Контрольная работа по дисциплине: «Эконометрика» на тему №8

Задача 1. Эконометрическое моделирование стоимости квартир
в Московской области

Строительная фирма занимается реализацией квартир в строящихся домах городов Подольск и Люберцы Московской области. Для выработки управленческих решений компании необходимо осуществить эконометрическое моделирование стоимости квартир на основании исходных данных, представленных в таблице.

№ Цена квартиры тыс.долл. Город области (1-Подольск, 0-Люберцы) Число комнат в квартире Общая площадь квартиры, кв.м.
Y X1 X2 X3
41 38,0 1 1 41,9
42 62,2 1 2 69,0
43 125,0 0 3 67,0
44 61,1 1 2 58,1
45 67,0 0 1 32,0
46 93,0 0 2 57,2
47 118,0 1 3 107,0
48 132,0 0 3 81,0
49 92,5 0 3 89,9
50 105,0 1 4 75,0
51 42,0 1 1 36,0
52 125,0 1 3 72,9
53 170,0 0 4 90,0
54 38,0 0 1 29,0
55 130,5 0 4 108,0
56 85,0 0 2 60 ...

Задача 1. Эконометрическое моделирование стоимости квартир
в Московской области

Строительная фирма занимается реализацией квартир в строящихся домах городов Подольск и Люберцы Московской области. Для выработки управленческих решений компании необходимо осуществить эконометрическое моделирование стоимости квартир на основании исходных данных, представленных в таблице.

№ Цена квартиры тыс.долл. Город области (1-Подольск, 0-Люберцы) Число комнат в квартире Общая площадь квартиры, кв.м.
Y X1 X2 X3
41 38,0 1 1 41,9
42 62,2 1 2 69,0
43 125,0 0 3 67,0
44 61,1 1 2 58,1
45 67,0 0 1 32,0
46 93,0 0 2 57,2
47 118,0 1 3 107,0
48 132,0 0 3 81,0
49 92,5 0 3 89,9
50 105,0 1 4 75,0
51 42,0 1 1 36,0
52 125,0 1 3 72,9
53 170,0 0 4 90,0
54 38,0 0 1 29,0
55 130,5 0 4 108,0
56 85,0 0 2 60,0
57 98,0 0 4 80,0
58 128,0 0 4 104,0
59 85,0 0 3 85,0
60 160,0 1 3 70,0
61 60,0 0 1 60,0
62 41,0 1 1 35,0
63 90,0 1 4 75,0
64 83,0 0 4 69,5
65 45,0 0 1 32,8
66 39,0 0 1 32,0
67 86,9 0 3 97,0
68 40,0 0 1 32,8
69 80,0 0 2 71,3
70 227,0 0 4 147,0
71 235,0 0 4 150,0
72 40,0 1 1 34,0
73 67,0 1 1 47,0
74 123,0 1 4 81,0
75 100,0 0 3 57,0
76 105,0 1 3 80,0
77 70,3 1 2 58,1
78 82,0 1 3 81,1
79 280,0 1 4 155,0
80 200,0 1 4 108,4

По условию задачи требуется:

1. Рассчитать матрицу парных коэффициентов корреляции; оценить статистическую значимость коэффициентов корреляции.
2. Построить поле корреляции результативного признака и наиболее тесно связанного с ним фактора.
3. Рассчитать параметры линейных парных регрессий для всех факторов X.
4. Оценить качество каждой модели через коэффициент детерминации, среднюю ошибку аппроксимации и F – критерий Фишера. Выбрать лучшую модель.
5. С использованием лучшей модели осуществить прогнозирование среднего значения показателя Y при уровне значимости α=0,1, если прогнозное значение фактора X составит 80% от его максимального значения. Представить графически фактические и модельные значения Y, результаты прогнозирования.
6. Используя пошаговую множественную регрессию (метод исключения или метод включения), построим модель формирования цены квартиры за счет значимых факторов. Дать экономическую интерпретацию коэффициентов модели регрессии.
7. Оценить качество построенной модели. Выяснить, улучшилось ли качество модели по сравнению с однофакторной моделью? Дать оценку влияния значимых факторов на результат с помощью коэффициентов эластичности, β- и Δ- коэффициентов.
Задача 2. Исследование динамики экономического показателя на основе анализа одномерного временного ряда.
В течении девяти последовательных недель фиксировался спрос Y(t) (млн. руб.) на кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд Y(t) этого показателя приведен ниже.

