Вход

Делимость

Рекомендуемая категория для самостоятельной подготовки:
Дипломная работа*
Код 333790
Дата создания 07 июля 2013
Страниц 126
Мы сможем обработать ваш заказ (!) 29 марта в 12:00 [мск]
Файлы будут доступны для скачивания только после обработки заказа.
4 610руб.
КУПИТЬ

Содержание

Введение
Глава 1. Математические основы изучения темы
«Делимость чисел»
1.1.Делители и кратные
1.1.1.Понятие делимости
1.1.2 Простые числа
1.2. Свойства делимости
1.2.1. Основные свойства
1.2.2. Наибольший общий делитель
1.2.3 Наименьшее общее кратное
1.2.4 Единственность разложения на простые сомножители
1.3.Признаки делимости
1.1.3.Признаки делимости на числа от 2 до 12
1.3.2 Признак Паскаля
1.3.3 Диофантовы уравнения
1.4.Деление с остатком
1.1.4.Понятие деления с остатком
1.4.2. Сравнение по модулю
1.4.3 Классы вычетов.4.4 Принцип Дирихле в задачах на делимость
Глава 2. Методика изучения темы «Делимость» в основной и старшей школе
2.1. Анализ методики изучения темы «Делимость» в методической литературе
2.1.2.Анализ ФГТ по изучению темы делимость в профильных классах
2.1.3. Анализ учебников профильного уровня для 10-11-х классов по теме «Теория делимости»
2.2.Разработка элективного курса “Делимость целых чисел” для учащихся 11 классов
Заключение
Список литературы
Приложения

Введение

Делимость

Фрагмент работы для ознакомления

Всякое целое, кратное всех данных чисел, называется их общим кратным. Наименьшее положительное общее кратное называется наименьшим общим кратным. Здесь мы будем рассматривать только общие кратные двух положительных чисел.
a. Пусть (a, b)=d, a=da1, b=db1 и, следовательно (2, е, п. 2), (а1, b1)=1. Пусть М - какое-либо общее кратное чисел а и b. Так как М кратно a, то M=ak, где k - целое. Но М кратно и b. Поэтому
должно быть целым и, следовательно (2, f, п. 2), k должно делиться на b1. Поэтому k=b1t, где t - целое, причем для М получается формула
. (1)
Обратно, очевидно, что М, представляемое формулой (1) при любом целом t, будет общим кратным a и b, и, таким образом, формула (1) дает общий вид всех общих кратных чисел а и b.
Наименьшее положительное из этих общих кратных, т. е. наименьшее общее кратное, получаем при t=1. Оно будет
. (2)
Теперь формулу (1) можно переписать так:
M=mt. (3)
Формулы (3) и (2) приводят к теоремам.
1. Совокупность общих кратных двух чисел совпадает с совокупностью кратных их наименьшего общего кратного.
2. Это наименьшее общее кратное двух чисел равно их произведению, деленному на их наибольший общий делитель.
1.2.4 Единственность разложения на простые сомножители
a. Всякое целое а или взаимно просто с данным простым p, или же делится на р.
Доказательство: (а, p), будучи делителем р, может быть равно или 1, или р. В первом случае а взаимно просто с p, во втором а делится на р.
b. Если произведение нескольких сомножителей делится на данное простое p, то, по крайней мере, один из сомножителей делится на р.
Доказательство: (а), каждый сомножитель или взаимно прост с p, или же делится на р. Если бы все сомножители были взаимно просты с p, то и их произведение (3, f, п. 2) было бы взаимно просто с р. Поэтому хоть один сомножитель делится на р.
c. Основная теорема арифметики. Всякое целое, большее единицы, разлагается на произведение простых сомножителей и притом единственным способом (если отвлечься от порядка следования сомножителей).
Доказательство: Пусть а - целое, большее 1; обозначая буквою p1 его наименьший простой делитель, имеем а=р1а1. Если a1 > 1, то, обозначая буквою р2 его наименьший простой делитель, имеем a1=p2a2. Если а2 > 1, то подобно этому находим а2=р3а3 и т.д., пока не придем к какому-либо аn, равному 1. Тогда получим аn-1=pn. Перемножив все найденные равенства и произведя сокращение, получим следующее разложение а на простые сомножители:
a=p1p2p3…pn.
Допустим, что для того же самого а существует и второе разложение на простые сомножители a=q1q2q3…qs. Тогда найдем
p1p2p3…pn=q1q2q3…qs.
