Контрольная работа по высшей математике

Контрольная работа по высшей математике. Действия с матрицами, вычисление определителей, решение систем линейных уравнений, нахождение пределов, производных функций, исследование функций, нахождение частных производных, градиентов, наибольшего и наименьшего значений функции, вычисление неопределенных интегралов, нахождение площади фигуры, ограниченной графиками. ...

Действия с матрицами, вычисление определителей, решение систем линейных уравнений, нахождение пределов, производных функций, исследование функций, нахождение частных производных, градиентов, наибольшего и наименьшего значений функции, вычисление неопределенных интегралов, нахождение площади фигуры, ограниченной графиками.

Работа может служить как пособие по рассчету заданий по высшей математике для студентов 1-2 курсов, так и как готовая работа.

2.1. Найти производные функций: при m = 4; n = 2а) y'= 13x3+5x4+86’ = 6·13x3+5x4+85·13x3+5x4+8'= = 6·13x3+5x4+85·13∙3x2+4515x= 6·13x3+5x4+85·x2+4515xОтвет: y' = 6·13x3+5x4+85·x2+4515xб) y'=34x2'=34x2·ln3· 4x2'= 34x2·ln3· 4·x-2'= 34x2·ln3· 4·-21x3= -8x3·ln3·34x2Ответ: y'= -8x3 ln3·34x22.3.1. С помощью методов дифференциального исчисления исследовать функцию и построить ее график по характерным точкам.Решение: y= (x-4)3(x-4)2-4Область определения функции (x-4)2-4 ≠ 0, то есть x-4-2 ≠ 0 и x-4+2 ≠ 0x≠ 6 и x ≠ 2 – вертикальные асимптоты. D(y) = (−∞;2)∪(2;6)∪(6;+∞) . Точки разрыва x =2 и x = 6.2) Точки пересечения с осями координат:Ox : y= (x-4)3(x-4)2-4=0; x=4, точка (4;0)Oy : x = 0 , ⇒ y = -513 , точка (0;-513).Функция ни четная, ни нечетная, так какy-x= -x+434-x2-4≠y(x)График несимметричен.Экстремумы и монотонность. Вычисляем первую производную:y'=3x-42((x-4)2-4)-2x-4x-43((x-4)2-4)2==3x-42x-42-4-2x-44x-22x-62=x-423((x-4)2-4)-2x-42x-22x-62=x-42(x-42-12)((x-4)2-4)2= x-42(x2-8x+4)((x-4)2-4)2Критические точки: x=4-23 ≈0,54, x=4+23≈7,46, x=4. Исследуем знак производной на интервалах, на которые критическая точка делит область определения функции.18808701584452670912166091116520016695569700119603700y’ + - - +28991057556521531837556514436097556588033975565y 0,54 4 7,46 Функция возрастает на интервалах (-∞;0,54), (7,46; +∞)Функция убывает на интервалах (0,54; 4), (4; 7,46)Функция имеет минимум при x =0,54y(0,54) ≈ -5,19Функция имеет максимум при x = 7,64y(7,64) ≈ 5,21Выпуклость и точки перегиба. Вычисляем вторую производную:y''==2x-4(((x-4)2-4)2x2-8x+x-42+4-2x-42((x-4)2-4)(x2-8x+4))((x-4)2-4)4Приравняв к нулю, видим, что в точке (4;0) функция меняет своё поведение с выпуклой вверх на выпуклую вниз.Найдём наклонную асимптоту:y = kx+bk=limx→∞yx=limx→∞(x-4)3x((x-4)2-4)=limx→∞x3-12x2+48x-64x3-8x2+16x-4=1b=limx→∞y-kx=limx→∞x3-12x2+48x-64-(x3-8x2+16x-4)x-42-4==limx→∞-4x2+32x-60x2-8x+12=-4Наклонная асимптота: y = x-4Строим график функции:3.1.1. Найти частные производные следующих функций:а) ; при m = 4; n = 2Решение: z=(x-4)2∙y2+x4∙y+23+8∂z∂x=2x-4∙y2+4x3∙y+23∂z∂y=2x-42∙y+3x4∙y+22∂2z∂x∂y=4x-4∙y+12x3∙y+22б).Решение: z=ex-4y-2∂z∂x=x-4y-2'∙ex-4y-2=ex-4y-2y-2∂z∂y=x-4y-2'∙ex-4y-2=-x-4y-22∙ex-4y-2∂2z∂x∂y=-1y-22∙ex-4y-24.2.1. Для функции в точке найти градиент и производную по направлению .Решение:Функция: z=ln(4x2+2y2) в точке А(-2;4) по направлению Для решения задачи воспользуемся формулой для нахождения производной от функции в заданной точке  по направлению вектора.