Задачи управления дискретными динамическими системами.

Содержание
Введение
1. Устойчивость линейных дискретных систем
2. Качество дискретных систем в переходном режиме
3. Качество дискретных систем в установившемся режиме при регулярных воздействиях
Заключение
Список использованной литературы

Задачи управления дискретными динамическими системами.

Вычисленные с помощью формулы переходных характеристик hyx(iTn) для различных коэффициентов преобразования системы k представлены на рис. 6. При решении уравнения учтено, что 1(iTn) = 0 при i < 0.
Рис. 6. Переходные характеристики дискретной системы при К=0.5 (а); К=1 (б); К=1.5 (в)
2. z-изображение переходной характеристики согласно формулам равно
H*yx(z) = k z-1/(1 - z-1)[1 - (1 - k) z-1
С другой стороны, по определению
H*yx(z) =Σ hyx(iTn) z-1
и, следовательно, можно записать
k z-1 = (1 - z-1)[1 - (1 - k)z-1][hyx(0) + hyx(Tn) z-1 + hyx(2Tn) z-2 + ...]
Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях z в левой и правой частях равенства, нетрудно получить значения hyx(iTn), совпадающие с результатом решения уравнения.
В выше указанном подразделе отмечалось, что при выполнении условий бесконечной степени устойчивости переходный процесс в системе заканчивается за конечное, вполне определенное число периодов Tn. Покажем, что это выполняется и для переходной характеристики, учитывая, что указанные условия имеют место, если все коэффициенты характеристического уравнения замкнутой системы D*(z) = 0 кроме c0, равны нулю.
H*yx(z) = (1/1 - z-1)*(( b0 + b1z-1 + ... + bmz-m)/c0 или
f0 + f1z-1 + ... + fmz-m = (1 - z-1)[hyx(0) + hyx(Tn) z-1 + hyx(2Tn) z-2 + ...],
где принято обозначение fk = bk/ c0
Сравнивая теперь коэффициенты при одинаковых степенях z, можно получить
f0 = hyx(0); f1 = hyx(Tn) - hyx(0);
f2 = hyx(2Tn) - hyx(Tn); ... ; fm = hyx(mTn) - hyx[(m - 1)Tn];
0 = hyx[(m + 1)Tn] - hyx(mTn) или hyx[(m + 1)Tn] = hyx(mTn).
Таким образом, при бесконечной степени устойчивости переходная характеристика принимает установившееся значение за конечное число периодов m (рис. 7), количественно равное порядку полинома числителя передаточной функции системы. Так, в рассмотренном примере, условие бесконечной степени устойчивости k = 1, при этом согласно выражению: H*yx(z) = z-1/1 - z-1
и переходная характеристика принимает установившееся значение за один период.
Рис. 7. Переходная характеристика при бесконечной степени устойчивости
Косвенными оценками, учитывающими как длительность, так и форму процесса в переходном режиме, могут служить суммарные оценки. Наиболее общей из них является квадратичная суммарная оценка - аналог интегральной квадратичной оценки в теории непрерывных систем:
Q* = Σ [e(iTn) - eуст(iTn)]2 = Σ e2пер (iTn)]
e(iTn) = x(iTn) - y(iTn),
где e(iTn) - ошибка, а eуст(iTn) и eпер(iTn) - ее установившаяся и переходная составляющие (рис. 8).
Рассмотрим последовательность вычисления суммарной оценки:
1) находится z-изображение ошибки
e*(z) = x*(z) K*ex(z),
где K*ex(z) - передаточная функция ошибки, описываемая для следящих систем;
Рис. 8. Ошибки дискретной системы
2) для конечных значений определяется установившееся значение ошибки
eуст = lim e(iTn) = lim(1 - z-1) e*(z)
и его z-изображение e*уст(z) = Z{eуст};
3) составляется разность e*пер(z) = e*(z) - e*уст(z) и после подстановки в нее
z = (1 + w)/ (1 - w)
записывается e*пер(w);
4) с помощью таблиц интеграла Парсеваля определяется квадратичная суммарная оценка
Q* = 2I [e*пер(w)/(1 + w)]
Отметим, что при вычислении e*пер(z) знак разности может получиться как положительным, так и отрицательным, что при дальнейших вычислениях не принимается во внимание, так как рассчитывается квадратичная оценка. Отметим также, что в формуле вместо ошибки e(iTn) могут быть использованы выходные y(iTn) или какие-либо другие координаты системы, если их установившиеся значения легко вычисляются. [2]
3. Качество дискретных систем в установившемся режиме при регулярных воздействиях
