Вход

Формирование теоретико-вероятностного мышления у учащихся ср школы на уроках математики

Рекомендуемая категория для самостоятельной подготовки:
Дипломная работа*
Код 305525
Дата создания 08 июля 2013
Страниц 65
Мы сможем обработать ваш заказ (!) 29 марта в 18:00 [мск]
Файлы будут доступны для скачивания только после обработки заказа.
4 610руб.
КУПИТЬ

Содержание

ВВЕДЕНИЕ
Глава 1. Основные принципы преподавания теории вероятностей и математической статистики
1.1. Состояние вопроса сегодня
1.2. Проблемы преподавания теории вероятностей и математической статистики в РФ
1.3. Практика преподавания теории вероятностей и математической статистики в РФ
1.4. Сравнение «западной» и «российской» школ
1.5. Примерное планирование курса теории вероятностей и математической статистики
1.6. Построение оптимальной схемы преподавания
1.7. Формирование теоретико-вероятностного мышления учащихся
Выводы:
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Приложение
Список литературы.

Введение

Формирование теоретико-вероятностного мышления у учащихся ср школы на уроках математики

Фрагмент работы для ознакомления

4
5
6
Вероятность
0,16
0,29
 
0,06
0,21
0,06
3. Игральную кость бросают один раз. Найдите математическое ожидание случайной величины "сумма кубов числа выпавших очков".
4. Игральную кость бросили 120 раз. Найдите математическое ожидание и дисперсию случайной величины "число выпадений четверки".
5*. В квадрат со стороной 1 дм вписан круг. Из квадрата случайным образом выбираются две точки. Найдите вероятность того, что обе точки принадлежат кругу.
Задачи явно укладываются в классическую схему российского образования и являются «небольшим дополнением» к старому курсу математики. Следует обратить внимание, что контрольная работа взята из пособия1, опубликованного по заказу правительства Москвы, т.е. в какой – то мере отражает официальный курс Министерства образования Российской Федерации. Ясно, что хотелось бы усовершенствовать курс математики «не ломая», но возможность этого зависит от решаемых изменением курса задач.
1.6. Построение оптимальной схемы преподавания
Исходя из вышесказанного, попытаемся построить оптимальную схему изучения основ теории вероятностей и математической статистики в основной и старшей школе, а затем перейдём к вопросу о теоретиковероятностном подходе к обучению. За основу примем планирование из учебного пособия под редакцией проф. Ю. Тюрина 2.
Общий объём курса составляет около 50 часов за 3 года в 7, 8 и 9 классах (в зависимости от начального класса курса и предпрофильной подготовки) в основной школе. Затем, видимо, около 20 часов за 2 года в старшей школе (последнее число уточниться к 2007-2008, или 2008-2009 учебным годам, когда до 10 класса «доучится» основная масса школьников, начинавших курс в 7 классе). Возникает необходимость «отыскать» эти часы, особенно в профильных математических классах, и потратить их максимально рационально т.к. для столь важного раздела математики их маловато, особенно учитывая принципиальную жизненную важность раздела.
Дмитрий Путимцев, директор московской школы №518 пишет: «Если статистика будет дополнением к тем пяти часам математики в неделю, которые существуют в базовой школьной программе, то это будет перегрузкой. Если же один час от алгебры будет отдан под статистику, то нужно будет говорить либо о сокращении курса алгебры, либо о его упрощении…»1. Возможно, более рациональным было бы отдать часть времени геометрии, особенно в старшей школе, однако до конца это проблемы не решает. Интересно отметить, что первоначально речь шла о новом предмете, а не о части курса алгебры, и это не случайно. Вне зависимости от распределения часов теория вероятностей и математическая статистика создаёт новые межпредметные связи и должна иметь иную структуру изложения, чем основной курс алгебры.
Даже такой профессионал, как А. Макаров допускает неточность при интерпретации статистических данных2 «Когда современный человек смотрит телевизор или читает газету, он далеко не всегда понимает, о чем ему рассказывают. Как только дело доходит до тех или иных цифр, оказывается, что граждане просто не понимают, что им хочет сообщить государство - говорит ли оно о средних зарплатах или об уровне рождаемости в стране. Когда нам сообщают о том, что средняя зарплата в Москве - 18 тысяч рублей, многие люди сомневаются в этом, полагая, что средняя - это самая распространенная зарплата, не понимая, что такое средняя зарплата. А статистика учит правильно интерпретировать понятия, не ограничиваясь одной такой величиной». Ясно, что в данном случае просто использована неудачная величина «средняя зарплата» – она малоинформативна, даже если её дополнить, скажем, дисперсией. В подобных сообщениях необходимо указывать медиану (и этого достаточно, другие величины не нужны), что отмечено и в учебном пособии под редакцией проф. Ю. Тюрина3:
«Если в наборе чисел есть резко выделяющиеся значения, то медиана лучше, чем среднее арифметическое, показывает, как этот набор расположен на числовой прямой…
Пример 5. В России в 2002 г. было 13 городов с числом жителей более 1 млн. человек… Найдем среднее значение численности жителей этих городов в 2002 г в 1000 чел. Для этого нужно сложить числа… и сумму разделить на 13…

