«Геометрии Галилея и Минковского как описания пространства-времени». Факультатив для старших школьников

Введение 3
1. Геометрические представления Галилея 5
2. Геометрия Минковского как описание пространства – времени 9
2.1. Основные понятия описания пространства-времени 12
2.1.1. Геометрические векторы и линейные операции над ними 12
2.1.2. Псевдоевклидова плоскость 14
2.1.3. Линейные пространства комплексных чисел 27
2.2. Геометрия четырехмерного мира Минковского 28
2.2.1. Основные характеристики специальной теории относительности и геометрии Минковского 28
2.2.2. Одновременность относительная и абсолютная 33
2.2.3. Трехмерное псевдоевклидово пространство 46
2.2.4. Четырехмерный мир Минковского. Гиперплоскости 54
Заключение 66
Литература 68

...

Введение 3
1. Геометрические представления Галилея 5
2. Геометрия Минковского как описание пространства – времени 9
2.1. Основные понятия описания пространства-времени 12
2.1.1. Геометрические векторы и линейные операции над ними 12
2.1.2. Псевдоевклидова плоскость 14
2.1.3. Линейные пространства комплексных чисел 27
2.2. Геометрия четырехмерного мира Минковского 28
2.2.1. Основные характеристики специальной теории относительности и геометрии Минковского 28
2.2.2. Одновременность относительная и абсолютная 33
2.2.3. Трехмерное псевдоевклидово пространство 46
2.2.4. Четырехмерный мир Минковского. Гиперплоскости 54
Заключение 66
Литература 68

В материалистической картине мира понятие пространства возникло на основе наблюдения и практического использования объектов, их объема и протяженности.
Понятие времени возникло на основе восприятия человеком смены событии, последовательной смены состояний предметов и круговорота различных процессов.
Естественнонаучные представления о пространстве и времени прошли длинный путь становления и развития. Самые первые из них возникли из очевидного существования в при¬роде и в первую очередь в макромире твердых физических тел, занимающих определенный объем. Здесь основными были обыденные представления о пространстве и времени как о ка¬ких-то внешних условиях бытия, в которые помещена материя и которые сохранились бы, если бы даже материя исчезла. Такой взгляд позволил сформулировать концепцию абс олютного пространства и времени, получившую свою наиболее отчетливую формулировку в работе И. Ньютона «Математические начала натуральной философии» Этот труд более чем на два столетия определил развитие всей естественнонаучной картины мира. В нем были сформулированы основные законы движения и дано определение пространства, времени, места и движения.
Современное понимание пространства и времени было сформулировано в теории относительности А.Эйнштейна, по-новому интерпретировавшей реляционную концепцию пространства и времени и давшей ей естественнонаучное обоснование. Исходным пунктом этой теории стал принцип относительности, классический принцип относительности был сформулирован еще Г. Галилеем.
80 лет назад Герман Минковский предложил геомет¬рическую интер-претацию специальной теории относитель¬ности. В наши дни знакомство с теорией относительно¬сти стало необходимым элементом общего образова-ния, однако преподавание и понимание этой теории до сих пор затруднено тем, что ее математическое описание нахо¬дится в противоречии с теми представлениями о про¬странстве и времени, которые базируются непосредствен¬но на чувственных восприятиях и закрепляются в процессе изучения классической физики. Геометрия мира Минковского остается для неспециалистов труднодоступ¬ной абстракцией. Между тем к математическим знаниям, даваемым теперь средней школой и первым курсом вуза, надо добавить не много, чтобы развить представление о псевдоевклидовом пространстве. Прежде всего, требуется понятие абстрактного линей¬ного пространства и его разновидности — евклидова про¬странства, умение различать линейные и метрические свойства пространства. Эти понятия являются исходными для построения геометрической теории. Без достаточно свободного владения ими и свя-занным с ними алгебраи¬ческим аппаратом нельзя преодолеть привязан-ность к привычной наглядности образов и проникнуть в мир форм, скрытых от непосредственного зрительного воспри¬ятия.

Мировой проявляющий процесс есть явление качественно иное, чем явление дви­жения материальных точек. К мировому проявляющему процессу понятие скорости неприменимо, он сам порож­дает явление материальных точек и скорости материаль­ных точек. С явлением движения материальных точек сходно по своей геометрической природе явление распро­странения светового сигнала. Там и здесь речь идет о восприятии физических объектов, имеющих форму ли­ний, мировых или изотропных. Поэтому коэффициент с приобретает смысл скорости, если он фигурирует в опи­сании явления распространения света.