Правая часть этого равенства делится на q1. Следовательно (b), по крайней мере один из сомножителей левой части должен делиться на q1. Пусть, например, p1 делится на q1 (порядок следования сомножителей в нашем распоряжении); тогда найдем p1=q1 (p1 кроме 1 делится только на р1). Сократив обе части равенства на p1=q1, получим p2p3…pn=q2q3…qs. Повторив прежние рассуждения применительно к этому равенству, получим p3…pn=q3…qs и т.д., пока, наконец, в одной части равенства, например, в левой не сократятся все сомно­жители. Но одновременно должны сократиться и все сомножители правой части, так как равенство 1=qп+1…qs при qn+1, ..., qs, превосходящих 1, невозможно. Таким образом, второе разложение на простые сомножители тождественно первому.
 Основная теорема арифметики указывает на принципиальную возможность разложения любого числа на простые сомножители. Однако практическое осуществление такого разложения встречает большие трудности, которые современная математика иногда еще не может преодолеть. Разложение больших чисел на простые множители или установления их простоты в настоящее время осуществляется на основы применения электронных вычислительным машин. Так, лишь совсем недавно было обнаружено, что число 219937-1 (в нем более шести тысяч цифр) является простым.
d. В разложении числа а на простые сомножители некоторые из них могут повторяться. Обозначая буквами p1, p2, …, pk различные из них и буквами 1, 2, , k кратности их вхождения в а, получим так называемое каноническое разложение числа а на сомножители
.
Пример. Каноническое разложение числа 588000: 588000=2535372.
e. В заключение мы докажем несколько теорем, касающихся делителей числа, а также наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного нескольких чисел.
1. Пусть - каноническое разложение числа а. Тогда все делители числа суть все числа вида
; (1)
0  1  1, 0  2  2, …, 0  k  k.
Доказательство: Пусть d делит а. Тогда (b, п. 1) a=dq и, следовательно, все простые делители числа d входят в каноническое разложение числа а с показателями, не меньшими тех, с которыми они входят в каноническое разложение числа d. Поэтому d имеет вид (1). Обратно, всякое d вида (1) делит а.
Пример. Все делители числа 720=24325 получим, если в выражении заставим 1, 2, 3 независимо друг от друга пробегать значения 1=0, 1, 3, 4; 2=0, 1, 2; 3=0, 1. Поэтому указанные делители будут 1, 2, 4, 8, 16, 3, 6, 12, 24, 48, 9, 18, 36, 72, 144, 5, 10, 20, 40, 80, 15, 30, 60, 120, 240, 45, 90, 180, 360, 720.
2. Наибольший общий делитель нескольких чисел является произведением степеней вида p, где p – общий простой делитель всех этих чисел, а  - наименьший из показателей, с которыми p входит в их канонические разложения.
3. Совокупность общих делителей нескольких чисел совпадает с совокупностью делителей их наибольшего общего делителя.
Доказательство: Пусть d - общий делитель чисел а, ..., l. Тогда имеют место равенства вида a=da1, ..., 1=dl1, которые показывают, что: а) всякий простой делитель p числа d должен быть делителем и каждого из чисел а, ..., l, а также что: b) этот делитель р должен входить в каноническое разложение числа d с показателем, не превосходящим наименьшего из тех, с которыми он входит в канонические разложения чисел а, ..., l; обратно, каждое d, подчиненное условиям а) и b), очевидно, является общим делителем чисел а, ..., l.
Наибольшим общим наибольшим делителем, т. е. наибольшим из общих делителей (а, п. 2) является тот из последних, в каноническом разложении которого показатели степеней простых чисел точно равны наименьшим из тех, с какими эти простые числа входят в канонические разложения чисел а, ...,.l.
А всякий общий делитель, как имеющий в своем каноническом разложении все показатели не превосходящими соответствующих показателей в каноническом разложении наибольшего общего делителя, будет делителем последнего.
Пример. Наибольший общий делитель чисел 6791400=2332527311, 178500=22353717, 27720=23325711 равен 22357=420.
4. Наименьшее общее кратное нескольких чисел является произведением степеней вида p, где p - простой делитель по меньшей мере одного из этих чисел, а  - наибольший из показателей, с которыми p входит в их канонические разложения.
5. Наименьшее общее кратное нескольких попарно простых чисел равно их произведению.
6. Совокупность общих кратных нескольких чисел совпадает с совокупностью кратных их наименьшего общего кратного.
Доказательство: Пусть М - общее кратное чисел a, ..., l. Тогда имеют место равенства вида М=ad', …, М=dl', которые показывают, что: а) всякий простой делитель p каждого из чисел а, ..., l должен быть делителем и числа М, а также что: b) этот делитель p должен входить в каноническое разложение числа М с показателем, не меньшим наибольшего из тех, с которыми он входит в канонические разложения чисел а, ..., l; обратно, каждое М, подчиненное условиям а) и b), очевидно, является общим кратным чисел а, ..., l.
Наименьшим общим кратным, т. е. наименьшим из общих кратных (а, п. 3), является то из последних, в каноническом разложении которого показатели степеней простых чисел точно равны наибольшим из тех, с какими эти простые числа входят в канонические разложения чисел а, ..., l.
