Оптимальный портфель, формирование оптимального портфеля

Введение
Глава 1. Модели задач портфельного инвестирования
1.1.Основы классической теории инвестиций
1.1.1.Виды инвестиционного портфеля
1.1.2.Доходность и риск портфеля ценных бумаг
1.2.Модель Марковица
1.2.Модель Шарпа
1.3.Модель Тобина
1.4.Модель Блэка
Глава 2. Методы решения задач портфельного инвестирования
2.1.Метод множителей Лагранжа. Целесообразность применения множителей Лагранжа для решения задач портфельного инвестирования
2.2.Методы квадратичного программирования. Метод Вульфа
2.3.Методы решения систем алгебраических уравнений. Метод Гаусса
Заключение
Список литературы

Оптимальный портфель, формирование оптимального портфеля

ri,t и rj,t – доходность ценных бумаг i и j в момент времени t;
E(ri), E(rj) – ожидаемая (средняя арифметическая) доходность ценных бумаг i и j;
N – общее количество шагов наблюдения.
Часто при определении степени взаимосвязи двух случайных величин используют относительную величину – коэффициент корреляции ρi,j:
Коэффициент корреляции между доходностью ценных бумаг i и j равен отношению ковариации доходности этих ценных бумаг к произведению их стандартных отклонений. Значения ρij изменяются в пределах: - 1 ≤ ρi,j ≤ +1 и не зависят от способов подсчета величин σij и σi, σj. Это позволяет более точно оценивать степень взаимосвязи доходности двух ценных бумаг: если ρi,j > 0, то доходность ценных бумаг i и j имеет тенденцию изменяться в одних и тех же направлениях, то есть, когда доходность i-ой ценной бумаги возрастает (снижается), то и доходность j-ой ценной бумаги также возрастает (снижается). Чем ближе значение ρi,j к величине +1, тем сильнее эта взаимосвязь. Когда ρi,j = + 1, то считается, что ценные бумаги i и j имеют абсолютную положительную корреляцию: в этом случае значение годовой доходности ri,t и rj,t связаны положительной линейной зависимостью, то есть любым изменениям ri,t всегда соответствуют пропорциональные изменения rj,t в тех же направлениях.
Если ρi,j отрицательны, то ri,t и rj,t имеют тенденцию изменяться в разных направлениях: когда ri,t возрастает (снижается), rj,t уменьшается (повышается). Чем ближе в этом случае ρi,j к величине (- 1), тем выше степень отрицательной взаимосвязи. При ρi,j = - 1 наблюдается абсолютная отрицательная корреляция, когда ri,t и rj,t связаны отрицательной линейной зависимостью. При ρi,j = 0 отсутствует какая-либо взаимосвязь между величинами доходности двух ценных бумаг.
Коэффициент корреляции очень важен для формирования портфеля. Чем ниже коэффициент корреляции ценных бумаг, составляющих портфель, тем ниже и риск инвестиционного портфеля.