Как из классических представлений о мире, так и из модели мира, выдвинутой Минковским, следует, что зри­тельное восприятие в принципе способно открывать нам только прошлые картины мира. В обыденной жизни мы этого не замечаем благодаря громадности (по земным масштабам) значения скорости света. Нам кажется, что все доступные взору тела переживают свой настоящий момент времени одновременно с нами. В действительно­сти же требуется определенный и даже технически изме­римый промежуток времени для распространения свето­вого сигнала на расстояние в несколько метров или сан­тиметров. Если буквы этого текста находятся на расстоя­нии 30 см от глаз читателя, то читатель видит текст та­ким, каким он был миллиардную долю секунды тому назад:
Современная техника позволяет измерять промежутки времени в сто раз более короткие. А если пользоваться единицей времени, которая применяется в ядерной физи­ке (), то в таком масштабе текст читаемой книги виден «из далекого прошлого», отделенного от настоящего момента читателя миллионом миллиардов единиц ядерного времени. Эта иллюстрация с изменением масштаба призвана подчеркнуть, что в принципе мы всег­да видим только прошлое, сколь бы близким оно ни было.
Глубокое философское различие между классической Картиной мира и картиной мира в понимании Минковского заключается в том, как решается вопрос о существовании прошлого. Если мировое пространство совпадает с чувственно воспринимаемым, то в нем найдется место только для событий настоящего момента времени. Лишь таких событиях мы привыкли говорить как о реально существующих. Прошлые события мы считаем несуществующими, даже если тела, участвовавшие в них, нахо­дятся у нас перед глазами. Когда же и тела не сохранились, несуществование прошлого представляется нам совсем бесспорным. Оно было, но его уже нет. Принимая классическую модель мира, мы пользуемся, так сказать, «трехмерным критерием бытия», согласно которому существует только настоящее, а прошлое, как и будущее, не существует, ибо ему нет места в мировом пространст­ве. Но видим-то мы всегда только прошлое! Стало быть, видим то, чего в мире нет? Разрешение этого парадокса возлагалось классической физикой на мировой эфир — среду, в которой распространяются электромагнитные колебания. Прошлые состояния тел не существуют, но образы их, запечатленные в возбужденных ими электро­магнитных колебаниях, бережно сохраняются в мировом эфире и способны достигать наблюдателя даже через годы и миллиарды лет. Так «свет умерших звезд доходит». Поиски этой загадочной среды, которая присутствует всюду, оставаясь неощутимой, привели физику к те­ории относительности.
В мире Минковского есть место и для настоящих, и для прошлых состояний материальных объектов. В нем прошлое существует, но не в смысле «трехмерного кри­терия бытия», не в «настоящий момент времени», а в смысле «четырехмерного критерия бытия»: существует то, что имеет место, проявлено, материализовано в псев­доевклидовом мировом пространстве. Зрительные вос­приятия раскрывают нам то, что в мире действительно имеется, но раскрывают не все, а лишь то, что находит­ся на изотропных линиях, проходящих через нашу миро­вую точку. На таких изотропных линиях нет ни одной прошлой мировой точки нашей собственной мировой ли­нии, и потому мы не видим своих прошлых состояний. На изотропных линиях, проходящих через нас, нет и то­чек соседних мировых линий, которые имеют одинако­вую с нами координату времени в какой-либо координат­ной системе, и потому мы не можем видеть одновремен­ные нам состояния других материальных точек.
До сих пор мы обращали взгляд вдоль изотропных только в прошлое. Но через мировую точку О наблюда­теля проходит, кроме изотропной ОР, изо­тропная OF, пересекающая в точке F продолжение ми­ровой прямой РА звезды. Ордината точки F соответству­ет более позднему моменту времени по часам наблюда­теля, чем его настоящий момент в точке О. Не значит ли это, что можно увидеть будущее состояние звезды? Необходимое для этого геометрическое условие выполне­но: длина отрезка OF изотропной равна нулю. Но ни наш повседневный опыт, ни научные эксперименты не дают свидетельств того, чтобы электромагнитное воздей­ствие могло приносить информацию о будущем. Этим подтверждается представление о проявляющем процессе, совершающемся в мире. Можно воспринимать по изо­тропным воздействие от тех точек мировых линий, кото­рые уже проявлены, реализованы, сформированы. Но в тех областях псевдоевклидова пространства, до которых еще не дошел мировой проявляющий процесс, видеть не­чего, ибо там не сформировались мировые точки — ис­точники электромагнитного воздействия.