В случае, когда а, ..., l - попарно простые и, следовательно, каждый множитель вида p канонического разложения наименьшего общего кратного входит в каноническое разложение одного и только одного из чисел а, ..., l, наименьшее общее кратное последних, очевидно, равно их произведению.
Всякое общее кратное, как имеющее в своем каноническом разложении все показатели не меньшими соответствующих показателей в каноническом разложении наименьшего общего кратного, будет кратным последнего.
Пример. Наименьшее общее кратное чисел 1800=233252, 3780=223357, 8910=234511 равно 233452711=1247400.
1.3.Признаки делимости
1.1.3.Признаки делимости на числа от 2 до 12
Рассмотрим признаки делимости.
Признак делимости на 2.
Число делится на 2 в том и только в том случае, если его последняя цифра четная.
Признак делимости на 3.
Вычислите сумму цифр интересующего вас числа. Если эта сумма выражается более чем однозначным числом, найдите сумму цифр полученной суммы, и т.д. до тех пор, пока вы не придете к однозначному числу, которое мы назовем цифровым корнем исходного числа. Если цифровой корень кратен 3, то исходное число делится на 3. Если же цифровой корень не кратен 3, то нужно установить наибольшее 0, 3 и 6, которое не превосходит цифрового корня. Взяв разность между цифровым корнем и найденным числом, мы узнаем остаток от деления на 3 исходного числа. Например, число 61671142 имеет цифровой корень, равный 1. Это означает, что остаток при делении числа на 3 равен 1.
Признак делимости на 4.
Число делится на 4 в том и только том случае, если две его последние цифры образуют двузначное число, делящееся на 4. (Это нетрудно понять, если учесть, что 100 и кратные ему числа делятся на 4.) Число 61671142 оканчивается цифрами 42. Поскольку число 42 при делении на 4 дает остаток 2, то и данное число при делении на 4 также даст остаток 2.
Признак делимости на 5.
Число делится на 5 в том и только том случае, если оно оканчивается на 0 или на 5. Если число не делится на 5, то его последняя цифра либо меньше 5 (но больше 0), либо больше 5. В первом случае остаток от деления числа на 5 равен последней его цифре, во втором - разности между последней цифрой и 5.
Признак делимости на 6.
Нужно проверить делимость интересующие нас числа на 2 и на 3 (то есть на делители числа 6). Число делится на 6 в том и только в том случае, если оно четное, а его цифровой корень делится на 3.
Признак делимости на 8.
Число делится на 8 в том и только том случае, если его последние 3 цифры образуют число, делящееся на 8. (Справедливость этого признака следует из того, что все числа, кратные тысяче, делятся на 8.) В противном случае остаток от деления на 8 числа, образованного последними тремя числами, совпадает с остатком от деления на 8 исходного числа. (Аналогичное правило справедливо для любой степени двойки 2n: число делится на  2n в том и только том случае, если число, образованное n его последними цифрами, делится на 2n.)
Признак делимости на 9.
Число делится на 9 в том и только том случае, если его цифровой корень равен 9. В противном случае цифровой корень совпадает с остатком от деления исходного числа на 9. Число 61671142 имеет цифровой корень равный 1, следовательно, остаток от деления номера на 9 равен 1.
Признак делимости на 10.
Число делится на 10 в том и только в том случае, если оно оканчивается на 0. В противном случае последняя цифра дает остаток от деления числа на 10.
Признак делимости на 12.
Проверьте делимость интересующего вас числа на 3 и 4 - делители 12. Число делится на 12 в том и только в том случае, если оно делится одновременно и на 3, и на 4.4
Признак делимости на 11.
Двигаясь справа налево, будем попеременно приписывать цифрам нашего числа знаки плюс и минус (последняя цифра берется со знаком плюс, предпоследняя - со знаком минус и т.д.), после чего вычислим сумму всех цифр (каждую следует брать с ее знаком). Исходное число делится 11 в том и только том случае, если полученная сумма делится на 11 (число 0 считается делящимся на 11). Для числа 61671142, которое неоднократно уже использовалось, получаем 2-4+1-1+7-6+1-6=-6. Поскольку полученная сумма не кратно 11, исходное число - не делится на 11. Чтобы найти остаток от деления числа на 11, рассмотрим все ту же сумму цифр, взятых с переменными знаками. Если эта сумма меньше 11 и положительна, то она совпадает с остатком. Если же сумма больше 11, то ее нетрудно свести к числу, меньшему 11, поделив на 11 и взяв остаток. Если последний положителен, то он совпадает с остатком от деления на 11 исходного числа. Если же он отрицателен, прибавьте к нему 11. (В примере  -6+11=5. Означает, что наш номер при делении на 11 дает в остатке 5.)