№ наблюдения Спрос на кредитные ресурсы Y
в млн. руб.
1 8
2 13
3 15
4 19
5 25
6 27
7 33
8 35
9 40
Требуется:

1. Проверить наличие аномальных наблюдений.
2. Построить линейную модель временного ряда Yt=a+b•t, параметры которой оценить МНК.
3. Оценить адекватность построенной модели, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения.
4. Оценить точность модели на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.
5. Осуществить прогноз спроса на следующие две недели (прогнозный интервал рассчитать при доверительной вероятности р = 70%).
6. Представить графически фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования.

Задача 1. Эконометрическое моделирование стоимости квартир
в Московской области

Строительная фирма занимается реализацией квартир в строящихся домах городов Подольск и Люберцы Московской области. Для выработки управленческих решений компании необходимо осуществить эконометрическое моделирование стоимости квартир на основании исходных данных, представленных в таблице.

№ Цена квартиры тыс.долл. Город области (1-Подольск, 0-Люберцы) Число комнат в квартире Общая площадь квартиры, кв.м.
Y X1 X2 X3
41 38,0 1 1 41,9
42 62,2 1 2 69,0
43 125,0 0 3 67,0
44 61,1 1 2 58,1
45 67,0 0 1 32,0
46 93,0 0 2 57,2
47 118,0 1 3 107,0
48 132,0 0 3 81,0
49 92,5 0 3 89,9
50 105,0 1 4 75,0
51 42,0 1 1 36,0
52 125,0 1 3 72,9
53 170,0 0 4 90,0
54 38,0 0 1 29,0
55 130,5 0 4 108,0
56 85,0 0 2 60 ,0
57 98,0 0 4 80,0
58 128,0 0 4 104,0
59 85,0 0 3 85,0
60 160,0 1 3 70,0
61 60,0 0 1 60,0
62 41,0 1 1 35,0
63 90,0 1 4 75,0
64 83,0 0 4 69,5
65 45,0 0 1 32,8
66 39,0 0 1 32,0
67 86,9 0 3 97,0
68 40,0 0 1 32,8
69 80,0 0 2 71,3
70 227,0 0 4 147,0
71 235,0 0 4 150,0
72 40,0 1 1 34,0
73 67,0 1 1 47,0
74 123,0 1 4 81,0
75 100,0 0 3 57,0
76 105,0 1 3 80,0
77 70,3 1 2 58,1
78 82,0 1 3 81,1
79 280,0 1 4 155,0
80 200,0 1 4 108,4

По условию задачи требуется:

1. Рассчитать матрицу парных коэффициентов корреляции; оценить статистическую значимость коэффициентов корреляции.
2. Построить поле корреляции результативного признака и наиболее тесно связанного с ним фактора.
3. Рассчитать параметры линейных парных регрессий для всех факторов X.
4. Оценить качество каждой модели через коэффициент детерминации, среднюю ошибку аппроксимации и F – критерий Фишера. Выбрать лучшую модель.
5. С использованием лучшей модели осуществить прогнозирование среднего значения показателя Y при уровне значимости α=0,1, если прогнозное значение фактора X составит 80% от его максимального значения. Представить графически фактические и модельные значения Y, результаты прогнозирования.
6. Используя пошаговую множественную регрессию (метод исключения или метод включения), построим модель формирования цены квартиры за счет значимых факторов. Дать экономическую интерпретацию коэффициентов модели регрессии.
7. Оценить качество построенной модели. Выяснить, улучшилось ли качество модели по сравнению с однофакторной моделью? Дать оценку влияния значимых факторов на результат с помощью коэффициентов эластичности, β- и Δ- коэффициентов.
Задача 2. Исследование динамики экономического показателя на основе анализа одномерного временного ряда.
В течении девяти последовательных недель фиксировался спрос Y(t) (млн. руб.) на кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд Y(t) этого показателя приведен ниже.

№ наблюдения Спрос на кредитные ресурсы Y
в млн. руб.
1 8
2 13
3 15
4 19
5 25
6 27
7 33
8 35
9 40
Требуется:

1. Проверить наличие аномальных наблюдений.
2. Построить линейную модель временного ряда Yt=a+b•t, параметры которой оценить МНК.
3. Оценить адекватность построенной модели, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения.
4. Оценить точность модели на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.
5. Осуществить прогноз спроса на следующие две недели (прогнозный интервал рассчитать при доверительной вероятности р = 70%).
6. Представить графически фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования.