2.2.2. Одновременность относительная и абсолютная
Понятие одновременности не допускало различных толкований в классической физике: если отсчет времени не зависит от выбора пространственной системы координат, то события, совершающиеся в один и тот же момент времени в какой-либо координатной системе, являются одновременными и во всякой другой системе. Одновременность, таким образом, выступала в качестве абсолютной характеристики событий, не зависящей от выбора системы координат.
В теории относительности понятие одновременности перестает быть однозначным, и модель мира Минковского дает этому простое объяснение. Инерциальным систе­мам координат ОХ и О'Х' в одномерном чувственно вос­принимаемом пространстве, движущимся относительно друг друга, соответствуют в псевдоевклидовой плоскости мирового пространства ортонормированные системы ко­ординат OXY и О'Х'У' с различными направлениями осей OY и O'Y'. Удобно рассматривать системы, имеющие общее начало координат О. В каждой ортонормированной системе координат на псевдоевклидовой плоскости линия одновременности (прямая, на которой все точки имеют одинаковое значение ординаты у = ct) перпендикулярна к оси ординат. На рис. 3 изображены три такие системы: OXY, OX'Y', OX"Y". На осях ординат этих систем вы­берем три точки А, В, С, имеющие одно и то же значение ординаты в системе OXY, т. е. одновременные в нештрихованной координатной системе. Эти же точки имеют уже не одинаковые, а различные значения орди­наты в штрихованной координатной системе OX'Y'.
Рис. 3.
Про­ведем через точки А, В, С линии одновременности систе­мы OX'Y': у' = у'В, АА', СС'. Пересечения их с осью OY' указывают значения ординаты у' событий А, В, С в штрихованной координатной системе и последователь­ность событий во времени с точки зрения этой системы: В → А → С. В дважды штрихованной системе координат OX"Y" линии одновременности у" = y"C, АА", ВВ" по­казывают, что события А, В, С сменяют друг друга в иной последовательности, а именно: С → А → В.
Для наблюдателя, связанного с мировой прямой OY', цепочка событий В → А → С обозначает переход от прошлого к будущему (возрастание ординаты y'), а для наблю­дателя, связанного с мировой прямой OY", та же после­довательность событий В → А → С обозначает переход от будущего к прошлому (убывание ординаты у"). Нельзя пройти мимо этого явления, но следует тут же оговорить­ся, что оно не столь парадоксально, как кажется на пер­вый взгляд. И нет достаточных оснований для того вы­вода, что изменение системы координат способно обра­тить ход времени вспять.
Теория относительности не отрицает абсолютного раз­личия между прошлым и будущим, а напротив, форму­лирует четкие условия возможности такого различения, которые просто и наглядно интерпретируются в модели мира Минковского. Для того чтобы две мировые точки А и В могли быть одновременными в какой-либо ортонормированной системе координат OXY псевдоевклидовой плоскости, они должны лежать на перпендикуляре к оси ординат этой системы. И поскольку ось OY принадлежит мнимым секторам, прямая, соединяющая точки А и В, должна принадлежать вещественным секторам. Любая ось OY может быть повернута как в положительную, так и в отрицательную сторону, поскольку угол между лю­бым неизотропным вектором верхнего сектора и каждой изотропной прямой, ограничивающей сектор, бесконечно велик. Поэтому всегда найдутся такие координатные си­стемы OX'Y' и OX"Y", у которых оси ОY' и OY" расположены по разные стороны от оси OY. Если вектор имеет отрицательную проекцию на ось OY' (как на рис. 3), то мировая точка В является более ранней в си­стеме OX'Y', чем точка А. При этом проекция вектора на ось OY", отклоненную в другую сторону от OY, окажется положительной, и мировая точка В будет более поздней в системе OX"Y", чем точка А. Зависимость по­рядка следования событий от выбора координатной си­стемы возможна лишь для таких мировых точек А и В, расстояние между которыми выражается вещественным числом (вектор принадлежит вещественному сектору).