Признак делимости на 7.
Заметим, что из приведенного списка признаков делимости нет признака делимости на 7, волшебное число средневековой нумерологии. Семерка - единственное число, для которого до сих пор не удалось найти простого признака делимости. Столь необычное поведение семерки уже давно обратило на себя внимание тех, кто занимается теорией чисел. Было предложено множество весьма любопытных и на первый взгляд не связанных между собой признаков делимости на 7. К сожалению, большинство из них  требует ничуть не меньше затрат времени, чем обычное ("честное") деление на 7.
Приведем один из них. Старый и хорошо известный признак делимости основан на том обстоятельстве, что число 1001 (случайно совпадающее с числом сказок в сборнике "1001 ночь") равно произведению трех простых чисел 7, 11 и 13. Число, делимость которого требуется проверить, разбивается справа налево на трехзначные группы цифр. Например, число 61671142 разбивается на группы 61/671/142. Трехзначным числам, образуемым цифрами каждой группы, приписываются поочередно знаки плюс и минус, так что самое правое число имеет знак плюс, после чего их складывают: 142-671+61=-148. При делении на 7, 11 или 13 полученное число дает тот же остаток, что и исходное.
 Признаки делимости нередко позволяют находить изящные решения числовых задач, которые без них были бы чрезвычайно трудными.
Рассмотрим, например, следующую задачу. Возьмем девять карточек, перенумерованных цифрами от 1 до 9, и тщательно их перетасуем. Какова вероятность того, что девятизначное число, образованное цифрами на разложенных в ряд карточках, будет делиться на 9? Поскольку сумма цифр от 1 до 9 равна 45, а число 45 делится на 9, вы сразу же знаете, что искомая вероятность равна 1 (событие достоверно). Возьмем теперь 4 карточки с цифрами от 1 до 4. Какова вероятность того, что четырехзначное число, образованное цифрами на выложенных в случайном порядке карточках, будет делиться на 3? Зная признак делимости на 3, вы сразу же можете сказать, что эта вероятность равна 0 (событие невозможно).
1.3.2 Признак Паскаля
Блез Паскаль (родился в 1623 году) - один из самых знаменитых людей в истории человечества. Паскаль умер, когда ему было 39 лет, но, несмотря на столь короткую жизнь, вошел в историю как выдающийся математик, физик, философ и писатель. Его именем названы единица давления (паскаль) и весьма популярный сегодня язык программирования.
Но научные интересы Блеза Паскаля не ограничивались созданием калькулятора: он нашёл общий алгоритм для нахождения признаков делимости любого целого числа на любое другое целое число, способ вычисления биномиальных коэффициентов, сформулировал ряд основных положений элементарной теории вероятностей.
Признак Паскаля.
Если сумма остатков при делении числа по разрядам на число делится на , то и число делится на .
Признаки делимости на 3 и 9. 
Число делится на 3, если его сумма цифр делится на 3. Число делится на 9, если его сумма цифр делится на 9.
Доказательство:
1, 10, 100, 1000, ... при делении на 3, на 9 дают в остатке единицу.
Значит, число делится на 3, если его сумма цифр делится на 3. Число делится на 9, если его сумма цифр делится на 9.
Признак делимости на 11. На 11 делятся только те числа, у которых сумма цифр, стоящих на нечётных местах, либо равна сумме цифр, стоящих на чётных местах, либо отличается от неё на число, делящееся на 11.
Доказательство:
10=11-1, недостаток 1;
100=11·9+1, избыток 1;
1000=11·91-1;
10 000=11·909+1,
100 000=11·9091-1,
1000 000= 11·90909+1.
Надо найти сумму всех остатков по разрядам числа.
Значит, на 11 делятся только те числа, у которых сумма цифр, стоящих на нечётных местах, либо равна сумме цифр, стоящих на чётных местах, либо отличается от неё на число, делящееся на 11.
Пример 1.1.4.. Делится ли число 865 948 732 на 11?
8+5+4+7+2=26;
6+9+8+3=26; 26-26=0
Можно получить еще один признак делимости на 11.
Признак делимости на 11. Если сумма, составленная при разбивании числа справа налево на группы по две цифры, делится на 11, то и число делится на 11.
Доказательство:
100=11·9+1, избыток в 1;
10 000=11·909+1,
1000 000= 11·90909+1.
Число делится на 11, если сумма, составленная при разбивании числа справа налево на группы по две цифры, делится на 11.
Пример 1.1.5. 2 37 84 95 68.
2+37+84+95+68=286.
2+86=8811
1.3.3 Диофантовы уравнения
Диофантовы уравнения (простейшего вида) - это уравнения вида ax+by=c, решаемые в целых числах (a, b, c - известные целые коэффициенты, x и y - неизвестные). Для них существует общий метод решения, который здесь и будет рассказан. Кроме того, мы затронем и методы решения уравнений в целых числах вообще.