Обратите внимание: … нет города, население которого было бы близко к этой величине. Почти во всех городах население немного превышало 1 млн. человек. Исключение составляют Москва и Санкт-Петербург. Из-за этих двух городов среднее арифметическое не дает представления о населении "среднего", "типичного" крупного города. Лучшее представление о населении "среднего", "типичного" города-миллионера дает медиана. Упорядочим числа последнего столбца и найдем медиану:
Медиана равна 1134 тыс. человек. Это население г. Омска».
Думаю, приведённый Макаровым1 пример мог бы стать не менее наглядной демонстрацией применения медианы. Это показывает, что умения применять элементарные знания по статистике не хватает даже профессионалам, включая официальных российских статистиков (впрочем, они, возможно, просто хотели нарисовать число побольше).
Проблема не в том, чтобы ввести несколько новых понятий и решить несколько задач по теме – необходимо связать новые знания с реальной жизнью, а это тесно касается не только физики (это уже привычно, кстати, разобравшись с дублированием понятия производной в курсах физики и математики можно сэкономить немного необходимого времени), но и истории, обществоведению, географии, биологии – в курсе генетики сплошная теория вероятностей и комбинаторика!
И так ясно, что объём курса не может быть меньшим, чем в планировании проф. Ю. Тюрина. Часы для прохождения курса должны быть выделены не только (и не столько!) за счёт сокращения других разделов математики (особенно в профильных математических классах), сколько за счёт небольшого сокращения времени курсов ряда «заинтересованных» предметов, при чём сокращения времени на «статистические» темы, перекрываемые новым курсом. (Генетика в биологи, темы «молекулярно-кинетическая теория», «средняя и мгновенная скорость», и др. в физике, уроки, посвящённые диаграммам в экономической географии и т.д.). Время на прохождение курса в профильных математических классах не должно быть меньше, чем в гуманитарных или естественно-научных. Крайне хорошо было бы выделение теории вероятностей и математической статистики в отдельный, третий, математический предмет наряду с алгеброй и геометрией, аналогично выделению информационных технологий из информатики (кстати, время на этот предмет получено за счёт часов труда).
Формально говоря подобный предмет, при надлежащей методике преподавания, с упором на индуктивные методы и практические упражнения, решил бы поставленные задачи, но даже при соблюдении всех вышеуказанных условий, мы столкнёмся со следующей, более общей проблемой – проблемой эффективности применения полученных знаний.
1.7. Формирование теоретико-вероятностного мышления учащихся
Вернёмся к статье Известий1. А. Макаров пишет: «Когда школьники учат те или иные уравнения, они потом используются разве что в курсе физики. Но математика нужна и обществоведению, и экономической географии... Кстати, и интерес к математике, который у многих детей падает к 7-8-му классу, повысится, когда они и их родители увидят, что за формулами стоят вполне реальные задачи». Думается, что учителя (хорошие) не забывают упомянуть о том, «где это может пригодится», но результат подмечен верно. Процитируем статью Д. Кудрявцева, член-корр. РАН, профессора МФТИ1:
«Отметим наиболее характерные черты, присущие большинству первокурсников, которые не позволяют им надлежащим образом изучать высшую математику и затем эффективно применять математические методы в решении прикладных задач:
неумение студентов отличать то, что они понимают от того, что они не понимают,
неумение логически мыслить, отличать истинное рассуждение от ложного, необходимые условия от достаточных; неправильное представление о главном и второстепенном, о том, что необходимо помнить, а что можно и забыть;
неумение вести диалог: понять вопрос преподавателя и ответить именно на него, а также сформулировать свой вопрос;
неумение найти несколько ответов на один вопрос;
стереотипность восприятия информации, искаженные и даже неверные стереотипы; снижение общего культурного уровня и, как следствие, непонимание литературных и исторических реминисценций, невозможность воспринять связи с законами физики и других наук».
Обе цитаты – об одном: о снижении уровня системности мышления учащихся. Обычно считается, что этот процесс в России (Советском Союзе) стал заметен в конце 70 – начале 80гг., однако в вышеупомянутой статье2 указано: «Определенная согласованность между уровнем математической подготовки выпускников школы и потребностями вузов сохранялась до 50-х годов… Наметившийся в начале 60-х годов разрыв между уровнем подготовки выпускников школы и потребностями вузов постепенно углублялся…» (опущены причины явления, предполагаемые авторами статьи).
