Матрицы и определители

Введение
1. Матрицы и определители
1.1. Матрица и её виды
1.2. Определитель
2. Операции над матрицами
3. Применение матриц и определителей при решении задач курса высшей математики
3.1. Решение систем линейных уравнений
3.1.1.Система из двух линейных уравнений
3.1.2.Система из трёх линейных уравнений
3.1.3.Система из n линейных уравнений c n неизвестными
3.1.4. Система из m линейных уравнений с n неизвестными
3.2. Векторное и смешанное произведение векторов
3.3. Уравнение плоскости
3.3. Матрицы квадратичных форм
4. Применение матриц и определителей при решении экономических задач
4.1. Прямая и двойственная задача линейного программирования
4.2. Экономико-математическая модель межотраслевого баланса
4.3. Элементы теории игр в задачах моделирования экономических процессов
4.4. Множественный регрессионный анализ
Заключение
Список литературы

Матрицы и определители

а элементы матрицы С вычисляются по формуле
,
т.е для получения элемента , расположенного в i-ой строке и j-м столбце матрицы С, надо элементы i-ой строки матрицы А умножить на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В и полученные произведения сложить.
При этом важно помнить, что по отношению к произведению двух матриц переместительный закон не выполняется: АВВА.
Исключение составляет единичная матрица:
ЕА=АЕ=А.
Операция произведения матриц позволяет ввести ещё один вид матрицы:
Опр. 6. Матрица В называется обратной по отношению к матрице А, если произведения АВ и ВА равны единичной матрице Е7:
АВ=ВА=Е.
Для матрицы, обратной по отношению к матрице А, принято обозначение А-1, т.е. В= А-1.
Всякая невырожденная матрица имеет единственную обратную матрицу, которая находится по формуле:
,
где -определитель матрицы А; -алгебраическое дополнение элемента матрицы А.
4. Элементарные преобразования матрицы (т.е. это те преобразования, которые не изменяют ранг матрицы, о чём будет сказано ниже, в п.3.1.4.):
Замена строк столбцами, а столбцов – соответствующими строками;
перестановка строк матрицы;
вычёркивание строки, все элементы которой равны нулю;
умножение какой-либо строки на число, отличное от нуля;
прибавление к элементам одной строки соответствующих элементов другой строки.
3. Применение матриц и определителей при решении задач курса высшей математики
3.1. Решение систем линейных уравнений
Одно из основных применений матричного аппарата – решение систем линейных уравнений. Это связано с тем, что всякую систему линейных уравнений можно представить в матричной форме и с помощью свойств матриц определить количество решений системы.
3.1.1.Система из двух линейных уравнений
Рассмотрим систему уравнений
,
которая в матричной форме можно представить следующим образом:
,
где -матрица системы, -матрица-столбец неизвестных, -матрица-столбец свободных членов.
Тогда, если определитель матрицы А (обозначим его ) не равен нулю, то эта система имеет единственной решение, которое находится по так называемым формулам Крамера:
, .
Если определитель =0, то система является либо несовместной, либо неопределённой. В последнем случае система сводится к одному уравнению (например, первому), второе же уравнение является следствием первого.
Рассмотрим случай системы двух линейных однородных уравнений с тремя неизвестными (когда столбец свободных членов равен нулю):
.
1. Если , то система сводится к одному уравнению (например, первому), из которого одно из неизвестных выражается через два других, значения которых остаются произвольными.
2. Если условие не выполнено, то решение системы находят по формулам
, , ,
где может принимать любые значения.
Фактически эта задача из аналитической геометрии – найти пересечение двух плоскостей, проходящих через начало координат.
3.1.2.Система из трёх линейных уравнений
Рассмотрим систему уравнений
,
которая в матричной форме имеет вид ,
где , , .
Если определитель матрицы а (обозначим его ) не равен нулю, то система имеет единственное решение, которое можно найти либо по формулам Крамера:
, ,
либо с помощью операции умножения матриц:
, где -матрица, обратная матрице А.
Если =0 , то исходная система либо неопределённая, либо несовместная.
Если система однородная, то есть имеет вид
,
и её определитель отличен от нуля, то она имеет единственное решение .
Если же определитель однородной системы равен нулю, то система сводится либо к двум независимым уравнениям (третье является их следствием)либо к одному уравнению (остальные два являются его следствиями). Первый случай имеет место тогда, когда среди миноров определителя однородной системы есть хотя бы один отличный от нуля, второй – тогда, когда все миноры этого определителя равны нулю. В обоих случаях однородная система имеет бесконечное множество решений.
3.1.3.Система из n линейных уравнений c n неизвестными
В случае, если система линейных уравнений, в которой число уравнений равно числу неизвестных
и определитель матрицы системы не равен нулю, эта система имеет единственное решение, которое можно найти либо по формулам Крамера:
, ,…, ,
либо с помощью матричного уравнения:
, где -матрица, обратная матрице ,
.
3.1.4. Система из m линейных уравнений с n неизвестными
Если ввести предварительно понятие ранга матрицы, то можно сформулировать теорему о существовании решения системы.
Пусть дана прямоугольная матрица
Рангом матрицы А называется наибольший порядок минора этой матрицы, отличного от нуля. Для определения этого минора нужно с помощью элементарных преобразований привести матрицу к верхней треугольной (или трапецевидной) форме и посмотреть на количество не- нулевых строк матрицы –это и будет значение ранга матрицы.
Пусть дана система m линейных уравнений с n неизвестными
.
Матрицы
и
называются соответственно матрицей и расширенной матрицей системы.
Теорема Кронекера-Капелли.8Для совместности системы (т.е.чтобы система имела хотя бы одно решение) m линейных уравнений c n неизвестными необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был равен рангу её расширенной матрицы.
3.2. Векторное и смешанное произведение векторов
Векторное произведение векторов и удобнее всего находить по формуле вычисления определителя третьего порядка, раскладывая его по первой строке:
.
Смешанное произведение трёх векторов , , также находится с помощью вычисления определителя третьего порядка:
.
3.3. Уравнение плоскости
Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки , , находится также с помощью вычисления определителя третьего порядка:
.
3.3. Матрицы квадратичных форм
Выражения вида
и
называются квадратичными формами соответственно от двух и трёх переменных.
Симметрические матрицы
, где ,
и
, где , ,
называются матрицами этих форм.
Преобразовывая эти матрицы, можно привести квадратичные формы к каноническому виду и понять, что за кривая или поверхность задаётся соответствующим выражением.
4. Применение матриц и определителей при решении экономических задач