Утверждение. Пусть a,b - целые и (a,b)=d. Тогда существуют целые m и n такие, что am+bn=d.
Этот факт называется линейным разложением НОД.
Доказательство: Коэффициенты m и n находятся конструктивно из алгоритма Евклида (он есть в прошлой лекции "Теория чисел"). Всесто того, чтобы формально расписывать процесс их нахождения мы рассмотрим его на примере. Найдем НОД и линейное разложение для 2003 и 232.
2003=8·232+147, поэтому (2003,232)=(232,147); 232=1·147+85, поэтому (232,147)=(147,85);
147=1·85+62, поэтому (147,85)=(85,62); 85=1·62+23, поэтому (85,62)=(62,23);
62=2·23+16, поэтому (62,23)=(23,16); 23=1·16+7, поэтому (23,16)=(16,7);
16=2·7+2, поэтому (16,7)=(7,2); 7=3·2+1, поэтому (7,2)=(2,1)=1.
Мы нашли НОД, равный 1. А теперь раскрутим эту цепочку в обратном порядке:
7=3·2+1, откуда 1=7-3·2 (выразили НОД через 2 предыдущих остатка в цепочке);
16=2·7+2, откуда 2=16-2·7 и 1=7-3· (16-2·7)=7·7-3·16 (выразили остаток через 2 предыдцщих и подставили);
23=1•16+7, откуда 7=23-1•16 и 1=7•(23-1•16)-3•16=7•23-10•16 (повторили предыдущую операцию);
62=2•23+16, откуда 16=62-2•23 и 1=7•23-10•(62-2•23)=27•23-10•62 (и так далее...);
85=1•62+23, откуда 23=85-1•62 и 1=27•(85-1•62)-10•62=27•85-37•62;
147=1•85+62, откуда 62=147-1•85 и 1=27•85-37•(147-1•85)=64•85-37•147;
232=1•147+85, откуда 85=232-1•147 и 1=64•(232-1•147)-37•147=64•232-101•147;
2003=8•232+147, откуда 147=2003-8•232 и 1=64•232-101•(2003-8•232)=872•232-101•2003....пока не поднимемся до самого верха, до двух изначальных чисел.
Другим примером Диофантовых уравнений является:
x2 + у2 = z2. (5)
Это Диофантово уравнение 2-й степени. Сейчас мы займёмся поиском его решений. Удобно записывать их в виде троек чисел (x,y,z). Они называются пифагоровыми тройками. Вообще говоря , уравнению (5) удовлетворяет бесконечное множество решений. Но нас будут интересовать только натуральные. Целые, положительные решения этого уравнения представляют длины катетов х, у и гипотенузы z прямоугольных треугольников с целочисленными длинами сторон и называются пифагоровыми числами. Наша задача состоит в том, чтобы найти все тройки пифагоровых чисел. Заметим, что если два числа из такой тройки имеют общий делитель, то на него делится и третье число. Поделив их все на общий делитель, вновь получим пифагороау тройку. Значит от любой пифагоровой тройки можно перейти к другой пифагоровой тройке, числа которой попарно взаимо просты.

Список литературы

"1.Алгебра: Для 8 кл.: Учеб. пособие для учащихся шк. и кл. с углубл. изуч. математики / Н.Я.Виленкин, А.Н.Виленкин, Г.С.Сурвилло и др. Под ред. Н.Я.Виленкина. — 2-е изд. - М.: Просвещение, АО «Московские учебники», 1997. - 256 с.
2.Бабанский Ю.К. Проблемы повышения эффективности педагогических исследований: (Дидактический аспект). - М.: Педагогика, 1982.-192 с.
3.Бабанский Ю.К., Харьковская В.Ф. Проблема оптимизации процесса обучения математике // Изучение возможностей школьников в усвоении математики: Сб. научн. трудов НИИ школ. - М., 1977. - С. 3 - 28.
4.Баврин И.И., Фрибус Е.А. Занимательные задачи по математике. — М.: Гуманит. изд. центр ВЛАДОС, 1999. - 208 с.
5.Болтянский В.Г., Левитас Г.Г. Делимость чисел и простые числа // Дополнительные главы по курсу математики 7-8 классов для факультативных занятий. Пособие для учащихся / Сост. К.П.Сикорский. — М.: Просвещение, 1969. - С. 5 - 57.
6.Буфеев С. Авторская программа углубленного изучения математики для 8-11 классов // Математика. Еженедельное приложение к газете «Первое сентября».- 1996.- №48.-С. 2-3.
7.Василевский А.Б. Обучение решению задач по математике: Учеб. пособие для пед. институтов. - Минск: «Вышэйшая школа», 1988. - 255 с.
