Индивидуальное задание №2 по теории вероятности и математической статистике

Индивидуальное задание №2 по теории вероятности и математической статистике (вуз МЭСИ) 4 вариант, 1 курс. ...

Условия задач контрольного задания настраиваются по последней цифре (k) номера зачетной книжки (студенческого билета). Если студент не получил зачетную книжку (и студенческий билет), то по последней цифре его номера в официальном списке группы (по экзаменационной ведомости). (0 ≤ k ≤ 9)


1. Распределение случайной величины Х - заработной платы сотрудников на фирме (в у.е.) - задано в виде интервального ряда:

Хmin i (аi) 300 310+10*k 320+20*k 330+30*k 340+40*k 350+50*k
Хmax i (bi) 310+10*k 320+20*k 330+30*k 340+40*k 350+50*k 360+60*k
Частота mi 10 20 30 25 10 5

Найти: , Sх. Построить теоретическое нормальное распределение и сравнить его с эмпирическим с помощью критерия согласия Пирсона χ2 при α=0,05.
2. В процессе исследования среднедушевого дохода (в руб.) обследовано 100семей. Выявлены оценки: =(1500+10*k), S=(200+k). В предположении о нормальном законе найти долю семей, чей среднедушевой доход находится в пределах от 1200 до 1800.

3. Объем дневной выручки в 5 торговых точках (в тыс. у.е.) составил:
х1=(10+k), х2=(15+k), х3=(20+k), х4=(17+k), х5. Учитывая, что =(16+k), найти выборочную дисперсию S2.

4. По данным 17 сотрудников фирмы, где работает (200+10*k) человек, среднемесячная заработная плата составила (300+10*k) у.е., при S=(70+k) у.е. Какая минимальная сумма должна быть на счету фирмы, чтобы с вероятностью γ=0,98 гарантировать выдачу заработной платы всем сотрудникам?

5. С целью размещения рекламы опрошено (400+10*k) телезрителей, из которых данную передачу смотрят (150+10*k) человек. С доверительной вероятностью γ=0,91 найти долю телезрителей, охваченных рекламой в лучшем случае.

6. Согласно рекламе автомобиль должен расходовать на 100 км пробега не более 8 л бензина. Проведено 10 испытаний, по результатам которых найден средний расход бензина =(10+0,1*k) л на 100 км, при среднеквадратическом отклонении S=(1+0,1*k) л на 100 км. Проверить справедливость рекламы при α=0,05.

7. Фирма утверждает, что контролирует 40% регионального рынка. Проверить справедливость этого утверждения при α=0,05, если услугами этой фирмы пользуются (100+10*k) человек из (300+10*k) опрошенных.

8. Для сравнения существующего технологического процесса с новым по себестоимости продукции было изготовлено nx=(5+k) изделий по существующей технологии и получена средняя себестоимость продукции =(13+k), Sx2=(1+k). Для нового технологического процесса после изготовления ny=(8+k) изделий получили =(9+k), Sy2=(2+k). Целесообразно ли при α=0,05 вводить новую технологию?

9. Из (200+10*k) задач по теории вероятностей студенты решили (110+10*k) задач, а из (300+20*k) задач по математической статистике они решили (140+30*k) задач. Можно ли при α=0,05 утверждать, что оба раздела усвоены одинаково?

10. Исследование 27 семей по среднедушевому доходу (Х) и сбережениям (Y) дало результаты: =(100-2*k) у.е., Sx=(40-k) у.е., =(30+k) у.е., Sy=(20+k) у.е., =(3700+k) (у.е.)2. При α=0,05 проверить наличие линейной связи между Х и Y.

Задача 1
Распределение случайной величины X – заработной платы сотрудников на фирме (в у.е.) – задано в виде интервального ряда:
X_min (a_i ) 300 350 400 450 500 550
X_max (b_i ) 350 400 450 500 550 600
Частота m_i 10 20 30 25 10 5
Найти: ¯X,S_x. Построить теоретическое нормальное распределение и сравнить его с эмпирическим с помощью критерия согласия Пирсона χ^2 при α=0,05.
Решение:
Составим расчетную таблицу. В качестве величины х возьмем середины интервалов.
x_i 325 375 425 475 525 575 Итого
m_i 10 20 30 25 10 5 100
x_i m_i 3250 7500 12750 11875 5250 2875 43500
x_i^2 m_i 1056250 2812500 5418750 5640625 2756250 1653125 19337500
Выборочная средняя:
¯x=(∑▒〖x_i m_i 〗)/(∑▒m_i )=43500/100=435
Средняя квадратов:
¯x^2=(∑▒〖x_i^2 m_i 〗)/(∑▒m_i )=19337500/100=193375
Исправленная выборочная диспер сия
s_x^2=(¯x^2-(¯x)^2 )⋅m/(m-1)=(193375-〖435〗^2 )⋅100/99=4191.919
Среднее квадратическое отклонение:
s_x=√4191.919=64.745
Вычислим теоретические частоты. Для этого пронормируем x, то есть перейдем к случайной величине z, которую можно вычислить по формуле:
z_i=(x_i-¯x)/s
Вероятность попадания в соответствующий интервал:
P_i=Φ(z_2i )-Φ(z_1i ), где Ф(z)- функция Лапласа
Теоретические частоты:
m^' =mP_i, где m -объем выборки
Составим расчетную таблицу:
Интервалы 300-350 350-400 400-450 450-500 500-550 550-600 Итого
z_1i -∞ -1.319 -0.543 0.233 1.009 1.785
z_2i -1.319 -0.543 0.233 1.009 1.785 +∞
Ф_1i -0.5 -0.406 -0.207 0.092 0.344 0.463
Ф_2i -0.406 -0.207 0.092 0.344 0.463 0.5
P_i 0.094 0.2 0.299 0.251 0.119 0.037 1
m_i^' 9.351 19.995 29.86 25.145 11.937 3.712 100
Проверим степень согласия эмпирического и теоретического распределения по критерию Пирсона:
№ интервала 300-350 350-400 400-450 450-500 500-550 550-600 Итого
m_i 10 20 30 25 10 5 100
m_i^' 9.351 19.995 29.86 25.145 11.937 3.712
(m_i-m_i^' )^2/(m_i^' ) 0.045 0 0.001 0.001 0.314 0.447 0.808
Из расчетной таблицыχ_набл^2=0,808
Уровень значимости α=0.05
Число степеней свободы ν= 3
По таблице критических точек распределения: χ_кр^2=7.815
χ_набл^2<χ_кр^2
Гипотеза о распределении случайной величины по выбранному закону не отвергается.