-32,2554
-1,246862355
39
231,9337971
48,0662
1,858044927
40
157,727919
42,27208
1,634067617
Коэффициенты модели содержатся в таблице итогов РЕГРЕССИИ (столбец Коэффициенты).
Таким образом, модель (3) построена, ее уравнение имеет вид:
YТ = -14,9 + 1,6·X3
Коэффициент регрессии b = 1,6 – следовательно, при увеличении общей площади квартиры (X3) на 1 кв.м. стоимость квартиры (Y) увеличится в среднем на 1,6 тыс. долларов.
Свободный член а = - 14,9 в данном уравнении не имеет реального смысла.
Для построения модели, отражающей зависимости цены квартиры Y от города области X1, проведем аналогичные расчеты (используем программу РЕГРЕССИЯ):
 
Коэффициенты
Y-пересечение
101,8136
X1
-1,2803
Таким образом, модель (1) построена, ее уравнение имеет вид:
YТ = 101,81 - 1,28·X1
Коэффициент регрессии b = -1,28 – следовательно, цена квартиры в Люберцах в среднем на 1,28 тыс. долл. выше чем в Подольске.
Свободный член а = 101,81 в данном уравнении не имеет реального смысла.
Для построения модели зависимости цены квартиры Y от числа комнат в квартире X2, проведем аналогичные расчеты:
 
Коэффициенты
Y-пересечение
7,539299
X2
36,03777
Таким образом, модель (2) построена, ее уравнение имеет вид:
YТ = 7,54 + 36,04·X2
Коэффициент регрессии b = 5,99 – следовательно, при увеличении числа комнат в квартире (X­2) на одну, стоимость квартиры (Y) увеличится в среднем на 36,04 тыс. долларов.
Свободный член а = 7,54 в данном уравнении не имеет реального смысла.
4. Оценить качество каждой модели через коэффициент детерминации, среднюю ошибку аппроксимации и F – критерий Фишера. Выбрать лучшую модель.
Для удобства все результаты будем заносить в сводную таблицу.
Коэффициенты детерминации R2 определены для каждой модели программой РЕГРЕССИЯ (таблицы «Регрессионная статистика») и составляют:
Модель
R-квадрат
Ēотн
F
YТ = -14,9 + 1,6·X3 (3)
0,796112
 
YТ = 101,81 + 1,28·X1 (1)
0,000127
 
 
YТ = 7,54 + 36,04·X2 (2)
0,564092
 
Таким образом, вариация цены квартиры Y на 79,61% объясняется (по модели (3)) вариацией размера общей площади квартиры X3; на 0,01% (по модели (1)) вариацией городом области квартиры X1 и на 56,41% (по модели (2)) вариацией количества комнат в квартире X2.
Для вычисления средней относительной ошибки аппроксимации рассмотрим остатки модели Ei=Yi–Yn, содержащиеся в столбце Остатки итогов программы РЕГРЕССИЯ (таблица «Вывод остатка»). Дополним таблицу столбцом относительных погрешностей, которые вычислим по формуле:
- с помощью функции ABS, и определим, по вычисленному столбцу относительных погрешностей, среднее значение Ēотн (функция СРЗНАЧ) для каждой модели.
Данные расчетов для модели (3) приведены в таблице:

Наблюдение
Предсказанное Y
Остатки
Стандартные остатки
Eотн i
1
51,83326465
-13,83326465
-0,534738041
36,40333
2
94,98732679
-32,78732679
-1,267425394
52,71274
3
91,80252516
33,19747484
1,283280059
26,55798
4
77,63015789
-16,53015789
-0,638989022
27,05427
5
36,06849656
30,93150344
1,195686772
46,16642
6
76,19699715
16,80300285
0,649536104
18,06774
7
155,4985578
-37,49855784
-1,449542525
31,77844
8
114,0961366
17,9038634
0,692090919
13,56353
9
128,2685039
-35,76850387
-1,382665638
38,66865
10
104,5417317
0,458268305
0,017714798
0,436446
11
42,43809983
-0,438099829
-0,016935167
1,043095
12
101,19769
23,80231002
0,920101
19,04185
13
128,427744
41,57225605
1,607015215
24,45427
14
31,29129411
6,70870589
0,259331426
17,65449
15
157,0909587
-26,59095866
-1,027898873
20,37621
16
80,65571944
4,344280561
0,167932309
5,110918
17
112,5037358
-14,50373578
-0,560655742
14,79973
18
150,7213554
-22,72135539
-0,878315668
17,75106
19
120,4657399
-35,46573987
-1,370962007
41,7244
20
96,57972761
63,42027239
2,451571129
39,63767
21
80,65571944
-20,65571944
-0,798466539
34,4262
22
40,84569901
0,154300988
0,005964652
0,376344
23
104,5417317
-14,5417317
-0,562124511
16,15748
24
95,7835272
-12,7835272
-0,494159439
15,40184
25
37,34241721
7,657582785
0,296011167
17,01685
26
36,06849656
2,931503439
0,113320062
7,516675
27
139,5745497
-52,67454967
-2,036184966
60,61513
28
37,34241721
2,657582785
0,102731398
6,643957
29
98,64984867
-18,64984867
-0,720927691
23,31231
30
219,1945905
7,805409474
0,301725549
3,438506
31
223,971793
11,02820702
0,426305863
4,692854
32
39,2532982
0,746701805
0,028864471
1,866755
33
59,95450882
7,045491183
0,272350183
10,51566
34
114,0961366
8,903863402
0,344187334
7,238913
35
75,87851699
24,12148301
0,932438936
24,12148
36
112,5037358
-7,503735781
-0,290064065
7,146415
37
77,63015789
-7,330157887
-0,283354246
10,42697
38
114,2553767
-32,25537668
-1,246862355
39,33583
39
231,9337971
48,06620294
1,858044927
17,1665
40
157,727919
42,27208101
1,634067617
21,13604
 
 
 
 
20,5389
Для модели (3) Ēотн= 20,24%.
Расчет и получение данных для моделей (2) и (3) выполняются аналогично.
Для модели (1) Ēотн= 54,13%, для модели (2) Ēотн= 23,45%.
Результаты внесем в сводную таблицу:
Модель
R-квадрат
Ēотн
F
YТ = -14,9 + 1,6·X3 (3)
0,796112
20,24%
 
YТ = 101,81 + 1,28·X1 (1)
0,000127
54,13%
 
YТ = 7,54 + 36,04·X2 (2)
0,564092
23,45%
 
Оценим точность построенных моделей в соответствии со схемой:
точная удовлетв. неудовлетв.
0 5% 15% Ēотн
Ēотн 1 = 20,24% > 15%
Ēотн 2 = 54,13% > 15%
Ēотн 3 = 23,45% > 15%
Все значения Ēотн>15% – следовательно, точность всех трех построенных моделей неудовлетворительная.
Проверим значимость полученных уравнений с помощью F – критерия Фишера. F – статистики определены программой РЕГРЕССИЯ (таблица «Дисперсионный анализ») и составляют:
Модель
R-квадрат
Ēотн
F
YТ = -14,9 + 1,6·X3 (3)
0,796112
20,24%
148,377
YТ = 101,81 + 1,28·X1 (1)
0,000127
54,13%
0,00482
YТ = 7,54 + 36,04·X2 (2)
0,564092
23,45%
49,1744
Критическое значение Fкр = 4,08 найдено для уровня значимости α = 5% и чисел степеней свободы k1 = 1, k2 = 40 (функция РАСПОБР).
Оценим значимость полученных уравнений моделей в соответствии со схемой:
не знач. 4,08 знач.
0 Fкр t
Сравнение показывает:
F3=148,38>Fкр=4,08 – следовательно, уравнение модели (1) является значимым, зависимая переменная Y достаточно хорошо описывается включенной в модель факторной переменной X3.
F1=0,005<Fкр=4,08 – следовательно, уравнения модели (2) не является значимым, его использование нецелесообразно.
F2=49,17>Fкр=4,08 – следовательно, уравнение модели (3) является значимым, зависимая переменная Y достаточно хорошо описывается включенной в модель факторной переменной X2.
Вывод: на основании оценки качества моделей по коэффициенту детерминации, средней ошибке аппроксимации и критерию Фишера, наилучшей является модель (3) зависимости цены квартиры Y от размера общей площади квартиры X3.
Однако результаты оценки модели по средней ошибке аппроксимации показывают, что точность модели (1) неудовлетворительная, следовательно, использовать эту модель для прогнозирования в реальных условиях нецелесообразно. Необходимо построить более точную модель.