8.Васильев Н.Б., Гутенмахер В.Л. Делимость целых чисел: Учеб. пособие для учащихся ОЛ ВЗМШ. - М.: Изд-во ОЛ ВЗМШ, 2000. - 34 с.
9.Галицкий М.Л., Гольдман A.M., Звавич Л.И. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов: Учеб. пособие для учащихся шк. и классов с углубл. изуч. курса математики. - 2-е изд. - М.: Просвещение, 1994. — 271 с.
10.Гальперин Г.А., Толпыго А.К. Московские математические олимпиады. - М.: Просвещение, 1986. - 303 с.
11.Гамидов С.С. Методика преподавания элементов теоретической арифметики в факультативном курсе математики (VII - VIII классы): Автореф. дис. ... канд. пед. наук. - Баку, 1971. - 38 с.
12.Горбунова Г.А. О решении геометрических задач различными методами // Подготовка студентов пединститутов к внеурочной работе по математике. - Вологда, 1981. - С. 62 - 73.
13.Горельченко З.П. К вопросу о математических способностях учащихся школ: Дис. ... канд. пед. наук. - М., 1968. - 223 с.
14.Гусев В.А., Орлов А.И., Розенталь А.Л. Внеклассная работа по математике в 6-8 классах / Под ред. С.И.Шварцбурда. - М.: Просвещение, 1984.-286 с.
15.Дырченко И.И. Развитие математических способностей учащихся на внеклассных занятиях: Автореф. дис. ... канд. пед. наук. - М., 1963. — 19 с.
16.Дэвенпорт Г. Высшая арифметика. Введение в теорию чисел. - М.: Наука, 1965.- 176 с.
17.Евстигнеева И.С. Значение и постановка курса теоретической арифметики в средней школе и педагогических учебных заведениях: Автореф. дис. ... канд. пед. наук. - М., 1964. - 22 с.
18.Евтушевский В.А. Методика арифметики. - 17-е изд. - С.¬Петербург, 1912. - 352 с.
19.Егоров Ф.И. Методика арифметики. - М., 1917. — 454 с.
20.Ермакова Е.С. Развитие гибкости мыслительной деятельности детей дошкольного возраста: Автореф. дис. ... канд. пед. наук. — М., 1989. — 16 с.
21.Жмулева А.В. Факультативный курс «Избранные вопросы арифметики целых чисел» в VII классе средней школы: Дис. ... канд. пед. наук.-М., 1980.-229 с.
22.Жмулева А.В., Степанова Л.Л. Арифметика. Практикум по решению задач. - М: МГПИ им. В.И.Ленина, 1986. - 128 с.
23.Зеель Э.О. Теоретико-числовые задачи школьной математики. — Архангельск, 1992. - 46 с.
24.Земцова Л.И., Сушкова Е.Ю. Методики оценки эффективности учебно-воспитательного процесса (для учителей-экспериментаторов). Ч. 1. — М.: НИИ школ, 1987. - 102 с.
25.Зильберберг Н.И. Алгебра - 8. Учеб. пособие для углубленного изучения математики. - Псков, 1996. - 368 с.
26.Зосимовский А.В. Интересный эксперимент // Советская педагогика. - 1965. — № 6. - С. 46 - 56.
27.Ибрагимов Р.В. Воспитание интереса учащихся к математике и развитие их математических способностей // За прочные и глубокие знания школьников по математике. - Казань: Татарское книжное издательство, 1965.-С. 7-30.
28.Иваницына Е.П. Рациональный и нерациональный способы мышления (на материале решения геометрических задач на доказательство) // Вопросы психологии. - 1965. - № 3. - С. 11 - 20.
29.Кагазежев М.Н. Избранные вопросы элементарной математики (теории чисел и геометрии) на факультативных занятиях в X-XI классах: Автореф. дис. ... канд. пед. наук. -М., 1993. - 16 с.
30.Калмыкова З.И. Проблема преодоления неуспеваемости глазами психолога. - М.: Знание, 1982. - 96 с.
31.Канин Е.С. Развитие темы задачи // Математика в школе. - 1991. -№3.-С.8-12.
32.Канин Е.С., Нагибин Ф.Ф. Заключительный этап решения учебных задач // Преподавание алгебры и геометрии в школе: Пособие для учителей / Сост. О.А.Боковнев. -М.: Просвещение, 1982. - С. 131 - 138.
33.Киселев А.П. Арифметика. Учебник для 5-го и 6-го классов семилетней и средней школы. Переработка А.Я.Хинчина. - 16-е изд. - М.: Учпедгиз, 1954. - 168 с.
34.Киселев А.П. Алгебра. Ч. II. Учебник для 8-10 классов средней школы. - 41-е изд. - М.: Учпедгиз, 1964. - 232 с.
35.Клейман Я.М. Решение задач различными способами // Математика в школе. - 1987. - № 6. - С. 23 - 28.
