Средние величины в статистике. Виды и формы средних.

Введение
Значение использования средних величин в социально-экономических исследованиях.
Виды и формы средних величин в статистике.
Степенные средние.
Структурные средние.
Заключение
Список литературы

Средние величины в статистике. Виды и формы средних.

11,0
2,9
Итого
743,3
Х
Здесь в исходной информации веса (площадь под культурами) не заданы, но входят сомножителем в валовой сбор, равный урожайности, умноженной на площадь Mi=xi*fi , поэтому , а средняя урожайность будет равна
.
Средняя геометрическая применяется в тех случаях, когда индивидуальные значения признака представляют собой относительные величины динамики, построенные в виде цепных величин, как отношение к предыдущему уровню каждого уровня в ряду динамики, то есть характеризует средний коэффициент роста.
Средняя геометрическая также может быть простой и взвешенной. Применяется главным образом при нахождении средних коэффициентов роста.
Средняя геометрическая простая находится по формуле
,
а средняя геометрическая взвешенная - по формуле.
Средняя квадратичная применяется, например, для вычисления средней величины сторон n квадратных участков, средних диаметров стволов, труб и т.д., то есть в тех случаях, когда приходится усреднять величины, входящие в исходную информацию в виде квадратических функций. Она подразделяется на два вида.
Средняя квадратическая простая, если при замене индивидуальных величин признака на среднюю величину необходимо сохранить неизменной сумму квадратов исходных величин. То средняя будет являться квадратичной средней величиной. Она является квадратным корнем из частного от деления суммы квадратов отдельных значений признака на их число:
,
Средняя квадратическая взвешенная
.
Наиболее широко этот вид средней используется при расчете показателей вариации.
Средняя кубическая применяется, например, при определении средней длины стороны n кубов. Она подразделяется на два вида.
Средняя кубическая простая:
Средняя кубическая взвешенная:
известно, что степенные средние разных видов, исчисленные по одной и той же совокупности, имеют различные количественные значения. И чем больше показатель степени k, тем больше и величина соответствующей средней:
это свойство степенных средних возрастать с повышением показателя степени определяющей функции называется мажорантностью средних.
Структурные средние.
Для характеристики центральной тенденции в статистических распределениях иногда бывает целесообразно вместе со средней арифметической использовать некоторое значение признака x, которое в силу тех ил иных особенностей расположения в ряду распределения может характеризовать его уровень. Это особенно важно в тех случаях, когда в ряду распределения крайние значения признака имеют нечеткие границы. В связи с этим точное определение средней арифметической либо невозможно, либо очень сложно. В таких случаях средний уровень можно охарактеризовать, взяв, например, значение признака, которое расположено в середине ряда частот или которое чаще всего встречается в данном ряду. Такие значения xi зависят только от характера частоты ni, то есть от структуры распределения. Они типичны по месту расположения частот, ввиду этого такие значения xi рассматриваются в качестве характеристик центра распределения и поэтому получили название структурных средних.
Они применяются для изучения строения и структуры рядов распределения значений признака. К таким показателям относятся мода и медиана.
Мода3 - это величина признака (варианта), наиболее часто повторяющаяся в изучаемой совокупности. Для дискретных рядов распределения модой будет значение варианта с наибольшей частотой.
Отыскание моды производится по-разному, и это зависит от того, представлен ли варьирующий признак в виде дискретного ряда или интервального. Поиск моды в дискретном ряду происходит путем простого просматривания столбца частот. В этом столбце находится наибольшее число, характеризующее наибольшую частоту. Ей соответствует определенное значение признака, которое и является модой. В интервальном вариационном ряду модой приближенно считают центральный вариант интервала с наибольшей частотой.
В дискретных вариационных рядах мода определяется по наибольшей частоте. Предположим, есть выборка из 9 мужчин размеры обуви:
44; 43; 44; 45; 43; 46; 42; 46;43;
Так как чаще всего встречается размер 43, то этот размер будет модальным.
Для интервальных рядов распределения с равными интервалами мода определяется по формуле:
где - начальное значение интервала, содержащего моду;
- величина модального интервала;
- частота модального интервала;
- частота интервала, предшествующего модальному;
- частота интервала, следующего за модальным.
Пример 1.
Имеются данные по 18 магазинам Санкт-Петербурга
Интервал
(Товарооборот, млн. руб.)
Число магазинов, n
Середина интервала,
x
Сумма
Накопительных
частот
1,3-14,675
8
7,988
8
14,676-28,05
4
21,363
12
28,051-41,425
2
34,738
14
41,426-54,8
4
48,113
18
18
В нашем примере наибольшее количество магазинов попало в первую группу, найдем моду в модальном интервале (первом).
Пример 2.4
Распределение предприятий по численности промышленно - производственного персонала характеризуется следующими данными:
Группы предприятий по числу работающих, чел
Число предприятий
100 — 200
1
200 — 300
3
300 — 400
7
400 — 500
30
500 — 600
19
600 — 700
15
700 — 800
5
ИТОГО
80
В этой задаче наибольшее число предприятий (30) имеет численность работающих от 400 до 500 человек. Следовательно, этот интервал является модальным интервалом ряда распределения.
Введем следующие обозначения:
=400, =100, =30, =7, =19
Подставим эти значения в формулу моды и произведем вычисления:
Мода широко применяется в статистической практике при изучении, например, покупательного спроса, регистрации цен и т.д.
Медиана - это такое значение признака, которое делит ранжированный ряд распределения на две равные (по числу единиц) части – со значениями признака меньше медины и со значениями признака больше медианы. Для того чтобы найти медиану, нужно отыскать значение признака, которое находиться на середине упорядоченного ряда. В ранжированных рядах несгруппированные данные нахождения медианы сводятся к отысканию порядкового номера медианы.
Медиану иногда называют серединной вариантой, т.к. она делит совокупность на две равные части.
В дискретных вариационных рядах с нечетным числом единиц совокупности - это конкретное численное значение в середине ряда.
Пример 3.
Определим медиану заработной платы рабочих.
Месячная з/п , руб.
Число рабочих
Сумма накопительных частот
110
2
2
130
6
8 (2+6)
160
16
24 (8+16)
190
12
—
220
4
—
40
Для определения медианы надо подсчитать сумму накопленных частот ряда. Наращивание итога продолжается до получения накопленной суммы частот, превышающей половину. В нашем примере сумма частот составила ее половина - 20.
Накопленная сумма частот ряда получилась равной Варианта, соответствующая этой сумме, т.е. 160 руб., и есть медиана ряда.
Если же сумма накопленных частот против одной из вариант равна точно половине сумме частот, то медиана определяется как средняя арифметическая этой варианты и последующей.
Пример 4.
Имеются данные о зарплате рабочих
Месячная з/п, руб.
Число рабочих
Сумма накопительных частот
1100
2
2
1300
6
8 (2+6)
1600
12
20 (8+12)
1900
16
—
2200
4
—
40
Медиана будет равна:
Ме = (1500 + 1700) / 2 = 1600 руб.
Рассмотрим расчет медианы в интервальном вариационном ряду.
Медиана интервального вариационного ряда распределения определяется по формуле
где — начальное значение интервала, содержащего медиану;