Методология математического моделирования экономических процессов.

Содержание:

Введение
Понятие модели
Краткая характеристика математических методов при исследовании экономических систем
Заключение
Литература

Методология математического моделирования экономических процессов.

система, объект или процесс описываются математической или имитационной моделью;
имеются соответствующие массивы количественных данных.
По признаку используемого математического аппарата можно выделить следующие методы5:
классической математики;
прикладной математики.
Методы классической математики включают:
математический анализ;
теорию вероятностей.
Методы математического анализа включают:
дифференциальное исчисление;
вариационное исчисление;
комбинаторные методы;
теории расписаний и игр;
теории массового обслуживания и управления запасами;
методы экспертных оценок;
симплексный метод и др.
Методы математического анализа обычно используются при расчетах календарно-плановых нормативов, определении размеров партий продукции и т.п. Прикладная математика включает группуследующих методов:
оптимального программирования;
математической статистики.
Оптимальное программирование – это комплекс специальных методов, обеспечивающих в условиях множества возможных решений выбор такого решения, которое является наилучшим относительно некоторого критерия с учетом существующих ограничений. Решение задач оптимального программирования осуществляется следующими основными методами:
линейного программирования;
стохастического программирования;
целочисленного (дискретного) программирования;
нелинейного программирования;
выпуклого программирования;
квадратичного программирования;
динамического программирования.
Линейное программирование используется в том случае, когда целевая функция и ограничительные условия выражены линейными уравнениями. Решение задачи состоит в определении значений переменных, обеспечивающих максимум или минимум целевой функции.
Целочисленным программированием называется линейное программирование, когда аргументы могут принимать только целочисленные значения.
Стохастическое программирование использует аппарат линейного программирования при случайном характере аргументов.
Методы нелинейного программирования используются тогда, когда зависимости между переменными в целевой функции и (или) ограничениях носят нелинейный характер. Задачи нелинейного программирования достаточно сложны и не имеют универсального метода решения.
Выпуклое программирование включает совокупность специальных методов решения нелинейных экстремальных задач, в которых выпуклы либо целевые функции, либо ограничительные условия.
Квадратичное программирование – это совокупность методов решения особого класса экстремальных задач, в которых ограничительные условия линейны, а целевая функция является многочленом второй степени. Методы нелинейного программирования используются при решении задач расчета роста производительности труда, изменения издержек производства и т.д.
Метод динамического программирования позволяет записать оптимальное решение в самом общем виде. При этом процесс моделируется в противоположном направлении движению времени: «из будущего в настоящее». Теоретической основой этого метода является принцип оптимальности Беллмана-Понтрягина, который гласит: «Всякая оставшаяся часть оптимального процесса – оптимальна». Процесс моделирования протекает в обратном отсчете времени: от конечного состояния к текущему состоянию, а вся траектория движения во времени разбивается на ряд отрезков. На первом этапе определяется оптимальное решение для последнего (ближайшего к конечному состоянию) отрезка траектории. Затем определяется оптимальное решение на сумме последнего и предпоследнего отрезков траектории и т.д. Данным методом могут решаться задачи замены оборудования с назначением целевой функции – прибыль от эксплуатации, распределения различных видов ресурсов по производствам и т.д.
Линейное программирование – наиболее часто используемый математический метод при исследовании экономических систем, особенно для построения оптимальных программ развития предприятий и организаций. Для конкретного предприятия можно сформировать различные варианты плана производства его продукции или оказания услуг. Вариант плана, являющийся наилучшим с позиций достижений уровня определенного показателя, например прибыли или производительности, называется оптимальным. Процесс составления такого плана называется оптимальным планированием. Непременным условием применимости метода линейного программирования, позволяющего получить решение экстремальных задач, является линейная зависимость между неизвестными переменными и наличием линейного критерия (экстремальные задачи – это задачи, при решении которых определяется экстремум функции – ее максимум или минимум). Впервые в 1938 г. Л.В. Канторович использовал методологию линейного программирования для практического составления наилучшей производственной программы. Однако термин «линейное программирование» появился в 1951 г. в работах Дж. Б. Данцига и Т. Купманса (США). Задачи линейного программирования формируются при обязательном наличии ограничений на производственную мощность, материальные, финансовые, трудовые ресурсы и т.д.
Как уже отмечалось, необходимым условием решения задачи линейного программирования является наличие количественно оцениваемого критерия оптимальности плана. Показатель, по которому оценивается мера эффективности плана, его оптимальность, называется критерием оптимальности. Критерий оптимальности должен соответствовать следующим требованиям:
быть единственным при решении задачи оптимизации;
количественно вычисляться или измеряться.
Задача линейного программирования формулируется следующим образом. Пусть имеем экономическую систему или процесс, который в пространстве положительных переменных моделируется линейными алгебраическими уравнениями с известными коэффициентами. Эти уравнения могут иметь вид равенств или неравенств. Например:
;
;
(1.1)
или
;
; (1.1)
.
Предполагается, что переменные положительны:
. (1.3)
Задана также целевая функция, характеризующая деятельность экономической системы или протекания производственного процесса:
. (1.4)
При этом коэффициенты в уравнениях и целевой функции – действительные числа, которые могут быть положительными, отрицательными или равными нулю.