Итак, риск инвестиционного портфеля надо определять с помощью дисперсии. Пусть в исследуемый портфель входят n ценных бумаг; тогда дисперсию портфеля необходимо вычислять по формуле:
Если вспомнить, что коэффициент корреляции ρi,j = σi,j / σiσj, то эту формулу можно представить в виде:
В результате можно сделать следующие выводы:
доходность портфеля есть взвешенная средняя значений доходности входящих в портфель акций (весами служат доли инвестиций в каждую акцию);
если акции ведут себя совершенно одинаково (Соr = +1), то стандартное отклонение портфеля остается таким же, как у входящих в портфель акций;
риск портфеля не является средней арифметической взвешенной входящих в портфель акций; портфельный риск (за исключением крайнего случая, когда (Соr = +1) будет меньше, чем средняя взвешенная стандартных отклонений, входящих в портфель акций;
при достижении коэффициентом корреляции определенного значения можно достичь такого сочетания акций в портфеле, что степень риска портфеля может быть ниже степени риска любой акции в портфеле;
наибольший результат от диверсификации может быть получен от комбинаций акций, которые находятся в негативной корреляции; если коэффициент корреляции двух акций равен -1, то теоретически из пар таких акций можно сформировать безрисковый портфель (со стандартным отклонением, равным нулю);
в действительности негативная корреляция акций почти никогда не встречается, и безрисковый портфель акций сформировать практически невозможно;
риск портфеля может быть снижен за счет увеличения числа акций в портфеле, при этом степень снижения риска зависит от корреляции добавляемых акций; чем меньше коэффициент корреляции добавляемых акций, тем значительнее снижение риска портфеля
1.2. Модель Марковица
Как было показано выше, любой портфель ценных бумаг следует оценивать как с точки зрения уровня доходности, так и степени риска. Большинство инвесторов при формировании портфеля ориентируются не только на получение более высокой нормы прибыли, но и стремятся снизить риск своих вложений, т.е. перед ними возникает проблема выбора состава портфеля. Традиционный подход состоит в том, чтобы диверсифицировать свои вложения. Если инвестор распределит свои вложения, например, на 10 равных частей для вложения в 10 различных акций, то подобная операция сама по себе уже будет означать снижение риска инвестиций. Однако такой подход является главным образом качественным, так как при этом обычно не производится точная количественная оценка всех ценных бумаг в портфеле, производится лишь качественный отбор ценных бумаг; не ставится задача достичь какой-то определенной величины ожидаемой нормы прибыли или степени риска портфеля. Однако если учесть, что в любой стране в обращении находятся десятки тысяч акций, то выбор инвестора огромен и визуального отбора становится явно недостаточно.
До начала 1950-х гг. риск был определен только качественно, т.е. большинство менеджеров использовали обобщенную классификацию акций, подразделяя их на консервативные, дешевые, растущие, доходные и спекулятивные. Подобное несовершенство в отношении оценки инвестиций создали исключительно благоприятные условия для ученых - попытаться применить формальную аналитическую технику к практическим проблемам, связанным с выбором инвестиций. В результате возникло значительное количество новых идей относительно инвестиционного процесса что, в конечном счете, и сформировало современную теорию оценки инвестиций, или теорию портфеля.
Современная теория портфеля, трактуя риск в количественных терминах и основываясь на тщательном анализе и оценке индивидуальных ценных бумаг, дает количественную определенность целям портфеля и в зависимости от заданных параметров соотношения дохода и риска портфеля определяет состав портфеля.
Первой работой, в которой были изложены принципы формирования портфеля в зависимости от ожидаемой нормы прибыли и риска портфеля явилась работа Гарри Марковица под названием «Выбор портфеля: эффективная диверсификация инвестиций». Она была опубликована в журнале в 1952 г., а в 1959 г. издана отдельной книгой. Эта работа дала толчок для целой серии исследований и публикаций, имеющих дело с механизмом оценки ценных бумаг, в результате чего были разработаны основы теории оценки инвестиций, суть которой составляет так называемая «Модель оценки финансовых активов» (Capital Assets Pricing Model, САРМ).
Марковиц основывается на допущении, что большая часть инвесторов будет избегать риска, если этот риск не возмещается более высокими доходами от инвестиций. Для каждого заданного размера прибыли большинство инвесторов предпочитают портфель, который будет обеспечивать минимальные отклонение от ожидаемых значений. Таким образом, риск был представлен Марковицем как неопределенность, измеряемая стандартным отклонением. Это была первая попытка дать количественную оценку степени риска инвестиций, учитываемых при формировании портфеля.
