Метод конечных элементов.

Содержание
Введение
1 Предварительные сведения
1. 1 Метод жесткостей расчета конструкции и исследование сетей
1. 2 Элемент конструкции
2 Обобщение понятия конечных элементов
2. 1 Вариационные задачи
2. 2 Другие подходы к методу конечных элементов
Заключение
Список литературы

Метод конечных элементов.

где последние два члена — напряжения, обусловленные распре­деленными нагрузками, и начальные напряжения при отсут­ствии узловых перемещений.
Матрица называется матрицей жесткости элемента, а — матрицей напряжения элемента.
Полученные соотношения проиллюстрированы на примере элемента стремя узлами, в каждом из которых действуют только две компоненты силы. Ясно, что все рассуждения и опреде­ления справедливы и в более общем случае. (1)
2 Обобщение понятия конечных элементов
2. 1 Вариационные задачи
К решению встречающихся в технике задач прикладной ме­ханики существуют два подхода. При одном из них исполь­зуются дифференциальные уравнения, описывающие поведение некоторой произвольной бесконечно малой области. Другой подход состоит в том, что постулируется вариационный экстре­мальный .принцип, справедливый для всей области. При этом решение минимизирует некоторую величину %, которая опре­деляется как некоторый интеграл от неизвестных величин по всей области. Интегральную величину, представляющую собой функцию от неизвестных функций, называют функционалом.
С математической точки зрения оба эти подхода эквива­лентны, и решение, полученное при одном подходе, является решением при другом подходе. Каждый из этих подходов может быть принят в качестве основного, хотя чаще используется первый. От одного подхода можно перейти к другому с помощью математических преобразований, что является предметом многочисленных книг по вариационным методам.
Различие между этими подходами состоит в способах получения приближенного решения. Конечно-разностные методы аппроксимируют дифференциальные уравнения разностными; метод Ритца и его вариант — метод конечных элементов— связаны с приближенной минимизацией функционала.
Задача определения поля перемещений в конструкции сводится к задаче минимиза­ции полной потенциальной энергии, определенной в виде функ­ционала от перемещений. Установлена эквивалентность метода конечных элементов методу приближенной минимизации функционала энергии по узловым перемещениям.
Пусть физическая (или чисто математическая) постановка задачи требует минимизации функционала в некоторой области. Величина определяется в виде интеграла по области V и части границы S, на которой неизвестны функция или ее производные, т. е. она имеет вид
.
Пусть рассматриваемая область разделена на более мелкие части, подобласти, которые будем далее называть элементами, и пусть функции, которые мы хотим определить, 'для каждого элемента записываются в виде
.
Здесь {Ф}е может содержать узловые значения функции, соответствующие такому элементу, или некоторые характеризую­щие его параметры. Неизвестная функция взята в фигурные скобки, чтобы показать, что она может быть вектором, а [N]— матрица, определяющая зависимость функции формы от координат.
Для минимизации функционала по всем параметрам {Ф} полной области следует записать систему уравнений
=0
Если справедливо утверждение, что функционал равен сумме вкладов отдельных элементов, т. е. что
,
что символическое уравнение принимает вид
где суммирование производится по всем элементам. Таким образом, получено правило составления системы уравнений, минимизирующих функционал, для всего ансамбля.
В частном случае, когда является квадратичным функ­ционалом от {} и ее производных, производную для элемен­та е можно записать в виде
где [k]e и {F}e — постоянные матрицы. Теперь систему уравне­ний, минимизирующую функционал, можно записать сле­дующим образом:
где
2. 2 Другие подходы к методу конечных элементов
Несмотря на то, что приближенная минимизация функцио­нала — самый распространенный способ подхода к методу ко­нечных элементов, это никоим образом не означает, что такой подход является единственно возможным. Например, в первых работах по строительной механике строились чисто физические модели, и, хотя приходилось делать некоторые математические оговорки, касающиеся обоснования и сходимости использован­ных методов, зачастую получались неплохие инженерные ре­шении.
Существуют и другие возможности, позволяющие математи­чески получить основные соотношении метода конечных эле­ментов непосредственно из дифференциальных уравнений задачи. Они будут здесь кратко описаны. Возможные преиму­щества таких методов состоят в том, что:
а) исчезает необходимость искать функциональный эквивалент известным дифференциальным уравнениям;
б) эти методы могут быть распространены на задачи, для
которых функционал либо вообще не существует, либо пока
еще не получен.
Рассмотрим задачу приближенного решения системы дифференциальных уравнении, которым должна удовлетворять не­известная функция {ф} в области V. Запишем основное урав­нение в виде
а граничное условие на границе S как:
.
Если пробная функция, удовлетворяющая граничным усло­виям, записана в общей форме