После окончания переходных процессов в системе наступает установившийся режим, качество которого в основном зависит от точности отработки задающих воздействий и степени фильтрации помех. В теории дискретных систем удобным способом оценки качества является оценка точности, то есть анализ ошибок управления. Эти ошибки зависят от параметров системы, ее структуры, от характеристик воздействий и в плане математическом определяются вынужденной составляющей решения разностного уравнения
yв(iTn) = yx(iTn) + Σ yνj(iTn)
где yx(iTn) и yν(iTn) - выходные координаты, определяемые соответственно задающим и возмущающим воздействиями, и принято, что на линейную систему поступает М помех.
Для следящих систем ошибка управления представляет собой разность
e(iTn) = x(iTn) - yв(iTn),
то есть в установившемся режиме она равна
e(iTn) = ex(iTn) + Σ yνj(iTn)
где yx(iTn) = x(iTn) - yx(iTn)- ошибка отработки задающего воздействия (динамическая ошибка) и eν(iTn) = - yν(iTn)- ошибка от возмущающего воздействия (флюктуационная ошибка, если νi(iTn) - случайные процессы).
Оценка качества установившегося режима производится по значению ошибки или некоторых функций от нее и имеет особое значение, так как у большинства систем (в том числе у всех следящих) этот режим является основным, определяющим выполнение системой поставленной задачи. Как и в теории непрерывных систем, исследование точности дискретных систем в установившемся режиме производят для регулярных и случайных процессов, описывающих как задающие, так и возмущающие воздействия. Регулярными функциями времени можно аппроксимировать некоторые виды задающих и возмущающих воздействий или их математические ожидания.
Методика расчета ошибок при регулярных воздействиях справедлива (при определенных предпосылках) для процессов любого происхождения, поэтому рассмотрим ее на примере оценки качества дискретной системы при регулярных задающих воздействиях x(iTn), имея в виду и тот факт, что такими воздействиями часто аппроксимируют процессы, соответствующие наиболее тяжелому или наиболее вероятному режимам работы.
По отношению к установившемуся режиму дискретные системы, как и непрерывные, делятся на статические и астатические ν-го порядка, где ν = 1, 2, ... для астатических и ν = 0 для статических систем. Ошибки установившегося режима у этих систем определяются как реакция на типовые воздействия вида x(t) = xνtν или x(iTn) = xν(iTn)ν.
Установившееся значение ошибки
eуст = lim e(iTn)
может быть найдено по z-изображению e*(z) как
eуст = lim(1 - z-1)e*(z)
или для рассматриваемой системы (рис. 1.16)
eуст = lim(1 - z-1) K*ex(z) x*(z) = lim(1 - z-1)*( x*(z)/( 1 + K*(z))
K*ex(z) = e*(z)/ x*(z)
где K*ex(z) - передаточная функция ошибки.
Порядок астатизма дискретной следящей системы определяется количеством суммирующих звеньев или, что одно и то же, количеством сомножителей вида (1 - z-1) в передаточной функции разомкнутой системы можно представить соотношением
Понятно, что при z = l функция K*ν(z) примет значение, равное коэффициенту преобразования разомкнутой системы. [4]
При подаче на вход статической системы (ν=0) воздействия х(t) = х0 1(t), где х0 - постоянная величина с размерностью процесса х(t) с z-преобразованием
x*(z) = x0/(1 - z-1)
установившаяся ошибка в системе принимает значение
eуст = lim(1 - z-1)*( x0/(1 - z-1))*1/(1 + k) = x0/(1 + k)
Если такой же сигнал подать на систему с астатизмом первого порядка (ν = 1), то
eуст = lim(1 - z-1)2*( x0/(1 - z-1))*(1/(1 - z-1) + k1)=0
При подаче на эту систему воздействия x(t) = x1(t), где x1 - постоянная с размерностью скорости сигнала х(t), имеющего z-изображение
x*(z) = Tn z-1/(1 - z-1)2
(см.табл.П.2), получим
eуст = lim(1 - z-1)2* (Tn z-1x1/(1 - z-1)2)*(1/(1 - z-1) + k1) = x1 Tn/ k1
Аналогично можно показать, что при подаче сигналов x(t) = x1(t) и x(t) = x01(t) на систему с астатизмом второго порядка (ν = 2) установившаяся ошибка будет равна нулю. Если воздействие задано в виде
x(t) = ½* x2 t2 или x(iTn) = ½
где х2 - постоянная с размерностью ускорения функции х(t), то установившееся значение ошибки