Предполагая, что инвесторы стараются избегать риска, Марковиц пришел к выводу, что инвесторы будут пытаться минимизировать стандартное отклонение доходности портфеля путем диверсификации ценных бумаг в портфеле. Но особенно важно то, что, как подчеркнул Марковиц, сочетание различных выпусков ценных бумаг и портфеле может незначительно снизить отклонение ожидаемой доходности, если эти ценные бумаги имеют высокую степень позитивной ковариации. Эффект от диверсификации достигается только и том случае, если портфель составлен из ценных бумаг, которые ведут себя несхожим образом. В этом случае стандартное отклонение доходности портфеля может быть значительно меньше, чем отклонения для индивидуальных ценных бумаг в портфеле.
Это положение легко объясняется на примере портфеля, состоящего из двух акций. Если акции ведут себя совершенно одинаково, то в этом случае комбинация ценных бумаг в портфеле не снижает риска портфеля. В то же время если две ценные бумаги имеют абсолютно негативную корреляцию (Сог = -1), то риск портфеля может быть полностью исключен.
Для практического использования модели Марковица необходимо определить для каждой акции ожидаемую доходность, ее стандартное отклонение и ковариацию между акциями. Если имеется эта информация, то, как показал Марковиц, с помощью квадратичного программирования можно определить набор «эффективных портфелей», что иллюстрируется с помощью графика на рис. 2.
R (%)
F
C
B
A
E
(%) риск
Рис. 2. Кривая эффективных портфелей
Согласно трактовке Марковица, если имеется некий портфель А, то он является субоптимальным или неэффективным, так как портфель В мог бы обеспечить тот же самый уровень ожидаемой доходности с меньшей степенью риска, в то время как портфель С при той же степени риска мог бы обеспечить более высокую ожидаемую доходность. Таким образом, все эффективные портфели должны лежать на кривой EF, которая часто называется «эффективной границей» Марковица.
Портфели, которые лежат в средней части кривой, обычно содержат много ценных бумаг, в то время как ближе к краям всего несколько. Точка F ассоциируется с тем, что все инвестиции вложены в акции одного вида, с максимальной ожидаемой доходностью. А точка Е соответствует тому положению, когда сочетание нескольких акции в портфеле обеспечивает наименьшую степени риска портфеля.
Если рассматривать отношение инвестора к риску и доходности в графической форме, откладывая по горизонтальной оси риск, мерой которого является среднеквадратическое отклонение (p), а по вертикальной оси – эффективность, мерой которого является ожидаемая доходность (mp), то можно получить семейство кривых безразличия.
Располагая информацией об ожидаемой доходности и стандартных отклонениях возможных портфелей ценных бумаг, можно построить карту кривых безразличия, отражающих предпочтения инвесторов. Карта кривых безразличия – это способ описания предпочтений инвестора к возможному риску полностью или частично потерять вкладываемые в портфель ценных бумаг деньги или получить максимальны доход.
Различные позиции инвесторов по отношению к риску можно представить в виде карт кривых, отражающих полезность вложений в те или иные инвестиционные портфели (рисунок 3 а, б и в). Каждая из указанных на рисунке 3 позиций инвестора к риску характерна тем, что любое уменьшение им риска сказывается на сокращении доходности и стандартном отклонении каждого из портфелей. И поскольку портфеля включает в себя набор различных бумаг, то вполне объяснимым является зависимость его от ожидаемой доходности и стандартного отклонения его от ожидаемой доходности и стандартного отклонения каждой ценной бумаги, входящей в портфель.
Рис. 3. Карты кривых безразличия инвесторов
Инвестор должен выбирать портфель, лежащий на кривой безразличия, расположенной выше и левее всех остальных кривых. В теореме об эффективном множестве утверждается, что инвестор не должен рассматривать портфели, которые не лежат на левой верхней границе множества достижимости, что является ее логическим следствием. Исходя из этого, оптимальный портфель находится в точке касания одной из кривых безразличия самого эффективного множества. На рисунке 4 показан оптимальный портфель для некоторого инвестора ().
