Контрольная работа по высшей математике (алгебра и аналитическая геометрия)

Задание I.
Найти матрицу обратную для матрицы
Задание II.
Исследовать систему линейных неоднородных уравнений
Задание III.
Даны координаты трёх точек
а) Найти площадь, треугольника АВС
б) С помощью скалярного произведения доказать, что вектор, равный векторному произведению перпендикулярен векторам (AB) ⃗ и (AC) ⃗.
определить компланарность векторов l ⃗(2,3,1),m ⃗(-1,0,-1),n ⃗(2,2,2).
Задание IV.
1. Заданы прямая l:2y+1=0 и точка M(1,0).
а) Определить расстояние от точки до прямой.
б) Прямая, перпендикулярная l и проходящая через точку M
в) Прямая, параллельная l и проходящая через точку M
2. Найти косинус угла между прямыми и точку пересечения прямых L_1 и L_2.
Задание V
Найти уравнение плоскости, проходящей через точки M_1 (2,1,0) и M_2 (1,1,2), параллельно вектору a ⃗{1,2,3}. ...

Задание I.
Найти матрицу обратную для матрицы
Задание II.
Исследовать систему линейных неоднородных уравнений
Задание III.
Даны координаты трёх точек
а) Найти площадь, треугольника АВС
б) С помощью скалярного произведения доказать, что вектор, равный векторному произведению перпендикулярен векторам (AB) ⃗ и (AC) ⃗.
определить компланарность векторов l ⃗(2,3,1),m ⃗(-1,0,-1),n ⃗(2,2,2).
Задание IV.
1. Заданы прямая l:2y+1=0 и точка M(1,0).
а) Определить расстояние от точки до прямой.
б) Прямая, перпендикулярная l и проходящая через точку M
в) Прямая, параллельная l и проходящая через точку M
2. Найти косинус угла между прямыми и точку пересечения прямых L_1 и L_2.
Задание V
Найти уравнение плоскости, проходящей через точки M_1 (2,1,0) и M_2 (1,1,2), параллельно вектору a ⃗{1,2,3}.
б) Найти косинус угла между плоскостями P_1:x+2y-3z+2=0 и P_2: -2x+y-2z=0

Элементы матрицы, обратной исходной матрице равны величинам соответствующих алгебраических дополнений, умноженных на величину, обратную величине определителя исходной матрицы.
Найдём значение определителя
................................................
Далее найдём значения алгебраических дополнений
.........................................
Таким образом,

Произведение исходной матрицы на обратную должно быть равно единичной матрице. Элементы матрицы, полученной от произведения двух матриц равны сумме произведений элементов соответствующей строки первой матрицы на элементы соответствующего столбца второй матрицы.
Найдём произведение
......................................
Таким образом, обратная матрица найдена правильно.
Задание II.1
Исследовать систему линейных неоднородных урав нений
.................................
Составим матрицу однородной системы и найдём её ранг.
~ .
Составим расширенную матрицу системы и найдём её ранг.
~
Таким образом, мы видим, что , следовательно, система уравнений имеет решение, причём две переменные нужно будет принять за свободные.
Система имеет меньшее по сравнению с количеством переменных число уравнений, матрица коэффициентов не является квадратной. Поэтому методы Крамера и обратной матрицы для нахождения решения данной системы уравнений неприменимы.
Данную систему уравнений можно решить, используя метод Гаусса.
~
Пусть переменные - свободные, тогда
.
Задание III.
....................................................

Данную систему уравнений можно решить, используя метод Гаусса. ~Пусть переменные - свободные, тогда .Задание III.Даны координаты трёх точек а) Найти площадь, треугольника АВССтороны АВ и ВС равны длинам сторон векторов AB-12,0,-9 и BC3,0,-3, AC(-9,0,-12). AB=122+92=15,BC=32+32=18, AC=122+92=15.cos∠ABC=cosAB,BC=-12∙3+0+-9∙-315∙18=-3518,AB,BC=arccos-3518,SΔABC=12∙15∙18∙sinarccos-3518.б) С помощью скалярного произведения доказать, что вектор, равный векторному произведению перпендикулярен векторам AB и AC.Найдём векторное произведениеAB,AC=0-90-12,-9-12-12-9,-120-90=0,-63,0. Легко увидеть, что скалярное произведение полученного вектора с AB и AC равно нулю: AB∙AB,AC=-12∙0+0+-9∙0152=0 и AC∙AB,AC=-9∙0+0+-12∙0152=0.в) определить компланарность векторов l2,3,1,m-1,0,-1,n2,2,2. Векторы компланарны, если их смешанное произведение равно нулю.Найдём lmn=231-10-1222=13100-1022=0-122=2>0.Таким образом, векторы не компланарны и образуют правую тройку, так как смешанное произведение больше нуля. Задание IV.1. Заданы прямая l:2y+1=0 и точка M1,0.а) Определить расстояние от точки до прямой.Мы видим, что прямая l параллельна оси Ox, точка M лежит на этой оси, следовательно, прямая проходящая через точку M и перпендикулярная l будет параллельна оси Oy. Очевидно, что точка пересечения этих прямых будет иметь координаты 1,-1/2.Расстояние от точкиM до прямой будет равно расстоянию между точкой M и точкой пересечения ρl,M=(1-1)2+(0+12)2=12.