределённа.
Опять итог. Если общее высказывание ложно, то противоположное ему общее высказывание неопределённо с точки зрения его истинностной характеристики. Слово общее в отношении противоположного высказывания мы могли и опустить, так как отношение противоположности, это отношение между общими высказываниями.
Последнее взаимоотношение, которое мы исследуем, это отношение между частными высказываниями. На квадрате они находятся на нижней горизонтали. Это отношение называется отношением подпротивоположности (по-видимому, потому, что находится на логическом квадрате под отношением противоположности).
Если истинно утверждение, что некоторые объекты обладают определённым признаком (частноутвердительное высказывание), то это может значить и то, что все, а не только некоторые объекты обладают этим признаком. Поэтому мы не можем сказать истинно или ложно высказывание, что некоторые объекты не обладают этим признаком. Истинностная характеристика соответствующего частноотрицательного высказывания будет неопределённой.
Если истинно частноотрицательное высказывание, что некоторые объекты не обладают известным признаком, то это может значить, и что все объекты им не обладают, и что лишь некоторые не обладают. Поэтому мы не можем знать, правда ли, что некоторые объекты этим признаком обладают (частноутвердительное высказывание). Истинностная характеристика соответствующего подпротивоположного высказывания также будет неопределённой.
Если частное высказывание истинно, то подпротивоположное ему высказывание неопределённо по истинностной характеристике.
Если частноутвердительное высказывание ложно (ложно, что некоторые S суть Р), это значит, что ни один объект, о котором идёт речь, не обладает указанным признаком. А значит истинно, что эти объекты этим признаком обладают. А если все обладают, то и некоторые из них тоже. А, значит, соответствующее частноотрицательное высказывание будет истинно.
Если частноотрицательное высказывание ложно (ложно, что некоторые S не суть Р), это значит, что все объекты, о которых идёт речь, как раз обладают указанным признаком. И поэтому некоторые объекты этим признаком обладать будут, и высказывание о том, что они обладают этим признаком (частноутвердительное высказывание) будет истинным24.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В целом мы можем увидеть, что суждения, расположенные по диагонали – противоречивы. Противоречивые и противопоставленные суждения ни в коем случае не могут быть одновременно истинными. Противоположные суждения могут быть или не быть одновременно истинными, но, по крайней мере, истинным должно быть одно из них. Закон транзитивности обобщает логический квадрат, становясь основой всех непосредственных умозаключений и, определяет что, из истинности подчиняющих суждений логически следует истинность суждений им подчиненных и ложность противоположных подчиненных суждений.
Все вышесказанное может быть систематизировано при помощи таблицы (таблица1):
Таблица 1. Отношения между суждениями
Если A истинно,
То E ложно,
O ложно,
I истинно
E
A ложно
I ложно