Основы математической статистики

СОДЕРЖАНИЕ

Введение. Краткая история математической статистики
1 Вероятностно-статистические методы принятия решений
2. Статистические данные
3. Понятие статистической выборки
4 Статистический анализ числовых величи
5. Методы статистики интервальных данных
6. Статистика объектов нечисловой природы
ЛИТЕРАТУРА

Основы математической статистики

Для оценки одной из границ доверительного интервала используется соотношение
.
Для формирования зависимостей для численного вычисления значений границ интервала используются соотношения получаемые на базе изветных теорем классической математической статистики. Они зависимости считаются, другими словами точность этих характеристик увеличивается при значительном увеличении объемов выборки. Так, численное значение вероятности попадания истинного значения математического ожидания между нижней и верхней доверительными границами асимптотически становится практически равной доверительной вероятности. Это считается существенным недостатком так называемого параметрического подхода в математической статистике – недостатки непараметрического подхода.
Интересно сопоставить с параметрическим подходом. Обычно в таких случаях предполагают нормальность результатов наблюдений. Тогда формулы для нижней и верхней доверительных границ для математического ожидания имеют похожий вид, только вместо стоят квантили распределения Стьюдента, соответствующие объему выборки.
Характерной особенностью оценки квантилей распределения Стьюдента, с увеличением объема выборки, приближаются к квантилям соответствующего распределения и с теми же степенями свободы стандартного нормального распределения, так что при больших объемах выборок оба подхода дают близкие результаты. Доверительные интервалы в классической теории математической статистики, обычно получаются гораздо больше по размеру, это обуславливается тем, что квантили распределения Стьюдента больше квантилей стандартного нормального распределения.
Пример. Рассмотрим данные о наработке резцов на отказ. Пусть выборочное среднее арифметическое выборочная дисперсия объем выборки . Следовательно, выборочное среднее квадратическое отклонение и согласно приведенным выше формулам при доверительной вероятности нижняя доверительная граница для математического ожидания такова:
а верхняя доверительная граница есть . В случае когда априорно известно, что результаты наблюдения нормальное распределены, тогдп границы доверительного интервала математического ожидания можно вычислить следующим образом
{, }
В соотношениях для определения доверительного интеграла вместо квантиля нормального распределения используется значение распределения Стьюдента с степенью свободы. Для при объеме выборки значение распределения Стьюдента равно . Определим доверительный интервал с помощью полученных соотношений -
В большинстве задач математической статистики для использования расчетных соотношений для оценки числовых характеристик необходимо первоначально определить является ли распределение случайной величины нормальным.
Для точечной оценки дисперсии обычно используется является выборочная дисперсия . Эта оценка является несмещенной и состоятельной. Доверительные границы находятся с помощью величины
где - выборочный четвертый центральный момент, т.е.
Для оценки дисперсии используется доверительный интервал
В случае нормального распределения 4-й момент, становится по модулю в 3 раза больше квадрата дисперсии, а потому можно оценить как , применим его для быстрого способа для интервальной оценки дисперсии в случае нормальногораспределения.
Пример. Для данных о наработке резцов на отказ объем выборки , выборочная дисперсия 4-й момент имеем
Тогда и для уровня вероятности получаем доверительный интервал
Пример. В случае нормального распределения с целью быстрого получения доверительного интервала величина d2 оценивается как
а потому . Для доверительной уровня вероятности р =0,95 получим доверительный интервал.
Уменьшение границ, в которых находится оценка дисперсии можно рассматривать как естественный процесс. Данные времени при котором происходит, излом резцов соответствуют так называемому -распределению. Этот вид распределения случайной величины является абсолютно не симметричным, это распределение характеризуется значительно более медленным убыванием заметно, гораздо большим чем при нормальном законе распределения случайной величины. Поэтому 4-й момент, имеет численное значение значительно превышающее, чем в случае НЗРСВ, в случае совпадения с гамма-распределения величин, характеризующих случайное распределение. В связи с эти большее значение имеет и величина . Проведенные исследования по численному оцениванию показали, что использование алгоритмов определения, соответствующих нормальному распределению, при распределение результатов наблюдений отлично от нормального, может привести к значительным неточностям и численным погрешностям.
Пример. Традиционно при рассмотрении случая НЗР СВ нормального распределения считается, что величина имеет распределение с степенью свободы. Для оценки с уровнем вероятности сформируем соотношение
которое рассматривается в случае доверительной вероятности , с учетом