Рис. 4. Оптимальный портфель
Определение кривой безразличия клиента является нелегкой задачей. На практике ее часто получают в косвенной или приближенной форме путем оценки уровня толерантности риска, определяемой как наибольший риск, который инвестор готов принять для данного увеличения ожидаемой доходности.
Поэтому, с точки зрения методологии модель Марковица можно определить как практически-нормативную, что не означает навязывания инвестору определенного стиля поведения на рынке ценных бумаг. Задача модели заключается в том, чтобы показать, как поставленные цели достижимы на практике.
Итак, модель Марковица, не дает возможности выбрать оптимальный портфель, а определяет набор эффективных портфелей. Каждый из этих портфелей обеспечивает наибольшую ожидаемую доходность для определенного уровня риска.
Различные инвесторы и портфельные менеджеры будут выбирать различные решения в достижении состава портфеля в зависимости от их отношения к риску, например, так называемые «консервативные» инвесторы (то есть те, кто заинтересован в сохранении своих капиталов и получении постоянной и предсказуемой прибыли) будут отдавать предпочтение портфелям, лежащим в более левой нижней части кривой эффективной границы Марковица. Более «агрессивные» инвесторы (те, кто идет на более высокий риск в надежде по­лучить более высокую, но менее определенную ожидаемую отдачу) будут формировать свои портфели, находящиеся ближе к точке F на кривой.
Разумеется, следует иметь в виду, что сформированный однажды эффективный портфель не остается таковым в течение длительного времени, так как курсы акций подвержены постоянным изменениям и, следовательно, эти эффективные портфели приходится постоянно пересматривать. Однако это обстоятельство в условиях высокой компьютеризации расчетов не является сегодня значимой проблемой.
Модель Марковица явилась предметом критики как со стороны теоретиков, так и практиков. Первое возражение относится к предположению Марковица о том, что рациональные инвесторы отвергают риск.
Второй вопрос состоит в том, является ли стандартное отклонение наиболее подходящей мерой степени риска? Дело в том, что Марковиц и его последователи использовали колебания цен акций, имевшие место в прошлые периоды, для оценки будущего изменения цен акций. Но будущее может не повторять прошлое развитие. Кроме того, если инвестор приобретает акции с целью длительного владения ими, и при этом не возникает потребности в высокой ликвидности акций, то колебание цены акций в этом случае не является реальным риском. Вопрос объясняется в данном случае уровнем окончательной цены, и здесь риск таких акций скорее может быть объяснен, например, риском банкротства предприятия.
Кроме того, были и остаются некоторые чисто практические обстоятельства, ограничивающие использование модели Марковица. Они заключается в том, что специалисты-практики трудно воспринимают математические выкладки. Другое ограничение заключается в том, что для того чтобы сохранить желаемый баланс сочетания «риск-доходность» портфеля, нужно постоянно переоценивать все множество ценных бумаг, а это требует большого числа информации и математических вычислений. Сам Марковиц подчеркивал, что анализ 100 ценных бумаг требует вычисления 100 ожидаемых значений доходности, 100 дисперсий и почти 5000 ковариаций.
Конечно, использование современной вычислительной техники значительно облегчает использование модели Марковица на практике, и это как бы снимает препятствия для применения модели. Поэтому значительно большим недостатком является тот факт, что модель Марковица предлагает набор эффективных портфелей. Эти наборы могут быть такими многочисленными, что менеджерам пришлось бы какие-то акции покупать, какие-то продавать, что привело бы к большим издержкам. Даже если это осуществлять раз в квартал, все равно затраты будут значительными.
И все же, несмотря на все недостатки модели Марковица, его вклад в современную теорию портфеля является огромным. Этот вклад не следует рассматривать как пакет каких-то рекомендаций для повседневного руководства. Основное значение работы состоит в том, что она сфокусировала внимание на ожидаемой доходности и полном риске портфеля в зависимости от состава входящих в портфель акций и стимулировала целую серию исследований в этом направлении. Кроме того, работа Марковица поставила вопрос о том, как высокоскоростные ЭВМ могут быть использованы в принятии инвестиционных решений, что привело к тому, что появился смысл в создании широкой базы данных по ценным бумагам. Так, первая компьютерная программа для реализации модели Марковица была разработана корпораций IBM еще в 1962 г. В дальнейшем были сделаны усовершенствованные программы, которые дали возможность менеджерам и инвесторам использовать их для практических целей.
