Оценка погрешностей функций приближенных аргументов

Оглавление
Введение
Источники и классификация погрешностей
Абсолютная и относительная погрешности вычисления
Погрешность вычисления значений функции.
Погрешность суммы
Погрешность разности
Погрешность произведения
Погрешность частного
Обратная задача оценки погрешности
Заключение
Список литературы

Оценка погрешностей функций приближенных аргументов

В данном реферате рассматриваются вопросы, связанные со вторым этапом вычислительного эксперимента. Во многих случаях вычислительный алгоритм решения сложной задачи строится из набора базовых компонент, представляющих собой алгоритмы решения некоторых стандартных математических задач. Изучение численных методов решения этих задач - необходимый элемент овладения современной технологией математического моделирования.При этом идея модели лежит в основе того, что можно назвать методом вычислительной математики. Как правило, алгоритмы приближенного решения базируются на том, что исходная математическая задача заменяется (аппроксимируется) некоторой более простой или чаще последовательностью более простых задач. Решение этих более простых задач трактуется как приближенное решение задачи исходной. Т.е. фактически используется некоторая модель исходной задачи.Цель работы является изучение оценок погрешностей функции приближенных аргументов.Объектом исследования является построение оценок, предметом –функции приближенных аргументов.Источники и классификация погрешностейОценивая погрешности измерения, следует понимать, что уровень точности, к которому необходимо стремиться, должен определяться критериями технической и экономической целесообразности. В метрологии установлено, что увеличение точности измерения вдвое удорожает само измерение в дватри раза. В то же время уменьшение точности измерения в производстве ниже определенной нормы приводит к появлению существенного брака изделий. При установлении точности измерений важно также учитывать их значимость. В одних случаях недостаточная точность получаемой измерительной информацией имеет небольшое или локальное значение, в других. — играет исключительно важную роль: от точности измерения могут зависеть как здоровье и жизнь людей, так и научное открытие.Если прямое измерение физической величины проведено один раз (так называемое однократное прямое измерение), то результатом измерения является непосредственное показание средства измерения. При этом за погрешность результата измерения часто принимают погрешность средства измерения. Кстати, при использовании термина «результат измерения» следует четко указать, к чему он относится: показанию средства измерения, исправленному или не исправленному результату, и проводилось ли усреднение результатов нескольких измерений. Следует отметить, что исправленным результатом измерений называется полученное с помощью средства измерения значение величины и уточненное путем введения в него необходимых поправок на действие предполагаемых систематических погрешностей. [1]В случае многократных наблюдений результат измерения и его погрешность находят различными методами статистической обработки всех выполненных наблюдений.Погрешность решения задачи обуславливается следующими причинами:1. Математическое описание задачи является неточным, в частности, неточно заданы исходные данные описания.2. Применяемый для решения метод часто не является точным: получение точного решения задачи требует неограниченного или неприемлемо большого числа арифметических операций, и поэтому вместо получения точного решения приходится прибегать к приближенному.3. При выполнении арифметических операций на ЭВМ или любым другим образом, как правило, производятся округления. (Это же относится к вводу чисел в память ЭВМ и выводу полученных результатов.)Погрешности, соответствующие этим причинам, называются: [2]· неустранимая погрешность,· погрешность метода,· вычислительная погрешность.Абсолютная и относительная погрешности вычисленияЕсли - точное значение некоторой величины, а - известное приближение к нему, то абсолютной погрешностью приближения называют обычно некоторую величину , про которую известно, что она удовлетворяет неравенству:Относительной погрешностью называют некоторую величину , про которую известно, что она удовлетворяет неравенству:Относительную погрешность часто выражают в процентах. Она дает более точное представление о величине ошибки, содержащейся в некоторой величине. [1]Погрешность вычисления значений функции.Пусть непрерывно дифференцируемая функция,- приближенные значения ее аргументов, для которых- известные абсолютные погрешности.Для погрешности приближенного значения функции по формуле Лагранжа получаем, где Заменяя,получаемОценка погрешности соответственно:, где или ,где Погрешность суммыПусть задана функцияТогда, .Для абсолютной погрешности получаем [3].Относительная погрешность .Пусть , , тогда , т.е. при сложении приближенных величин относительная погрешность не возрастает.Погрешность разностиПусть задана функцияТогда аналогично предыдущему абсолютная погрешность.Для относительной погрешности имеем формулу.Отсюда следует, что если приближенные значения и близки друг к другу, то относительная погрешность их разности может оказаться намного больше и . [3]Погрешность произведенияПусть задана функция Тогда абсолютная погрешность.Относительная погрешность .Погрешность частногоПусть задана функцияТогда абсолютная погрешность.Относительная погрешность Обратная задача оценки погрешностиИногда возникает задача определения допустимой погрешности аргументов, при которой погрешность значений функции будет не более заданной величины .[1]Используем ранее полученное неравенство.Должно быть.При n=1 вопрос решается однозначно:При n>1 возможны разные подходы:1. Считать погрешности всех аргументов одинаковымиТогда получаем, Следовательно2. Считать, что вклад погрешности каждого аргумента в погрешность результата одинаков.