Кривые второго порядка. Параболы и гиперболы

Введение
1. Гипербола
1.1. Каноническое уравнение гиперболы
1.2. Установление формы гиперболы, пользуясь ее каноническим уравнением
1.3.Уравнение равносторонней гиперболы
1.4. Дополнительные сведения о гиперболе
2. Парабола
2.1. Каноническое уравнение параболы
2.2. Исследование форм параболы по ее уравнению
3. Общее уравнение линий второго порядка
Литература

Кривые второго порядка. Параболы и гиперболы

 
являются асимптотами гиперболы (1.4).
 
 
Рисунок (1.4.)
 При построении гиперболы целесообразно сначала построить ос­новной прямоугольник гиперболы ( см. рис.1.4. ), провести прямые, проходя­щие через противоположные вершины этого прямоугольника, — асимптоты гиперболы и отметить вершины гиперболы.
1.3.Уравнение равносторонней гиперболы
  Гипербола называется равносторонней, если ее полуоси равны (a = b). Ее каноническое уравнение
 (1.5.)
 Асимптоты равносторонней гиперболы имеют уравне­ния :
y = x ( 1.6. )
и
y = -x ( 1.7. )
и, следовательно, являются бис­сектрисами координатных углов Рассмотрим уравнение этой гиперболы в новой си­стеме координат Ox'y' , полученной из старой поворотом осей координат на угол .
Ис­пользуем формулы поворота осей координат:
 .
Подставляем значения а; и у в уравнение (11.12):
или где
Уравнение равносторонней гиперболы, для которой оси Ох и Оу явля­ются асимптотами, будет иметь вид  .
1.4. Дополнительные сведения о гиперболе
Эксцентриситетом гиперболы (1.1) называется отношение расстояния между фокусами к величине действительной оси гиперболы, обо­значается : 
(1.7.)
  Так как для гиперболы с>a , то эксцентриситет гиперболы больше единицы: . Эксцентриситет характеризует форму гиперболы. Действительно, из равенства (11.10) следует, что  , т. е. и
Отсюда видно, что чем меньше эксцентриситет гиперболы, тем мень­ше отношение - ее полуосей, а значит, тем более вытянут ее основной прямоугольник. Эксцентриситет равносторонней гиперболы равен . Действительно,
Фокальные радиусы  и  для то­чек правой ветви гиперболы имеют вид  и  ,
а для левой : и .Прямые   называются директрисами гиперболы. Так как для гиперболы , то . Это значит, что правая директриса расположе­на между центром и правой вершиной гиперболы, левая — между центром и левой вершиной. 
Директрисы гиперболы имеют то же свойство , что и директрисы эллипса. Кривая, определяемая уравнением , также есть гипербола, действительная ось 2b которой расположена на оси Оу, а мнимая ось 2а — на оси Ох. На рисунке 1.5. она изображена пунктиром.
 
Рис.1.5.
Очевидно, что гиперболы  и  имеют общие асимптоты. Такие гиперболы называются сопряженными.
2. Парабола
2.1. Каноническое уравнение параболы
Параболой называется множество всех точек плоскости, каждая из ко­торых одинаково удалена от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой. Расстояние от фокуса F до директрисы называется параметром параболы и обозначается через p (p>0).
Для вывода уравнения параболы выберем систему координат Оху так, чтобы ось Ох проходила через фокус F перпендикулярно директрисе в направлении от директрисы к F, а начало координат О расположим посередине между фокусом и директри­сой
(см. рис. 1.6.).
Рис.1.6.
В выбранной системе фокус F име­ет координаты ,а уравнение директрисы имеет вид  , или  .
  Пусть М(х;у) — произвольная точка параболы. Соединим точку М с F.
Проведем отрезок MN пер­пендикулярно  директрисе. Согласно определению параболы MF=MN. По формуле расстояния между двумя точками на­ходим:
 
Следовательно,
Возведя обе части уравнения в квадрат, получим
т.е.
    (1.8)
Уравнение (1.8) называется каноническим уравнением параболы. Пара­бола есть линия второго порядка.
Рис.1.7.
2.2. Исследование форм параболы по ее уравнению
1. В уравнении (1.8) переменная у входит в четной степени, значит, парабола симметрична относительно оси Ох; ось Ох является осью сим­метрии параболы.
2. Так как р > 0, то из (1.8) следует, что .
Следовательно, парабола рас­положена справа от оси Оу.
3. При х=0 имеем y=0.
Следователь­но,  парабола проходит через начало коор­динат Рис.1.7.
  4. При неограниченном возрастании х модуль у также неограниченно возраста­ет. Парабола  имеет вид (фор­му), изображенный на рисунке 1.7.. Точ­ка O(0; 0) называется вершиной параболы, отрезок FM =r называется фокальным радиусом точки М.
Уравнения у2 = —2рх, х2 = 2ру, х2 = -2ру (р > 0) также определяют параболы, они изображены на рисунке 1.8.
     
Рисунок 1.8.
Нетрудно показать, что график квадратного трехчлена  , где  , В и С любые действительные числа, представляет собой параболу в смысле приведенного выше ее определения.
5.
  Пусть  -- фокус параболы,  -- произвольная точка параболы,  -- луч с началом в точке параллельный оси параболы. Тогда нормаль к параболе в точке делит угол, образованный отрезком и лучом , пополам.     
Рис.1.9.Отражение светового луча от параболы
Это свойство означает, что луч света, вышедший из фокуса , отразившись от параболы, дальше пойдет параллельно оси этой параболы. И наоборот, все лучи, приходящие из бесконечности и параллельные оси параболы, сойдутся в ее фокусе. Это свойство широко используется в технике. В прожекторах обычно ставят зеркало, поверхность которого получается при вращении параболы вокруг ее оси симметрии (параболическое зеркало). Источник света в прожекторах помещают в фокусе параболы. В результате прожектор дает пучок почти параллельных лучей света. Это же свойство используется и в приемных антеннах космической связи и в зеркалах телескопов, которые собирают поток параллельных лучей радиоволн или поток параллельных лучей света и концентрируют его в фокусе зеркала.
3. Общее уравнение линий второго порядка
Уравнения кривых второго порядка с осями симметрии, параллельными координатным осям. Найдем сначала уравнение эллипса с центром в точке , оси симметрии которого параллельны координатным осям Ох и Оу и полуоси соответственно равны а и b. Поместим в центре эллипса   начало новой системы координат , оси которой  и  параллельны соответ­ствующим осям Ох и Оу и одинаково с ними направленны .
В этой системе координат уравнение эл­липса имеет вид
Так как , то в старой системе координат 
уравнение эллипса запишется в виде
Аналогично рассуждая, получим уравне­ние гиперболы с центром в точке   и полуосями а и b.
и, наконец, параболы, изображенные на рисунке (1.10), имеют соответству­ющие уравнения.
  
   
 
 
 
  
Уравнение Ac2 + Су2 + 2Dx + 2Еу + F = О
Уравнения эллипса, гиперболы, параболы и уравнение окружности   после преобразований (раскрыть скобки, пе­ренести все члены уравнения в одну сторону, привести подобные члены, ввести новые обозначения для коэффициентов) можно записать с помо­щью единого уравнения вида
  (1.9)
где коэффициенты А и С не равны нулю одновременно.
Возникает вопрос: всякое ли уравнение вида (1.9) определяет одну из кривых (окружность, эллипс, гипербола, парабола) второго порядка?
Ответ дает следующая теорема.