1.2. Модель Шарпа
Как было отмечено выше, модель Марковица не дает возможности выбрать оптимальный портфель, а определяет набор эффективных портфелей. Каждый из этих портфелей обеспечивает наибольшую ожидаемую доходность для определения уровня риска. Однако главным недостатком модели Марковица является то, что она требует очень большого количества информации. Гораздо меньшее количество информации используется в модели У. Шарпа. Последнюю можно считать упрощенной версией модели Марковица. Если модель Марковица можно назвать мультииндексной моделью, то модель Шарпа называют диагональной моделью или моделью единичного индекса
Согласно Шарпу, прибыль на каждую отдельную акцию строго коррелирует с общим рыночным индексом, что значительно упрощает процедуру нахождения эффективного портфеля. Применение модели Шарпа требует значительно меньшего количества вычислений, поэтому она оказалась более пригодной для практического использования.
Таким образом, модель строится на следующих предположениях:
все инвесторы максимизируют свою ожидаемую полезность и с этой целью осуществляют инвестиции в активы;
не рассматривается динамика принятия решений, учитывается только один период, одинаковый для всех инвесторов;
выбор из альтернативных вариантов инвестирования осуществляется по соотношению ожидаемой доходности и риска (измеряемого стандартным отклонением);
инвесторы – противники риска;
все инвесторы владеют одинаковой информацией о вероятностном распределении ожидаемой доходности по активам, и вероятностное распределение является нормальным;
на рынке имеются неограниченные возможности инвестирования и займа денег по единой безрисковой процентной ставке;
отсутствуют трансакционные издержки обращения активов;
дивидендные выплаты и прирост капитала облагаются налогами одинаково;
на рынке отсутствует возможность влияния на рыночную цену актива отдельными инвесторами через большой объем сделок;
все активы высоколиквидны и бесконечно делимы, т.е. инвестор может купить часть акции.
Заметим, что знаменитый финансовый спекулянт Д. Сорос подвергал это предположение критике. Он считал, что инвесторы, добывая и анализируя информацию о финансовом рынке, тем самым влияют на него. Вместе с тем модель Шарпа полезна на практике, ибо для крупных финансовых институтов, учитывая их масштабы деятельности, операционные издержки по сравнению с объемом операций незначительны, возможности по заимствованию и коротким продажам достаточно велики, доступ к рыночной информации практически неограничен. Некоторые сравнивают модель Шарпа с моделями механики без учета трения, которые, тем не менее, определяют главные особенности изучаемых явлений. Таким образом, основа модели − предположение о рациональном поведении участников рынка, имеющих равные информационные и финансовые возможности, идентичные целевые установки и однородные ожидания, приводит к такому механизму формирования цен активов на рынке, при котором достигается состояние равновесия. На совершенном рынке все инвесторы, поступая рационально и используя одни и те же прогнозные значения доходности K и риска V, независимо от своего богатства (капитала) и отношений предпочтения, составляют один и тот же портфель рискованных активов, которому соответствует точка M (рыночный портфель) с доходностью km и риском σm.
У. Шарп выделил две составляющие общего риска любого актива (этот риск количественно может быть измерен дисперсией от ожидаемого значения):
1) специфический риск корпорации (риск эмитента), т.е. диверсифицируемый риск (total risk), который устраняется комбинацией ценных бумаг в портфеле;
2) недиверсифицируемый (систематический или рыночный) риск (market risk). Диверсифицируемый риск связан с финансовым положением эмитента
рассматриваемой ценной бумаги с присущим ему коммерческим и