36.Ковалев А.Г., Мясищев В.Н. Психические особенности человека. Т. 2. «Способности». - Л.: Изд-во ЛГУ, 1960. - 304 с.
37.Коварская Е.А. К вопросу о психолого-педагогическом значении разных учебных предметов // Естественный эксперимент и его школьное применение / Под ред. А.Ф.Лазурского. - Петроград, 1918. - С. 158 - 181.
38.Кожухов С.К. Составление задач школьниками // Математика в школе. - 1995. - № 2. - С. 4 - 6.
39.Колмогоров А.Н. О профессии математика. — 3-е изд. - М.: Изд-во Московского Университета, 1960. - 30 с.
40.Колягин Ю.М. Задачи в обучении математике. 4.1. Математические задачи как средство обучения и развития учащихся. - М.: Просвещение, 1977.-112 с.
41.Колягин Ю.М., Копылов B.C., Шепетов А.С. Опыт применения задач как средства диагностики развития математического мышления учащихся // Изучение возможностей школьников в усвоении математики: Сб. научных трудов. - М., 1977. - С. 66 - 75.
42.Колягин Ю.М., Оганесян В.А. Учись решать задачи. - М.: Просвещение, 1980. - 96 с.
43.Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Профильная дифференциация обучения математике // Математика в школе. — 1990. — №4.-С. 21-27.
44.Кострикина Н.П. Задачи повышенной трудности в курсе алгебры 7-9 классов: Кн. для учителя. - М.: Просвещение, 1991. - 239 с.
45.Крупич В.И. Теоретические основы обучения решению школьных математических задач. - М.: Прометей, 1995. - 210 с.
46.Крупская Н.К. Методические заметки // Педагог, соч. в десяти томах. Т. 3. - М.: Изд-во АПН РСФСР, 1959. - С. 552 - 560.
47.Крутецкий В.А. Основы педагогической психологии. - М.: Просвещение, 1972. - 255 с.
48.Крутецкий В.А. Психология математических способностей школьников. - М.: Просвещение, 1968. - 432 с.
49.Крутецкий В.А. Психология. - М.: Просвещение, 1980. - 352 с.
50.Куликова О.С. Геометрические задачи на построение как средство развития математических способностей учащихся: Дис. ... канд. пед. наук. — М., 1998.-215 с.
51.Лейтес Н.С. Возрастные и типологические предпосылки развития способностей: Автореф. дис. ... канд. психол. наук. — М., 1970. - 32 с.
52.Лейтес Н.С. Об умственной одаренности. Психологические характеристики некоторых типов школьников. - М.: АПН РСФСР, 1960. — 215 с.Менчинская Н.А. Интеллектуальная деятельность при решении арифметических задач // Известия АПН РСФСР. - М. - Л., 1946. - вып. 3. — С. 99-134.
53.Математика. 5 класс. Учебник. Зубарева И.И., Мордкович А.Г 9-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2009. - 270 с.
54.Менчинская Н.А. Психология обучения арифметике. - М.: Учпедгиз, 1955.-432 с.
55.Мерлина Н.И. Теоретические основы дополнительного математического образования школьников: Дис. ... докт. пед. наук. — Чебоксары, 2000. - 289 с.
56.Метельский Н.В. Психолого-педагогические основы дидактики математики. - Минск: «Вышэйшая школа», 1977. - 160 с.
57.Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика. Учеб. пособие для студентов пед. ин-тов по спец. «Математика и физика» / А.Я.Блох, Е.С.Канин, Н.Г.Килина и др.; Сост. Р.С.Черкасов, А.А.Столяр. - М.: Просвещение, 1985. - 336 с.
58.Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика. Учеб. пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов / Ю.М.Колягин, В.А.Оганесян, В.Я.Саннинский, Г.Л.Луканкин - М.: Просвещение, 1975. - 462 с.
59.Методика преподавания математики в средней школе: Частная методика: Учеб. пособие для студентов пед. ин-тов по физ.-мат. спец. / А.Я.Блох, В.А.Гусев, Г.В.Дорофеев и др.; Сост. В.И.Мишин. — М.: Просвещение, 1987. - 416 с.
60.Мирзоев М.С., Матросов В.Л., Жданов С.А. О некоторых алгоритмах теории распознавания образов для выявления уровня математических способностей учащихся // Научные труды Mill У. Серия: естественные науки. - М.: Mill У, 1994. - С. 27 - 31.
61.Михелович Ш.Х. Теоретико-числовые вопросы в школьном курсе математики: Автореф. дис. ... канд. пед. наук. - М., 1969. — 16 с.
62.Мордкович А.Г. Профессионально-педагогическая направлен¬ность специальной подготовки учителя математики в педагогическом институте: Дис. ... докт. пед наук. - М., 1986. - 355 с.
