Матрицы и векторы.

Контрольная работа включает 6 заданий. Выполнена на оценку отлично. ...

Задание №1.
Вычислить определители второго, третьего и четвертого порядков:
Задание №2
Найти собственные значения матрицы А и ранг матрицы В
Задание №3
Вычислить выражение:
А+В-С, если А=(-2 1 3); В= (0 -5 -1); С= (1 -1 2)
Задание №4
Решить систему линейных уравнений тремя способами: а) методом обратной матрицы; б) по формулам Крамера; в) методом Гаусса.
Задание №5
Даны вершины треугольника А , В , С . Найти а) длину стороны АВ; б) уравнение высоты, проведенной через вершину С; в) длину стороны, опущенной из вершины С; г) координаты точки пересечения медиан. Сделать чертеж.
Задание № 6
Даны векторы , ,
1) выяснить, являются ли они линейно независимыми.
2) найти: а) векторы = 2 и d= - ; б) длины векторов и ; в) скалярное произведение векторов ( , ) ; г) угол между векторами и .
(5; 1; 2) ( 3; 4; -1) (-4; 2; 1

Задание №1.
Вычислить определители второго, третьего и четвертого порядков:
Задание №2
Найти собственные значения матрицы А и ранг матрицы В
Задание №3
Вычислить выражение:
А+В-С, если А=(-2 1 3); В= (0 -5 -1); С= (1 -1 2)
Задание №4
Решить систему линейных уравнений тремя способами: а) методом обратной матрицы; б) по формулам Крамера; в) методом Гаусса.
Задание №5
Даны вершины треугольника А , В , С . Найти а) длину стороны АВ; б) уравнение высоты, проведенной через вершину С; в) длину стороны, опущенной из вершины С; г) координаты точки пересечения медиан. Сделать чертеж.
Задание № 6
Даны векторы , ,
1) выяснить, являются ли они линейно независимыми.
2) найти: а) векторы = 2 и d= - ; б) длины векторов и ; в) скалярное произведени е векторов ( , ) ; г) угол между векторами и .
(5; 1; 2) ( 3; 4; -1) (-4; 2; 1)

Найдем обратную матрицу:
1)
2) Алгебраические дополнения:
А11=14
А12=5
А13=-13
А21=-10
А22=-4
А23=8
А31=-2
А32=1
А33=1
Отсюда,
б) Решим систему методом Крамера.
Вычислим главный определитель:
Вычислим дополнительные определители:
Тогда,
в) Решим систему методом Гаусса:
Запишем расширенную матрицу:
Разделим первую строку на 2:
Вычтем из строки 2 строку 1 умноженную на 3:
Вычтем из строки 3 строку 1 умноженную на 2:
Разделим вторую строку на 0.5:
Вычтем из строки 3 строку 2 умноженную на =-4:
Разделим строку 3 на -6
Матрица приведена к треугольному виду.
В результате данных преобразований получена эквивалентная исходной система линейных уравнений:
Таким образом:
Задание №5
Даны вершины треугольника А , В, С. Найти а) длину стороны АВ; б) уравнение высоты, проведенной через вершину С; в) длину стороны, опущенной из вершины С; г) координаты точки пересечения медиан. Сделать чертеж.
А(-1;-1) В(5;2) C(2;3)
Решение:
а) Вычислим длину стороны АВ по формуле:
б) Найдем уравнение прямой АВ.
Воспользуемся формулой:
Подставим в формулу координаты точек:
Следовательно, угловой коэффициент k=1/2
Тогда угловой коэффициент перпендикулярной прямой найдем из соотношения:
Угловой коэффициент прямой АН:
k=-2
Отсюда уравнение прямой:
в) Найдем длину АН.