Если же мировые точки Р и F таковы, что расстояние между ними выражается мнимым числом (вектор принадлежит мнимому сектору) или равно нулю (точки лежат на одной изотропной прямой), то вектор не мо­жет быть перпендикулярным к какой-либо прямой мни­мого сектора. Следовательно, не существует такой систе­мы координат OXY, в которой мировые точки Р и F могли бы быть одновременными. Пусть в какой-нибудь координатной системе точка Р является более ранней, чем точка F (вектор принадлежит верхнему сектору или одной из ограничивающих его изотропных прямых). Тог­да проекция вектора на любое неизотропное направ­ление верхнего сектора будет положительной и, значит, в любой координатной системе событие F будет более поздним, чем событие Р. Другими словами, для мировых точек Р и F, определяющих вектор мнимого сектора или изотропный вектор, инверсия времени (обращение вспять последовательности событий) невозможна ни при ка­ком изменении системы координат, так что событие F является абсолютно будущим по отношению к со­бытию Р.
На рис. 3 все точки верхнего сектора, исходящего из точки О, включая ограничивающие его изотропные прямые у = х и у = -х, находятся в области абсолютно­го будущего по отношению к точке О, а все точки ниж­него сектора вместе с ограничивающими его изотропны­ми прямыми — в области абсолютного прошлого. Из каж­дой точки псевдоевклидовой плоскости исходят два сек­тора: сектор абсолютного прошлого и сектор абсолютного будущего. Как отмечено выше, вектор, касательный к любой мировой линии в любой ее точке и направленный в сторону роста мировой линии, принадлежит верхнему сектору. Поэтому какую бы точку на мировой линии мы ни выбрали, вся мировая линия не выйдет за пределы мнимых секторов, имеющих вершину в выбранной точке. А это значит, что на любой мировой линии различие между прошедшим и будущим не может зависеть от выбора координатной си­стемы и в этом смысле абсолютно. Для точек любой изо­тропной прямой различие между прошедшим и будущим тоже абсолютно.
Если в мире Минковского совершается процесс прояв­ления, то существуют два типа отношений одновремен­ности и разновременности, основанные на двух разных критериях. Согласно одному критерию порядок следова­ния событий во времени определяется проекциями соот­ветствующих мировых точек на ось ординат. Этот крите­рий можно назвать координатно-геометрическим. Им мы и пользовались до сих пор. Согласно другому критерию порядок следования событий во времени определяется очередностью проявления соответствующих мировых точек. Оба критерия приводят к одинаковому результату, когда речь идет о мировых точках одной и той же миро­вой линии. Вывод об инвариантности различия между прошедшим и будущим на одной мировой линии, полу­ченный на основе координатно-геометрического критерия, прекрасно согласуется с понятием мирового проявляюще­го процесса. Если прошлые участки мировой линии пред­ставляют уже сформировавшийся, проявленный матери­альный объект, а в будущем такого объекта нет, посколь­ку процесс проявления туда еще не дошел, то это физи­ческое различие между прошлым и будущим тоже не за­висит от выбора координатной системы.
Согласие обоих критериев может нарушиться, когда речь идет о точках, не лежащих на одной мировой ли­нии. На рис. 3 точки Р и F лежат на изотропных пря­мых у = -х и у = х, пересекающихся в точке О. Поэто­му точка Р и все точки, расположенные ниже нее на прямой PF, являются абсолютно прошлыми по отноше­нию к точке О. Точка F и все точки, расположенные вы­ше нее на прямой PF, являются абсолютно будущими по отношению к точке О. Но любая внутренняя точка от­резка PF удалена от мировой точки О на расстояние, вы­ражаемое вещественным числом. Поэтому для каждой внутренней точки отрезка PF найдется такая система координат, в которой эта точка одновременна точке О, и найдутся такие системы координат, в которых эта точка является либо более ранней, либо более поздней, чем точ­ка О. Например, в координатной системе OXY мировой точке О одновременна точка N на прямой PF. В коорди­натной системе OX'Y' точке О одновременна точка Т на прямой PF, а точка N является будущей. В коорди­натной системе OX" Y" точке О одновременна точка S на прямой PF, а точка N является прошлой. Это знако­мая нам относительность одновременности, базирующаяся на координатно-геометрическом критерии. Другой же критерий, основанный на представлении о проявляющем процессе, не допускает такой многозначности временных отношений. По этому критерию независимо от выбора ко­ординатной системы возможно лишь одно из трех отно­шений: 1) мировая точка N проявляется вместе с точ­кой О; 2) точка N проявлена прежде точки О; 3) точка N проявится после точки О.
