Сравнительный анализ применения моделирования для различных экономико-математических моделей

Введение
1. Случайные события и их имитация
2. Имитация непрерывных случайных величин
Метод обратной функции
Метод Неймана (режекции)
4. Имитация случайных процессов
5. Обработка результатов моделирования
Заключение
Список литературы

Сравнительный анализ применения моделирования для различных экономико-математических моделей

Метод Неймана состоит в следующем:
1. С помощью датчика случайных чисел получают пару чисел, распределенных равномерно на (0,1).x1 и x2.
2. Путем преобразований (по методу обратной функции получают два числа , равномерно распределенных соответственно на интервалах (a,b) и (o,w), то есть
, где
рис 3.5.
 
3. Из точек с координатами выбирают те, которые попали “под колокол” функции fh (y), то есть те точки, для которых .
4. Если выполнено условие 3., то искомое значение y полагают равным .
Алгоритм получения значения нормально распределенной случайной величины.
Нормальное распределение является наиболее часто встречающимся. Функция плотности распределения вероятностей для него имеет вид:
где m – матожидание, а – дисперсия. Согласно центральной предельной теореме теории вероятностей СВ
распределена асимптотически нормально, если распределены одинаково.
Для практического получения значений в качестве и выбирают равномерно распределенные СВ. При этом наиболее часто используют преобразование
(8)
где xi – равномерно распределенные на (0,1) случайные числа. При к=12 формула приобретает вид наиболее удобной для расчетов, но она дает достаточно точные результаты уже для к=3,4. Формула (8) верна для центрированной (m=0) и нормированной ( =1) случайной величины.
Для получения y*, распределенного нормально с произвольными m и , пользуются дополнительно преобразованием
y*=m+ y (9)
Алгоритм получения случайной величины, распределенной по Пуассону
Закон Пуассона описывает число событий, происходящих за одинаковые промежутки времени, при условии независимости этих событий. Это распределение хорошо описывает количество вызовов телефонной станции за определенное время суток, заказов такси и т.д. Закон Пуассона называют законом появления редких событий.
В основе алгоритма получения случайных чисел, распределенных по Пуассону лежит предельная теорема Пуассона. В соответствии с этой теоремой, если n – количество событий велико, а р – вероятность успеха мала, то вероятность того, что при n испытаниях событие произойдет к раз равна:
Здесь np=а, где а – параметр закона Пуассона.
Процедура получения чисел, распределенных по Пуассону заключается в следующем:
1. Положить р меньше, либо равно 0,1 (так как события являются редкими).
2. Вычислить число испытаний n=а/р.
3. Значение х – случайного числа с равномерным на интервале (0,1) законом распределения сравнить с р, если х меньше, либо равно р, то к счетчику событий добавляется 1.
4. Проводится n испытаний, после чего содержимое счетчика можно считать случайным числом, распределенным по Пуассону.
Аналогично можно получить значения случайных величин, распределенных в соответствии с геометрическим, биноминальным и другими распределениями дискретных случайных величин
4. Имитация случайных процессов
Случайной называется функция, ординаты которой для любых фиксированных значений аргумента являются случайными величинами. Задачу моделирования случайных функций в общем случае нельзя свести к имитации СВ для каждого значения аргумента, так как между ординатами существует корреляционная зависимость. Случайная функция, аргументом которой является t - время, носит название случайного процесса (СП).
Целью имитационного моделирования СП на ЭВМ является воспроизведение различного рода сигналов и помех, ММ которых является СП. Нужно иметь в виду, что воспроизведение на ЭВМ процессов с непрерывным временем невозможно ввиду дискретной природы ЭВМ. Задача моделирования СП в дальнейшем понимается как задача отыскания алгоритма, позволяющего формировать на ЭВМ реализации СП.
СП считается заданным, если задана функция дисперсии d(t), математического ожидания m(t) и корреляционная функция k(ti,tj). Эти функции являются неслучайными, их определяют путем обработки опытных данных методами математической статистики.
Имитация нестационарных случайных процессов
Описанный алгоритм пригоден как для стационарных, так и нестационарных СП. Он предложен В.С. Пугачевым, называется методом канонических разложений и заключается в следующем.
Пусть F(t1), F(t2), . . . F(tn) - реализация СП на конечном интервале Т времени, тогда в соответствии с методом:
F(t1)=m(t1) + x11(t1),
F(t2)=m(t1) + x11(t1) + x22(t2),
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
F(tn)=m(t1) + x11(t1) + x22(t2) + . . . + xnn(tn),
Здесь х1, х2, . . . хn - значения случайных, некоррелированных, центрированных СВ о заданным законом распределения; i(tk) - координатные функции, обладающие свойствами:
а) i(tj)=0 при i>j; б)i(ti)=1.
Координатные функции и дисперсии Di величин можно вычислить в соответствии с рекуррентными уравнениями:
,
.
Имитация стационарных СП.
Для стационарных СП справедливы соотношения m(t)=m; d(t)=; k(ti,tj)=k( ), где =ti-tj. Один из методов имитации стационарных СП заключается в вычислении F(ti) по формулам:
F(t1)=m+c1x1+c2x2+ . . . +cnxn,
F(t2)=m+c1x2+c2x3+ . . . +cnxn+1,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
F(tn)=m+c1xn+c2xn+1+ . . . +cnx2n-1.
Здесь хi - реализации некоррелированных случайных величин , для которых M[]=0, D[]=, закон их распределения задан. Коэффициенты cj () вычисляют решением уравнений
K(tk-t1)=(c1ck + c2ck+1 + . . . + cn+k-1cn) +2, ().
Имитация стационарных нормальных СП.
Рассмотренные выше методы пригодны для моделирования СП, заданных на конечном интервале времени. При формировании реализаций большой длины эти методы трудоемки, что затрудняет их использование. На практике приходится моделировать СП, относящиеся к узкому классу СП, например, стационарный нормальный СП; стационарный СП, поражденный нормальным, нестационарным, СП со стационарными приращениями и т.д. Для таких классов СП существуют достаточно эффективные моделирующие алгоритмы.
В их основу положены линейные преобразования стационарной последовательность F(tk) независимых нормальных случайных чисел (белый шум) в последовательность F(tk), k=1, 2, . . .; tk-tk-1=t=const, коррелированную по заданному закону. При этом оператор линейного преобразования записывается либо в виде формулы скользящего суммирования с некоторым весом аi
либо как рекуррентное уравнение вида
Коэффициенты аi и bi в обеих формулах и их количество зависит от вида корреляционной функции. Первая из приведенных формул является ММ цифрового фильтра, называемого нерекурсивным, вторая - ММ рекурсивного цифрового фильтра.
5. Обработка результатов моделирования
В процессе имитационного моделирования формируется большое количество реализации, являющихся исходным статистическим материалом для нахождения приближенных значений показателей эффективности или, как говорят, их оценок. В этих условиях обработка результатов моделирования может решаться только с применением методов, оптимальных по времени и обеспечивающих экономию памяти ЭВМ.
Перечислим ряд таких приемов.
Оценка вероятности