63.Мордухай-Болтовской Д. Психология математического мышления // Вопросы философии и психологии. - М.,1908, книга IV(94). -С. 491 -534.
64.Морозова Е.А., Петраков И.С. Международные математические олимпиады. - М: Просвещение, 1967. - 176 с.
65.Мырзабеков С.А. Проблемный подход при изучении арифметики целых чисел в школах (классах) с углубленным изучением математики и на факультативных занятиях в 8-9 классах неполной средней школы (на материале делимости чисел): Дис. ... канд. пед. наук. - М., 1991. -184 с.
66.Нечипоренко К.А. Элементы теории чисел на факультативных занятиях в VII - VIII классах средней школы: Автореф. дис. ... канд. пед. наук. - Киев, 1975. - 32 с.
67.Нижников А.И. Теория и практика проектирования методической системы подготовки современного учителя математики: /Дис. ... докт. пед. наук в виде научного доклада. - М., 2000. — 45 с.
68.Программы школ и классов с углубленным теоретическим и практическим изучением математики (IX-X классы). — М., 1974. — 56 с.
69.Самарин Ю.А. Знания, потребности и умения как динамическая основа умственных способностей // Проблемы способностей. — М.: Изд-во АПН РСФСР, 1962. - С. 42 - 52.
70.Саранцев Г.И. Составление геометрических задач на заданных чертежах // Математика в школе. - 1993. - № 6. - С. 14 - 16.
71.Саранцев Г.И. Упражнения в обучении математике. - М.: Просвещение, 1995. - 239 с.
72.Саранцев Г.И. Математические способности школьников // Проблемы развития математических способностей школьников: Тез. докл. республиканской научно-практической конференции. - Саранск, 1996. — С. 3-4.
73.Семья Ф.Ф. Самостоятельное составление задач учащимися начальных классов как средство обучения решению задач и развития творческих способностей учащихся: Автореф. дис. ... канд. пед. наук. — Киев, 1970.-24 с.
74.Серпинский В. 250 задач по элементарной теории чисел. - М.: Просвещение, 1968. - 160 с.
75.Сивашинский И.Х. Задачи по математике для внеклассных занятий (9-10 классы) / Под ред. В.Г.Болтянского. - М.: Просвещение, 1968. -311 с.
76.Система упражнений, направленных на диагностику и формирование математических способностей школьников. — Ташкент, 1986. -48 с.
77.Смирнова И.М. Научно-методические основы преподавания геометрии в условиях профильной дифференциации: Дис. ... докт. пед. наук. -М., 1994.-364 с.
78.Снигирев В.Т., Чекмарев Я.Ф. Методика арифметики. - 7-е изд. -М., 1948.-344 с.
79.Страчевский Э.А. Составление задач по математике как средство активизации мыслительной деятельности учащихся (на материале седьмых - десятых классов): Автореф. дис. ... канд. пед. наук. - М., 1973. — 24 с.
80.Факультативный курс по математике: Учеб. пособие для 7-9 кл. средней школы / Сост. И.Л.Никольская. - М.: Просвещение, 1991. — 383 с.
81.Фридман Л.М. Логико-психологический анализ школьных учебных задач. - М.: Педагогика, 1977. - 208 с.
82.Фридман Л.М. Теоретические основы методики обучения математике. -М., 1998. -216 с.
83.Хабина Э.Л. Задачи на делимость // Математика. Еженедельное приложение к газете «Первое сентября». - 2002. - № 11. - С. 31 - 32.
84.Хинчин А.Я. Три жемчужины теории чисел. — М.: Наука, 1979. -64 с.
85.Хмара Т.Н. Изучение вопросов делимости чисел в восьмилетней школе: Автореф. дис. ... канд. пед. наук. - Киев, 1975. - 29 с.
86.Холодная М.А. Психология интеллекта: парадоксы исследования. — Томск: Изд-во Том. ун-та. Москва: Изд-во Барс, 1997. — 392 с.


Очень похожие работы
Пожалуйста, внимательно изучайте содержание и фрагменты работы. Деньги за приобретённые готовые работы по причине несоответствия данной работы вашим требованиям или её уникальности не возвращаются.
* Категория работы носит оценочный характер в соответствии с качественными и количественными параметрами предоставляемого материала. Данный материал ни целиком, ни любая из его частей не является готовым научным трудом, выпускной квалификационной работой, научным докладом или иной работой, предусмотренной государственной системой научной аттестации или необходимой для прохождения промежуточной или итоговой аттестации. Данный материал представляет собой субъективный результат обработки, структурирования и форматирования собранной его автором информации и предназначен, прежде всего, для использования в качестве источника для самостоятельной подготовки работы указанной тематики.
bmt: 0.00532
© Рефератбанк, 2002 - 2024