27-Φ-1.67=0,398+0,4525=0.8505Доля семей, чей среднедушевой доход находится в пределах от 1200 до 1800 составляет 0,8505 или 85,05%Ответ: 85,05%Задача 3Объем дневной выручки в 5 торговых точках (в тыс.руб.) составил: x1=14, x2=19, x3=24,x4=21,x5 . Учитывая, что X=20, найти выборочную дисперсию S2.Решение:Средняя:X=xin=14+19+24+21+x55=20 ⟹x5=22Выборочная дисперсия:S2=xi-x2n-1=14-202+19-202+24-202+21-202+22-2025=11.6Ответ: S2=11.6Задача 4По данным 17 сотрудников фирмы, где работает 240 человек, среднемесячная заработная плата составила 340 у.е., при S=74 у.е. Какая минимальная сумма должна быть на счету фирмы, чтобы с вероятностью γ=0,98 гарантировать выдачу заработной платы всем сотрудникам?Решение:Предельная ошибка выборочной средней:Δx=ts2n1-nN=2,33⋅74217⋅1-17240=40.3 у.е.p=0.98 ⟹t=2.33Среднемесячная заработная плата будет находиться в границах:x±Δx=340±40.3 у.е.Чтобы гарантировать с вероятностью 0,98 выдачу заработной платы всем сотрудникам, на счету должно быть 340+40,3=380.3 у.е.Ответ: 380,3 у.е.Задача 5С целью размещения рекламы опрошено 440 телезрителей, из которых данную передачу смотрят 190 человек. С доверительной вероятностью γ=0,91 найти долю телезрителей, охваченных рекламой в лучшем случае.Решение:Доля зрителей, смотрящих передачу:ω=mn=190440=0.4318Предельная ошибка выборочной доли:Δω=tω1-ωn=1.69⋅0.4318⋅1-0.4318440=0.04γ=0.91 ⟹t=1,69Выборочная доля находится в пределах ω±Δω=0,4318±0,04Следовательно доля зрителей, охваченных рекламой в лучшем случае:0,4318+0,04=0.4718=47,18%Ответ: 47,18%.Задача 6Согласно рекламе автомобиль должен расходовать на 100 км пробега не более 8 л бензина. Проведено 10 испытаний, по результатам которых найден средний расход бензина X=10.4 л на 100 км., при среднеквадратическом отклонении S=1.4 л на 100 км. Проверить справедливость рекламы при α=0,05.Решение:Для того, чтобы при заданном уровне значимости α проверить нулевую гипотезу H0:a=a0 о равенстве неизвестной генеральной средней a гипотетическому значению a0 при конкурирующей гипотезе H1:a≠a0, необходимо вычислить наблюдаемое значение критерия:Tнабл=x-a0nsTнабл=10,4-8⋅101,4=5.421По уровню значимости α=0.05 и числу степеней свободы k=10-1=9 находим критическую точку двухсторонней критической области:tкр=2,26Tнабл&gt;tкр - принимаем нулевую гипотезу – с уровнем значимости α=0,05 реклама справедлива.Задача 7Фирма утверждает, что контролирует 40% регионального рынка. Проверить справедливость этого утверждения при α=0,05, если услугами этой фирмы пользуются 140 человек из 340 опрошенных.Решение:Необходимо при заданном уровне значимости α проверить нулевую гипотезу H0: p=p0=40% о равенстве неизвестной вероятности p гипотетической вероятности p0=40% при конкурирующей гипотезе H1: p≠p0.Вычисляем наблюдаемое значение критерия:Uнабл=mn-p0np0q0=140340-0.4⋅3400.4⋅1-0.4=0.