,

где – распределение с степенями свободы. Определим интервальную оценку дисперсии
Точечная оценка дисперсии не является центром интервала, таким образом, интервал не является симметричным. Точечной оценкой является выборочное СКО, т.е. неотрицательный квадратный корень из выборочной дисперсии. Дисперсия рассматриваемой случайной величины – выборочного СКО s0 – оценивается как отношение
Для построения доверительного интервала для оценки СКО, полученных исходных данных, можно использовать соотношение для доверительного интервала
В представленном доверительном интервале введены следующие обозначения: как – обозначена дисперсия, – квантиль нормального распределения случайной величины порядка .
Пример. Для данных о наработке резцов на отказ точечной оценкой для СКО является .
При доверительной вероятности оценим интервал доверительной информации:
5. Методы статистики интервальных данных
В последнее время развивается быстрое новое, которое получило название - статистика интервальных данных. Данный аппарат прикладной математической статистики рассматривает в виде исходных интервальные оценки, так, ошибки вызванные наложением ошибок измерения на значения случайных величин распределенных по неизвестным законом.
Интервальная математика сегодня является основой для статистики интервальных данных, все методы статистики интервальных данных органично используют этот математический аппарат, оперирующий в качестве элементарных термов с доверительными интервалами статистических оценок.
Сама интервальная математика является дальнейшим развитием вычислительной математики и приближенных вычислений. Интервальная математика использует и основывается на правилах приближенных вычислений для численного оценивания погрешностей суммы, разности, произведения, частного, учитывающего погрешности численных оценок. Успехи интервальной математики позволяют в настоящее время успешно разрешать ряд методически сложных задач теории интервальных дифференциальных уравнений. Интервальные дифференциальные уравнения – это уравнения в которых переменные коэффициенты являются доверительными интервалами, так же с помощью интервальных оценок описывается начальные условия и получаются так называемые интервальные решения.
В России сформировалась основополагающая научная школа этого направления математической, которую возглавляет с семидесятых годов двадцатого столетия профессор А.П. Вощинин. Среди основных научных результатов этого научного направления необходимо отметить применение интервальных статистик для регрессионного анализа, нетривиальное интервальное решение задач при планировании технических и математических экспериментов, введение понятий интервальной неопределенности, формализованное сравнение интервальных альтернатив.
В настоящее время сформировалось новое альтернативное направление в изучении статистики интервальных данных, которое позволит в ближайшее будущее перевернуть представление об интервальной математике и интервальных статистических методах. Это направление изучает активное применение асимптотических методов интервального статистического анализа при огромных объемах случайных выборок, которые приводят к незначительным инструментальным погрешностям. Это новое направление абсолютно противоречит классическому представлению о математической статистике и ее методах. При таком асимптотическом подходе рассматриваются прежде всего выборки с чрезвычайно большими объемами, а затем происходит сужение и исследование выборок до малых объемов, при этом оценивается численное значение инструментальной погрешности.
Асимптотические методы интервальной статистики позволили сформировать общую схему интервального исследования исходных интервальных данных. В общей схеме расчета вводится новое терминологическое понятие определение нотны. Под этим термином понимается максимально возможное отклонение расчетной интервальной статистики, которое обусловлено самой интервальностью исходных данных. понятие нотны обуславливает рациональность выбора объема выборки. Нотна используется для оценки статистических характеристик: математического ожидания, дисперсии, коэффициента вариации, параметров случайных распределений, а также оценки числовых характеристик сложных статистик, при проверке гипотез о параметрах нормального распределения случайных величин. Для проверки гипотез в условиях асимптотического подхода к интервальным статистикам могут применятся все многообразие существующих критериев оценки и методов доказательства адекватности гипотез, в том числе с помощью критерия Стьюдента, а также гипотезы однородности с помощью критерия Смирнова.
Асимптотические методы позволили подойти к рассмотрению интервальных статистических данных при проведении различных видов статистического анализа. Известны работы по асимптотическому подходу в интервальных статистиках в условиях проведения регрессионного, дискриминантного и кластерного анализов.
Описываемый подход позволил исследовать влияние погрешностей измерений и наблюдений на свойства прикладных алгоритмов регрессионного анализа, а также предложить методы определения нотн, которые в свою очередь однозначно определят рациональный объемов выборок. Этот подход позволит подойти на новом концептуальном уровне к вычислению и обоснованию понятия многомерных и асимптотических нотн, а так же обосновать необходимые теоремы и утверждения. Применение математического аппарата вычисления нотн позволило приступить к разработке интервального дискриминантного анализа, с этой целью, выявлено влияние интервальности данных на введенный показатель качество кластеризации.
В области асимптотической статистики интервальных данных российская наука не имеет конкурентов. в настоящее время большое внимание уделяется программной реализации новейших методов асимптотической интервальной статистики, наряду с использованием классического математического аппарата статистики. Это позволяет получить новые обоснованные численные оценки погрешности у результатов наблюдений.
6. Статистика объектов нечисловой природы
В настоящее время сформировалась классификация прикладных методов математической статистики. Согласно общепризнанной классификации в настоящее время можно выделить 4 основные направления или фундаментальных раздела прикладной математической статистики. Среди этих направлений необходимо выделить:
1. Статистику (числовых) случайных величин;
2. Многомерный статистический анализ;
3. Статистика временных рядов и случайных процессов;
4. Статистика объектов нечисловой природы.