5. С использованием лучшей модели осуществить прогнозирование среднего значения показателя Y при уровне значимости α=0,1, если прогнозное значение фактора X составит 80% от его максимального значения. Представить графически фактические и модельные значения Y, результаты прогнозирования.
Согласно условию задачи, прогнозное значение факторной переменной X3 составит 80% от X3max – x*=124,0 кв.м.
Рассчитаем по уравнению (3) прогнозное значение показателя Y:
Y*Т = -14,9 + 1,6·124,0= -14,9+ 198,4 = 182,569 тыс. долл.
Таким образом, при использовании в прогнозировании лучшей модели, прогнозная цена квартиры общей площадью 124,0 кв.м. составит 182,569 тыс. долларов.
Зададим достоверную вероятность p = 1-α и построим доверительный прогнозный интервал для среднего значения Y.
Для этого нужно рассчитать стандартную ошибку прогнозирования для среднего значения результирующего признака
S(Y*r) = SE ·
Предварительно подготовим:
стандартную ошибку модели SE = 26,207 (таблица «Регрессионная статистика»
итогов РЕГРЕССИИ).
по столбцу исходных данных Xi найдем среднее значение = 72,93 (функция СРЗНАЧ) и определим ∑(хi – )² = 40189,26 (функция КВАДРОТКЛ).
tкр(10%, 40) = 1,68 (функция СТЬЮДРАСПОБР).
Следовательно, стандартная ошибка прогнозирования для среднего значения составляет
S(Y*T) = 26,207 · = 7,859
Размах доверительного интервала для среднего значения
U(Y*T) = tкр· S(Y*T) = 1,68 · 7,859 = 13,202
Границами прогнозного интервала будут
Uнижн = Y*T - U(Y*T) = 182,569 – 13,202 = 169,367
Uверх. = Y*T + U(Y*T) = 182,569 + 13,202 = 195,771
Таким образом, с надежностью 90% можно утверждать, что ожидаемая средняя цена квартиры жилой площадью 124,0 кв.м. будет находится в пределах от 169,367 тыс. долларов до 195,771 тыс. долларов.
Для построения чертежа используем Мастер диаграмм (точечная) – покажем исходные данные (поле корреляции).

6. Используя пошаговую множественную регрессию (метод исключения или метод включения), построим модель формирования цены квартиры за счет значимых факторов. Дать экономическую интерпретацию коэффициентов модели регрессии.
В нашей задаче фактор X1 (город области) не является значимым, а фактор X2 (число комнат в квартире) является значимыми, однако в познавательных целях, методом включения построим двухфакторные модели, сохраняя в них наиболее информативный фактор – X3(общая площадь квартиры).
В качестве «входного интервала X» укажем значения факторов X2 и X3, с помощью программы РЕГРЕССИЯ получим:
 
Коэффициенты
Y-пересечение
-16,47476878
X2
3,940559372
X3
1,473662179
Таким образом, модель (4) зависимости цены квартиры Y от общей площади квартиры X3 и количества комнат в квартире X2 построена, ее уравнение имеет вид:
YТ = -16,47 + 3,94·X­2 + 1,47·X3
Используем в качестве «входного интервала X» значения факторов X1 и X3, с помощью программы РЕГРЕССИЯ получим:
 