Ясно, что проблема возникла не сегодня, но именно в последние 10 – 15 лет она стала критической. Не вдаваясь в её биопсихологические, или психосоциальные корни, отметим только, что западные страны столкнулись с ней значительно раньше, и роль чтения, как источника информации о мире там начала падать тоже значительно раньше. (Вот одна из причин выбора «западной» школой первоочередных задач) На интересные размышления наводит эссе Ю. Тупицына «Ведьма»1, но вернёмся к основной теме.
Часто учителя жалуются, что ученик, имеющий пятёрку по алгебре, не может решить квадратного уравнения на физике, ученик легко решавший на физике задачи на равномерное движение, теряется при виде аналогичной текстовой задачи на математике, ученик работающий с круговой диаграммой на географии не умеет её использовать на истории… список можно продолжать бесконечно. Всё это сводится к одному – знания, полученные на одном предмете, не применяются на другом. Это и есть главный симптом нарушения системности мышления. Другие симптомы прекрасно изложены в предшествующих цитатах из работы2.
Введение нового раздела курса алгебры, или нового математического предмета, не изменит ситуации – благополучно решая статистические задачи на уроке, учащиеся по-прежнему не смогут решить их в жизни, или даже просто на другом предмете. Западная система образования пошла по пути усиленного обучения именно системности (наряду с практическими навыками), в ущерб объёму фактического материала. Но не имеющий достаточных базовых знаний ученик не начнёт мыслить системно, сколько не учи…
Хотелось бы использовать следующую систему обучения – на начальных этапах (ориентировочно до 5 класса включительно) – насыщать материал бытовыми примерами, яркой графикой и т.д., использовать в основном индуктивные методы обучения, свести заучивание к минимуму (таблица умножения!) – то есть идти «западным» путём. Очень важно, чтобы и другие предметы использовали аналогичные приёмы, в духе учебника «Пре-алгебра: интегрированный переход к алгебре и геометрии» У. Лещински»1, к сожалению ещё не переведённого. Приведём незначительно сокращённый перевод аннотации: «Школьная программа начального курса алгебры обеспечивает учащимся возможность развивать необходимые навыки, изучать основные понятия, использовать приложения для решения задач в курсе программы подготовки к алгебре. Комплект учебных материалов включает учебник для учащихся, издание для учителя и набор буклетов с дополнительными учебными материалами. Каждый урок начинается с упражнения моделирования, цель которого – помочь учащимся перейти от конкретной ситуации к абстрактному понятию и мотивировать изучение темы урока. Каждый урок сопровождается разделом, в котором развивается тема урока, даются краткие пояснения и примеры, заканчивается упражнениями и задачами, при решении которых требуется использовать полученные знания. Такое построение курса отражает деятельностный подход и способствует формированию соответствующих компетенций у учащихся.
Знакомство с алгеброй начинается в первой главе и продолжается далее во всех главах учебника. Большинство глав включает также уроки по геометрии, теории вероятностей, статистике и дискретной математике. Пример того, как используется геометрия, можно найти в главе 2 “Изучаем целые числа”, в уроке, посвященном знакомству с системой координат. В уроке используется карта как модель города, карта соотносится с системой координат, по упорядоченным парам строится график. Вопросы по составлению графика по заданным парам рассматриваются в последующих уроках данной главы.
Материал книги носит ярко выраженный интегративный характер: наглядно показана связь математики с биологией, медициной, географией и т.д. Использование авторами в книге нестандартных для предмета приемов: например, образов звезд молодежной культуры, комиксов и др., отражает хорошее знание интересов и психологии детей этого возраста и является сильным мотивационным фактором. Учебное пособие снабжено двуязычным терминологическим глоссарием, а также предметным индексом, что отражает его поликультурный характер».
С 6 – 7 класса начинается переход к более фундаментальным методам изложения материала. При этом хотелось бы, чтобы теоретико-вероятностный подход, наряду детерминированным присутствовал не только на соответствующем курсе, но и на других предметах. Только таким образом, позаимствовав у западной школы этот приём, мы сможем обучить детей системности мышления, только в этом случае короткий специализированный курс действительно принесёт пользу, подводя под эмпирические знания теоретическую базу. В качестве примера подачи материала для 7 класса, приведём часть §17 главы IV пособия под редакцией проф. Ю. Тюрина1.
«Случайная изменчивость.

