построение кривых и поверхностей

Содержание
1.Кривые 2-ого порядка
1.1Окружность
1.2 Эллипс
1.3 Гипербола
1.4 Парабола
2 Полярная система координат
3 Кривые, заданные параметрически
4 Классификация поверхностей второго порядка
4.1 Сфера
4.2 Эллипсоид
4.3 Гиперболоид
4.4 Параболоид
4.5 Коническая поверхность
4.6 Цилиндрическая поверхность
Список литературы

построение кривых и поверхностей

x=r*cos(φ)
y=r*sin(φ) (14)
Если же известны прямоугольные координаты x и y точки, ее полярные координаты определяются по формулам:
(15)
Как видно из (15), у корня в формуле для определения r стоят два знака - плюс и минус, что соответствует обобщенной системе полярных координат, а потому и в формулах для определения sinφ и cosφ перед корнем стоят два знака. Два знака в формуле для определения r появились потому, что r находится из выражения r2 = x2 + y2. Если за r оставляется право быть только величиной положительной или нулем, то r=. Если же r, как это имеет место в обобщенной системе полярных координат, может быть и отрицательной величиной, то из r2 = x2 + y2 следует, что r=± .
Приведем в качестве примера уравнение декартового листа в полярных, он задается уравнением:
(16)
Рисунок 6 – График декартового листа в полярных координатах
И график розы с радиусом четыре и восемью лепестками, задаваемой уравнением
r=4cos4φ (17)
Рисунок 7 – График розы в полярных координатах
3 Кривые, заданные параметрически
Параметрические уравнения используются для представления кривых, которые нельзя отобразить на графике простой функцией y = f(x), где y и x откладываются вдоль вертикальной и горизонтальной осей соответственно. Вместо этого, кривые на графике x-y определяются параметрически, как две функции параметра t, изменяющегося в некотором интервале (от мининмума до максимума). Можно задать уравнение y = f(t) для y-компоненты кривой и уравнение x = g(t) для x-компоненты, на определенном диапазоне значений t.
Рассмотрим вопрос о том, как траектория движения точки описывается с помощью уравнений. Поскольку положение точки на плоскости однозначно определяется ее координатами, то для задания движения точки достаточно задать зависимости ее координат x, y от времени t, т.е. задать функции
(18)
В этом случае для каждого момента времени t мы можем найти положение точки на плоскости.
Кривая на плоскости, описываемая точкой, координаты которой удовлетворяют этим уравнениям при изменении параметра t, называется параметрически заданной кривой на плоскости. Сами уравнения называются параметрическими уравнениями.
График функции y=f(x) является частным случаем параметрически заданной кривой на плоскости. Параметрическими уравнениями в этом случае будут уравнения
(19)
Если кривая задана уравнением в полярных координатах r = r(j), то, переходя к декартовым координатам, ее можно задать и параметрическими уравнениями
(20)
Окружность радиуса R с центром в начале координат можно рассматривать как параметрически заданную кривую на плоскости с параметрическими уравнениями
(21)
При изменении параметра t от нуля до 2π точка на окружности делает один оборот против часовой стрелки, начиная и заканчивая в точке с координатами (R, 0). При дальнейшем увеличении параметра t точка будет многократно проходить по окружности в направлении против часовой стрелки.
Каноническое уравнение эллипса может быть параметризовано:
(22)
Параметрическое представление гиперболы (точнее, её ветви x > 0):
(23)
Параметрические уравнения параболы:
(24)
Астроида — плоская кривая, описываемая точкой M окружности радиуса r, катящейся по внутренней стороне окружности радиуса R = 4r. Параметрическое уравнение:
x = Rcos3t y = Rsin3t (25)
Свойства астроиды:
1 Имеются четыре каспа.
2 Длина дуги от точки с 0 до
(26)
3 Длина всей кривой 6R.
4 Радиус кривизны:
(27)
5 Площадь, ограниченная кривой:
(28)
6 Астроида является огибающей семейства отрезков постоянной длины, концы которых расположены на двух взаимно перпендикулярных прямых.
7 Астроида является алгебраической кривой 6-го порядка.
Рисунок 8 - Астроида
Циклоида — плоская трансцендентная кривая. Катящаяся окружность рисует циклоиду (рис 9.)
Рисунок 9 – Построение циклоиды
Циклоида определяется кинематически как траектория фиксированной точки производящей окружности радиуса r, катящейся без скольжения по прямой.