Каждый наблюдатель, несомненно, ощущает реаль­ность границы между своим проявленным прошлым и не­проявленным будущим. В любое мгновение своей жизни он переживает акт проявления и справедливо убежден, что в таком же положении находятся все другие наблю­датели и неодушевленные предметы. Какая же точка ми­ровой линии PF проходит акт проявления вместе с точ­кой О? Здесь мы заменяем словом «вместе» слово «одно­временно», поскольку стало уже привычным понимать одновременность в смысле координатного критерия. Если есть такие состояния мира, в которых существуют (про­явлены) обе мировые точки О и N, и есть такие состоя­ния мира, в которых не существует ни одна из них, но нет таких состояний, в которых одна из этих точек суще­ствовала бы, а другая не существовала, то мы скажем, что точки О и N проходят акт проявления вместе. Точки, проявляющиеся вместе, заслуживают названия абсолют­но одновременных.
Координатно-геометрический критерий не допускает абсолютной одновременности. Поскольку все инерциальные системы координат в чувственно воспринимаемом пространстве равноправны и равноправны соответствую­щие им ортонормированные системы координат в псевдо­евклидовом мировом пространстве, суждение об одновре­менности и разновременности мировых точек с позиций одной координатной системы столь же справедливо, как суждение с позиций любой другой системы, хотя бы эти суждения и противоречили друг другу. Раз не существует привилегированной (абсолютной) системы координат, то не может быть и абсолютной одновременности.
Но мы основываем понятие абсолютной одновремен­ности не на координатно-геометрическом критерии и по­тому не вступаем в логическое противоречие с ним. Боль­ше того, это понятие не вступает в противоречие и с экс­периментальными основаниями теории относительности, поскольку экспериментирование с механическими и элек­тромагнитными явлениями не позволяет обнаружить аб­солютную одновременность. Предположим, что состояние наблюдателя, связанного с мировой прямой OF на рис. 3, изображается мировой точкой А. Наблюдатель знает, что он находится на границе между проявленным и непрояв­ленным и переживает в свой настоящий момент времени акт проявления. Но восприятию наблюдателя в этот мо­мент недоступна мировая точка В на прямой OF', и по­тому он не может знать, проявляется ли она вместе с А, была ли проявлена раньше или будет проявлена позже. Мировая точка В окажется доступной восприятию наблю­дателя, когда он будет перенесен ходом проявляющего процесса вдоль своей прямой в точку М, лежащую на одной изотропной прямой с точкой В. Но это уже не поможет решению интересующего его вопроса. Факт наблю­даемости точки В из точки М будет говорить лишь о том, что точка В проявлена раньше точки М, и ничего не ска­жет о соотношении моментов проявления точек В и А. Между тем вполне возможны физические эксперимен­ты, позволяющие наблюдателю, связанному с мировой прямой OF, измерить координаты точки В в его коорди­натной системе OXY. Предположим, что в мировой точ­ке О, где встречаются мировые прямые OY и OF', наблю­датель из OF произвел установку некоторого отражающе­го устройства на материальной точке, соответствующей мировой прямой OY'. В последующие моменты времени наблюдатель организует излучение фотонов из мировых точек своей прямой OF таким образом, чтобы в каждом фотоне (серии фотонов) содержалась информация о том, в какой момент времени по часам наблюдателя произо­шло излучение. Спустя некоторое время наблюдатель на прямой OF начнет принимать отражения своих сигналов с прямой OF' и отмечать моменты приема сигналов. Рас­полагая такими экспериментальными данными, наблюда­тель будет рассуждать следующим образом. Если в его мировой точке М принято отражение сигнала, который был испущен t секунд тому назад, то это значит, что сиг­нал был послан из мировой точки L, отделенной от точ­ки М отрезком длиной . Отсюда можно найти ординату точки L.
.
За время t световой сигнал прошел вдоль оси ОХ туда и назад расстояние
определяющее абсциссу мировой точки В, отразившей сигнал. Ордината точки В равна
На мировой прямой OY такую же ординату имеет точка А:
.
Откуда наблюдатель делает справедливое заключение, что его координатной системе мировая точка В одновременна точке А. Однако, как показано выше, ото ничего не говорит о том, проявлена ли точка В раньше, позже или одновременно с точкой А. Может возникнуть вопрос: а стоит ли вообще гово­рить об абсолютной одновременности, если она экспери­ментально не обнаруживается? Не следует ли отбросить это понятие как излишнее и признать, что никакой иной одновременности, кроме относительной, в природе нет? В действительности такая точка зрения не столь безуп­речна, как кажется с первого взгляда. Уже выяснена несостоятельность того представления, что прошлое и бу­дущее в равной мере не существуют, а существует лишь настоящее. Его придерживалась классическая физика, но оно противоречит относительности одновременности. При­знание же прошлого и будущего существующими наряду с настоящим было бы еще худшей крайностью.