Урожайность зерновых культур
В таблице1 представлены данные об урожайности зерновых культур в России с 1992 по 2001 гг. в весе после доработки. Урожайность измеряется в центнерах с гектара. При этом надо решить, какой именно вес будет учитываться в расчетах. Обычно зерно взвешивают дважды: сразу после уборки (исходно оприходованный вес) и спустя некоторое время на элеваторе (вес после доработки). Вес зерна после доработки примерно на 10 % процентов меньше веса зерна сразу после уборки. Вес сокращается за счет высыхания зерна и потерь при транспортировке.
 
Таблица 1. Урожайность зерновых культур в России в 1992-2001 гг. (вес после доработки)
Год
1992
1993
1994
1995
1996
1997
1998
1999
2000
2001
Урожайность, ц/га
18, 0
17, 1
15, 3
13, 1
14, 9
17, 8
12, 9
14, 4
15, 6
19, 4
Вопросы
6. Является ли урожайность зерновых культур в разные годы постоянной величиной?
7. Одна или несколько причин, на ваш взгляд, могут влиять на урожайность?
8. Укажите, какие причины могут, на ваш взгляд, повлиять на урожайность.
9. Какие из перечисленных ниже причин могут влиять на урожайность:
а) погодные условия; б) тип почвы; в) удобрения; г) сроки посева;
д) результаты футбольного матча; е) сроки уборки; ж) птицы и насекомые;
з) качество посевного зерна?
Как видно из таблицы 1, урожайность зерновых культур — изменчивая величина. Ее значение зависит от многих причин, главные из которых — погодные условия и деятельность человека (удобрения, выбор посевного материала и сроков сева, совершенство уборочной техники). Можно ли найти в этой изменчивости закономерности? Для этого следует провести анализ данных в таблице. Некоторые этапы этого анализа сформулированы в следующих упражнениях.
 Упражнения
1. По данным таблицы 1 постройте столбиковую диаграмму урожайности зерновых культур в разные годы.
2. Упорядочите данные таблицы 1 в порядке возрастания.
3. Вычислите средние урожайности зерновых в периоды 1992-1996 и в 1997-2001 гг. Сравните между собой полученные результаты.
4. Составьте таблицу отклонений ежегодной урожайности в 1992-1996 и в 1997-2001 гг. от средних показателей за соответствующие пять лет.
5. Составьте таблицу квадратов отклонений ежегодной урожайности в 1992-1996 и в 1997-2001 гг. от средних показателей за соответствующие пять лет.
6. Что больше подвержено изменчивости: средняя урожайность за пять последовательных лет или урожайность в отдельные годы?
Справка
Совершенствуя выращивание и уборку зерновых культур, люди постепенно добиваются повышения урожайности. Средняя урожайность зерновых культур в СССР в 50-е гг. прошлого века примерно равнялась 8 центнеров с гектара (ц/га) и колебалась около этого значения на 2-3 ц/га. В 70-е гг. средняя урожайность зерновых культур в СССР возросла до 14 ц/га.