Циклоида описывается параметрическими уравнениями
x = rt − rsint,
y = r − rcost. (29)
Свойства циклоиды:
1 Циклоида — периодическая функция по оси абсцисс, с периодом 2πr. За границы периода удобно принять особые точки (точки возврата) вида t = 2πk, где k — произвольное целое число.
2 Для проведения касательной к циклоиде в произвольной её точке A достаточно соединить эту точку с верхней точкой производящей окружности. Соединив A с нижней точкой производящей окружности, мы получим нормаль.
3 Длина арки циклоиды равна 8r. Это свойство открыл Кристофер Рен (1658).
4 Площадь под каждой аркой циклоиды втрое больше, чем площадь порождающего круга. Торричелли уверяет, что этот факт был открыт Галилеем.
5 Радиус кривизны у первой арки циклоиды равен .
6 «Перевёрнутая» циклоида является кривой скорейшего спуска (брахистохроной). Более того, она имеет также свойство таутохронности: тяжёлое тело, помещённое в любую точку арки циклоиды, достигает горизонтали за одно и то же время.
7 Период колебаний материальной точки, скользящей по перевёрнутой циклоиде, не зависит от амплитуды, этот факт был использован Гюйгенсом для создания точных механических часов.
8 Эволюта циклоиды является циклоидой, конгруэнтной исходной, а именно — параллельно сдвинутой так, что вершины переходят в «острия».
9 Детали машин, которые совершают одновременно равномерное вращательное и поступательное движение, описывают циклоидальные кривые (циклоида, эпициклоида, гипоциклоида, трохоида, астроида).
4 Классификация поверхностей второго порядка
Поверхность второго порядка — геометрическое место точек, декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида
a11x2 + a22y2 + a33z2 + 2a12xy + 2a23yz + 2a13xz + 2a14x + 2a24y + 2a34z + a44 = 0 (30)
в котором по крайней мере один из коэффициентов a11, a22, a33, a12, a23, a13 отличен от нуля.
4.1 Сфера
4.2 Эллипсоид
Коэффициенты a11 ,а22 , a33 одного знака, а коэффициент а44 отличен от нуля. В этом случае поверхность S называется эллипсоидом.
Если коэффициенты a11 ,а22 , a33 , а44 одного знака, то левая часть (30) ни при каких значениях х, у, z не обращается в нуль, т. е. уравнению поверхности S не удовлетворяют коорди­наты никакой точки. В этом случае поверхность S называется мнимым эллипсоидом.
Если знак коэффициентов a11 ,а22 , a33 противоположен знаку коэффициента а44 , то поверхность S называется вещественным эллипсоидом. В дальнейшем термином «эллипсоид» мы будем называть лишь вещественный эллипсоид.
Обычно уравнение эллипсоида записывают в канонической форме. Очевидно, числа
положительны. Обозначим эти числа соответственно а2, b2, с2. После не­сложных преобразований уравнение эллипсоида (30) можно записать в следующей форме:
(31)
Уравнение (31) называется каноническим уравнением эллипсоида.
Если эллипсоид задан своим каноническим уравнением (3), то оси Ох, Оу и Оz. называются его главными осями.
Рисунок 10 - Эллипсоид
4.3 Гиперболоид
Из четырех коэффициентов a11 ,а22 , a33 , а44 два одного зна­ка, а два других—противоположного. В этом случае поверх­ность S называется однополостным гиперболоидом.
Обычно уравнение однополостного гиперболоида записывают в канонической форме. Пусть, ради определенности, a11 > 0, а22 > 0, a33 < 0, а44 < 0. Тогда числа

положительны. Обозначим эти числа соответственно а2, b2, с2. После несложных преобразований уравнение (30) однополостного гиперболоида можно записать в следующей форме:
(32)
Уравнение (32) называется каноническим уравнением однопо­лостного гиперболоида.
Если однополостный гиперболоид задан своим каноническим уравнением (32), то оси Ох, Оу и Oz называются его глав­ными осями.
Рисунок 11 – Однополостной гиперболоид
Знак одного из первых трех коэффициентов a11 ,а22 , a33 , а44 противоположен знаку остальных коэффициентов. В этом случае поверхность S называется двуполостным гиперболоидом.
Запишем уравнение двуполостного гиперболоида в канониче­ской форме. Пусть, ради определенности, a11 < 0, а22 < 0, a33 > 0, а44 < 0. Тогда :
Обозначим эти числа соответственно через a2, b2, с2. После несложных преобразова­ний уравнение (30) двуполостного гиперболоида можно запи­сать в следующей форме:
(33)
Рисунок 12 – Двуполостной гиперболоид