Многоканальная система массового обслуживания с отказами.

Содержание


Введение
1. Классификация моделей массового обслуживания
2. Показатели моделей массового обслуживания
2. Многоканальная СМО с отказами
Заключение
Список литературы

Многоканальная система массового обслуживания с отказами.

а) загрузка одноканальной системы – и загрузка канала при многоканальной системе – ();
б) среднее число каналов m, занятых обслуживанием, – E (m)= ;
в) среднее число простаивающих каналов – E(m0)=;
г) коэффициент использования (занятости) канала – (Ks);
д) коэффициент простоя (отказ) канала – (K0);
е) относительная (G) и абсолютная (A) пропускная способность СМО;
ж) среднее число требований, находящихся в системе, – (Ls);
з) среднее число требований, ожидающих в очереди, – (Lq);
и) среднее время ожидания требования в очереди – (Wq);
к) среднее время пребывания требования в системе – (Ws).
Рассмотрим приемы вычисления показателей первой группы на примере наиболее распространенной модели СМО (M/M/m ≥ 2) с ожиданием и содержащей m параллельных обслуживающих каналов. Здесьпоступающие требования не теряются и оставляют систему лишь после обслуживания. Каналы выполняют однородные операции, и время обслуживания каждым каналом распределено по экспоненциальному закону с параметром , а входящий поток – пуассоновский с параметром , дисциплина очереди не регламентирована и отсутствует ограничение на число поступающих требований. Модель СМО представляется в виде системы уравнений для стационарного состояния.
Определение вероятности наличия n требований (Pn) в системе зависит от соотношения числа поступающих требований (n) в единицу времени и количества каналов обслуживания (m).
1. Для условия, когда , Pn определяется по формуле математического ожидания дискретной случайной величины.
2. Для условия, когда 1 n m, вероятность, что все требования находятся на обслуживании (или очереди нет) рассчитывается по формуле вида:
.
3. Для условия, когда n > m, имеем, что m требований находится на обслуживании, а (n – m) ожидают в очереди, и, соответственно, вероятность Pn определяется по формуле:
,

где – интенсивность входного потока требований;
– интенсивность обслуживания требований одним каналом.
Если имеем, что / m < 1, то вероятность отсутствия требований в системе P0 определяется по формуле для стационарного режима:

Среднее число занятых обслуживанием каналов определяется по формуле:

или по формуле математического ожидания дискретной случайной величины:

Тогда, среднее число простаивающих каналов будет:
6
Коэффициенты использования (загрузка канала) и простоя канала, соответственно:
и .
Среднее число требований, ожидающих очереди, находится из выражения:

Среднее время ожидания в очереди составит:

Среднее время пребывания требования в системе равно:

Среднее число требований, находящихся в системе, равно:

Для общего случая определяется по формуле:
.7
Для оценки параметров вероятностной системы и ее случайных процессов с позиции устойчивости предусматривается использование найденных значений характеристик случайных функций, являющихся неслучайными функциями аргумента t. К ним относят математическое ожидание, дисперсию, корреляционную функцию, коэффициент вариации, характеризующий некоторую среднюю реализацию случайного процесса (или случайной функции) по множеству наблюдений. Статистики находятся через параметры СМО. Например, дисперсия (D) для числа требований, находящихся в системе, равна:
8
Показатели, определяющие экономические последствия от принятия решений по совершенствованию обслуживания клиентов (потребителей), сводятся к определению экономической эффективности и потерям в связи с отказами системы на обслуживания и ожиданием обслуживания.
2. Многоканальная СМО с отказами
В подавляющем большинстве случаев на практике система массового обслуживания является многоканальными, то есть параллельно могут обслуживаться несколько заявок, и, следовательно, модели с  обслуживающими каналами (где число каналов обслуживания n>1) представляют несомненный интерес.
Процесс массового обслуживания, описываемый данной моделью, характеризуется интенсивностью входного потока  λ, при этом параллельно может обслуживаться не более n клиентов (заявок). Средняя продолжительность обслуживания одной заявки равняется   1/μ. Режим функционирования того или иного обслуживающего канала не влияет на режим функционирования других обслуживающих каналов системы, при чем длительность процедуры обслуживания каждым из каналов является случайной величиной, починенной экспоненциальному закону распределения. Конечная цель использования параллельно включенных обслуживающих каналов заключается в повышение (по сравнению с одноканальной системой) скорости обслуживания требований за счет обслуживания одновременно  n клиентов.
  Стационарное решение системы имеет вид:
Здесь Р0 – доля времени, когда все каналы свободны. Безразмерная величина, находится в диапазоне от 0 до 1. Является промежуточной величиной расчета всех СМО. Через нее выражаются многие остальные параметры. В многоканальной СМО с отказами определяется по формуле:
n – число каналов обслуживания (мастеров, врачей, барменов и т.п.). Измеряется в «штуках».
Здесь ρ – интенсивность нагрузки. Безразмерная величина. До вычисления ρ параметры λ и μ обязательно должны быть приведены к единой единице времени:
λ – интенсивность внешнего потока (среднее число заявок в единицу времени; число клиентов, пациентов и т.п., обращающихся в единице времени). Измеряется в «штуках» за единицу времени.
μ – интенсивность обслуживания одним каналом (среднее число заявок, которые обслуживает один канал за единицу времени; число заказов, обслуживаемых за единицу времени). Измеряется в «штуках» за единицу времени. Связан со среднем временем обслуживания соотношением:
В многоканальной СМО с отказами верно выражение:
Рзан = Ротк.
Рзан – вероятность того, что все каналы обслуживания заняты (заняты все мастера, врачи и т.д.). Безразмерная величина, находится в диапазоне от 0 до 1. Иначе говоря, это доля времени, в которое поступившая заявка попадает в очередь или получает отказ, если очереди нет или она максимально заполнена.
Ротк – вероятность отказа в обслуживании или доля из общего числа требований, которым будет отказано в обслуживании из-за занятости всех каналов и мест ожидания или из-за превышения максимального времени ожидания. Безразмерная величина, находится в диапазоне от 0 до 1.
Q – вероятность обслуживания или доля из общего числа требований, которые будут обслужены. Безразмерная величина, находится в диапазоне от 0 до 1. Еще одно название – относительная эффективность обслуживания.
В многоканальной СМО с отказами вероятность обслуживания:
Q = 1 – Pотк.
Здесь
λэфф – абсолютная эффективность обслуживания (абсолютная пропускная способность). Количество требований, которые будут обслужены в единицу времени (число обслуженных за день, за час, за минуту заявок, клиентов и т.п.). Измеряется в «штуках».
λотк – абсолютная эффективность отказа. Количество требований, получивших отказ в обслуживании в единицу времени (число клиентов, заявок и т.п., которым будет отказано в течении дня, часа, минуты). Измеряется в «штуках».
 – среднее число занятых каналов обслуживания (число работающих мастеров, занятых телефонов и т.п.). Измеряется в «штуках», характеризует степень загрузки СМО.
Wо – среднее время, которое проводит требование в очереди (общее время, которое, в среднем, один клиент проводит в ожидании начала обслуживания и во время обслуживания). Измеряется в единицах времени.
Wс – среднее время, которое проводит требование в системе (время, которое, в среднем, один клиент проводит в ожидании начала обслуживания). Измеряется в единицах времени.9
Формулы для вычисления вероятностей называются формулами Эрланга.
    
  
Заключение
Системы массового обслуживания (СМО)— это такие системы, в которые в случайные моменты времени поступают заявки на обслуживание, при этом поступившие заявки обслуживаются с помощью имеющихся в распоряжении системы каналов обслуживания.