Как видно из таблицы 1, колебания урожайности в разные годы могут быть весьма существенны, однако средняя урожайность за пять последовательных лет изменяется значительно слабее. Это происходит потому, что влияние погодных условий на среднюю урожайность за пять лет уравновешивается. Низкие показатели засушливых годов компенсируются высокими показателями урожайных годов. Кроме погодных условий, урожайность зависит от усилий людей, качества посевного зерна, удобрений, уборочной техники и многих других обстоятельств. Однако усилия людей по повышению урожайности в целом по стране сказываются постепенно. Они не влияют резко на среднюю урожайность. Поэтому средние значения урожайности за несколько лет объективно отражают достижения людей по выращиванию зерна. Именно за счет улучшения хозяйствования средняя урожайность в 70-е гг. выросла на 75 % по сравнению с 50-ми гг.
Зачем изучают такие показатели, как урожайность зерновых культур? Производство зерна в России, значительная часть населения которой живет в сельской местности, — один из важнейших экономических и социальных показателей. Производство зерна существенно зависит от урожайности. Для формирования общей политики государства в экономической и социальной областях: обеспечения населения хлебом и продуктами животноводства, развития сельского хозяйства — необходимо изучать причины, влияющие на повышение урожайности. Такие исследования ведутся во многих странах уже не одно столетие. Средние показатели урожайности зерновых культур в некоторых странах с такими же, как в России, климатическими условиями превышают 30-40 ц/га.»
В 8 – 9 классе начинается предпрофильная подготовка, затем в 10 – 11 классах профилирование. Мне кажется, что занятия в профильных классах должны отличаться только увеличением объёма математических обоснований, но не сокращением «гуманитарной» составляющей курса. – совершенствуя форму сосуда нельзя оставить его пустым! Чрезвычайно полезными, с точки зрения развития системного мышления, будут совместные (или связанные) уроки. Так, по согласованию с преподавателем литературы, хорошо было бы организовать совместный анализ эссе Станислава Лема «О невозможности жизни; О невозможности прогнозирования»1.
Знаменитый писатель-фантаст, признанный классик польской литературы, в этом произведении анализирует два подхода к теории вероятностей. Используя приём рецензирования несуществующей книги, Лем заставляет читателя вникать в тонкости и парадоксы теории вероятностей. Конечно, не будучи математиком Лем совершает ряд ошибок, но тем ближе его изложение к бытовому уровню тем интереснее может быть работа с учащимися. Необходимо показать, что суть изложенных парадоксов совпадает с известными «парадоксом больших серий» и «парадоксом больших армий».
Парадокс больших армий:
Чем большие армии готовятся принять участие в войне, тем меньше вероятность того, что хоть кого-нибудь убьют при начале военных действий.
Обоснование:
Предположим на передовой по 500 000 с каждой стороны. Если начинается война, то вероятность, что меня убьют первым,
не более (если все на передовой в равных условиях) 1:1 000 000. Однако в том же положении любой другой солдат. То есть вероятность, что кто-то погибнет первым – не более 1:1 000 000. Но пока не погиб первый – не погибнет никто! Дальнейшее рассуждение очевидно.
Разрешение:

Список литературы

Книги
1.W. Leschensky et al. «Glencoe pre-algebra: an integrated transition to algebra and geometry» Glencoe/McGraw-Hill 2005
2.Башмаков М.И. «Математика. 10-11класс. гуманитарный профиль» (учебник для общеобразовательной школы) М. Просвещение 2004г.
3.Булычев В. А., Бунимович Е. А. «Вероятность и статистика, 5–9 кл.» М.: Дрофа, 2002г.
4.Вернер Ф.Л., Карп А.П. «Математика. 11 класс.» (учебник для общеобразовательной школы) М. Просвещение 2004г.
5.Гмурман В.Е. «Теория вероятностей и математическая статистика» М. Высшая Школа 1972г.
6.Лем Ст. «Библиотека XXI века» (сборник) М. АСТ 2006г.
7.Лютикас В. «Школьнику о теории вероятностей» (Учеб. пос. по факультативному курсу для учащихся 8-10кл.) М. Просвещение 1976 г.
8.Мордкович А. Г., Семенов П. В. События. Вероятность. Статисnика:Дополнительные материалы к курсу алгебры для 7–9 кл. М.: Мнемозина, 2002г. (К учебникам А. Г. Мордковича.)
9.Мордкович А. Г., Смирнова И.М. «Матеметика. 11 класс. Для общеобразовательных классов» (учебник для общеобразовательной школы) М. Просвещение 2004г.
10.Мостеллер Ф. «50 занимательных вероятностных задач с решениями» Пер. с англ. М. Наука 1971 г.
11.Перельман Я.И. «Живая математика» М. АСТ 2003г.
12.Ткачева М. В., Федорова Н. Е. «Алгебра, 7–9 кл.: Элементы статистики и вероятность.» М.: Просвещение, 2003г. (К учебникам А. Ш. Алимова и др.).
13.Тупицин Ю.Г. «Сказка о любви, XXIII век. Ведьма.» (сборник) Волгоград. 1991г.
14.Тюрин Ю.Н. (под редакцией) «Теория вероятностей и статистика» (учебное пособие для общеобразовательной школы) МЦИМО Московские Учебники 2004г.
Статьи
15.Письмо Министерства образования Российской Федерации от 23 сентября 2003 г. N 03-93ин/13-03 (в приложении 1)
16.Булычев В. «Изучение ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ в 6 классе» журнал «1 Сентября» (Математика) 1997 г., № 2.
17.Булычев В.А., Бунимович Е. А. «Изучение теории вероятностей и статистики в школьном курсе математики. Программа для курсов повышения квалификации учителей» журнал «Математика в школе» 2003г., N 4.
18.Бунимович Е. А. «Вероятностностатистическая линия в базовом школьном курсе математики.» журнал «Математика в школе» 2002г., N4.
19.Иванова-Гладильщикова Н. «Профессор Юрий Тюрин, доцент Алексей Макаров: "С этого года в школе начнут учить статистике и теории вероятностей"» газета Известия 12.11.2004г. (в приложении 2)
20.Селютин В. Д. «О формировании первоначальных стохастических представлений.» журнал «Математика в школе» 2003г., N 3
Интернет – ссылки.
21.Аммосов Ю. «Гонец из PISA» (ссылка на сайте) www.forum.globalrus.ru (в приложении 3)
22.Дискуссия на форуме GlobalRus.ru www.forum.globalrus.ru (выдержки в приложении 4)
23.Официальный сайт - Атырауского Государственного Университета www.atyrauuniv.kz
24.Статья «О тенденциях и перспективах математического образования» (Л.Д. Кудрявцев, член-корр. РАН, профессор МФТИ Научно-методический совет по математике, и др. авторы) (ссылка на сайте) www.mfti.ru
Очень похожие работы
Пожалуйста, внимательно изучайте содержание и фрагменты работы. Деньги за приобретённые готовые работы по причине несоответствия данной работы вашим требованиям или её уникальности не возвращаются.
* Категория работы носит оценочный характер в соответствии с качественными и количественными параметрами предоставляемого материала. Данный материал ни целиком, ни любая из его частей не является готовым научным трудом, выпускной квалификационной работой, научным докладом или иной работой, предусмотренной государственной системой научной аттестации или необходимой для прохождения промежуточной или итоговой аттестации. Данный материал представляет собой субъективный результат обработки, структурирования и форматирования собранной его автором информации и предназначен, прежде всего, для использования в качестве источника для самостоятельной подготовки работы указанной тематики.
bmt: 0.0048
© Рефератбанк, 2002 - 2024