Коэффициенты
Y-пересечение
-16,5189
X1
3,254065
X3
1,59468

Таким образом модель (5) зависимости цены квартиры Y от общей площади квартиры X3 и города области X1 построена, ее уравнение имеет вид:
YТ = -16,52 + 3,25·X1 + 1,59·X3
Построим множественную модель регрессии, учитывая все факторы X1, X2, X3.
Коэффициенты
Y-пересечение
-18,0924
X1
3,23487
X2
3,932395
X3
1,476174
Таким образом, трехфакторная модель (6) зависимости цены квартиры Y от общей площади квартиры X3, количества комнат в квартире X2 и города области X1 построена, ее уравнение имеет вид:
YТ = -18,09 + 3,23·X1 + 3,93·X2 + 1,48·X3
Выберем лучшую из построенных множественных моделей.
Для сравнения моделей с различным количеством учтенных в них факторов используем нормированные коэффициенты детерминации, которые содержатся в строке «нормированый R-квадрат» итогов программы РЕГРЕССИЯ. Чем больше величина нормированного коэффициента детерминации, тем лучше модель.
Модель
Нормированный
R-квадрат
YТ = -16,47 + 3,94·X­2 + 1,47·X3 (4)
0,787535
YТ = -16,52 + 3,25·X1 + 1,59·X3 (5)
0,785953
YТ = -18,09 + 3,23·X1 + 3,93·X2 + 1,48·X3 (6)
0,782508
Анализ коэффициентов детерминации показывает, что все три модели практически равнозначны, но лучшей из них является модель (4), показывающая зависимость цены квартиры Y от общей площади квартиры X3 и количества комнат в квартире X2.
Коэффициент регрессии b3=1,47, следовательно, при увеличении общей площади квартиры X3 на 1 кв.м. при неизменном значении количества комнат в квартире X2, цена квартиры увеличится в среднем на 1,47 тыс. долларов.
Коэффициент регрессии b2=3,94, следовательно, при изменении количества комнат в квартире X2 в сторону увеличения на одну, при неизменной общей площади квартиры X3, цена квартиры увеличится в среднем на 3,94 тыс. долларов.
Свободный коэффициент не имеет экономического смысла.
7. Оценить качество построенной модели. Выяснить, улучшилось ли качество модели по сравнению с однофакторной моделью? Дать оценку влияния значимых факторов на результат с помощью коэффициентов эластичности, β- и Δ- коэффициентов.
Для оценки качества выбранной модели (4) используем коэффициент детерминации
R-квадрат, среднюю относительную ошибку аппроксимации и F-критерий Фишера.
Коэффициент детерминации R-квадрат выпишем из итогов РЕГРЕССИИ (таблица «Регрессионная статистика» для модели (4)).
R² = 0,7984 = 79,84%, следовательно вариация (изменения) цены квартиры Y на 79,84% объясняется по данному уравнению вариацией общей площади квартиры X3 и количества комнат в квартире X2.
Используем исходные данные yi и найденные программой РЕГРЕССИЯ остатки Ei (таблица «Вывод остатка» для модели (4)). Рассчитаем относительные погрешности и найдем среднее значение Ēотн = 21,11%.
Сравнение показывает, что 21,11%>15%. Следовательно, точность модели неудовлетворительная.
С помощью F – критерия Фишера проверим значимость модели в целом. Для этого выпишем из итогов РЕГРЕССИИ (таблица «Дисперсионный анализ» для модели (4))
F=73,28. Определим критическое значение Fкр (5%,2,37) = 3,25 (Функция FРАСПОБР).
Сравним найденные величины:
F=73,28>Fкр=3,25 – следовательно, уравнение модели в целом является значимым, зависимая переменная Y достаточно хорошо описывается включенными в модель факторными переменными X2 и X3 .
Дополнительно с помощью t-критерия Стьюдента проверим значимость отдельных коэффициентов модели.
t-статистики для коэффициентов уравнения регрессии приведены в итогах программы РЕГРЕССИЯ. Для выбранной модели (4) получим следующие значения:
 
Коэффициенты
Стандартная ошибка
t-статистика
P-Значение
Y-пересечение
-16,47476878
10,75309349
-1,532095745
0,134005
X2
3,940559372
6,040960563
0,652306753
0,518236
X3
1,473662179
0,224692418
6,558575451
1,11E-07

Критическое значение tкр = 2,026 найдено для уровня значимости α=5% и числа степеней свободы k = 40 – 2 - 1 = 37 (Приложение 1 или функция СТЬЮДРАСПОБР).
Схема проверки:
не знач. 2,03 знач.
0 tкр t
Для свободного коэффициента а= -16,47 определена статистика t(а) = -1,53.
‌‌‌│t(а)│=0,77<tкр=2,03, следовательно, свободный коэффициент а не является значимым, его можно исключить из модели.
Для коэффициента регрессии b2 = 3,94 определена статистика t(b2) = 0,65.
│t(b2)│= 0,65<tкр=2,03, следовательно, свободный коэффициент b2 не является значимым, его можно исключить из модели.
Для коэффициента регрессии b3 = 1,47 определена статистика t(b3) = 6,56.
│t(b3)│=6,56>tкр=2,03, следовательно, коэффициент регрессии b3 является значимым, следовательно фактор общей площади квартиры нужно сохранить в модели.
Выводы о значимости коэффициентов модели сделаны на уровне значимости α = 5%.
Рассматривая столбец «Р-значение», отметим, что свободный коэффициент a можно считать значимым на уровне 0,13 = 13%; коэффициент регрессии b2 – на уровне 0,52 = 52%; коэффициент регрессии b3 – на уровне 0,000000111 = 0, 00001%.
При добавлении в уравнение новых факторных переменных автоматически увеличивается коэффициент детерминации R² и уменьшается средняя ошибка аппроксимации, при этом не всегда улучшается качество модели. Поэтому для сравнения качества парной модели (3) и выбранной множественной модели (4) используем нормированные коэффициенты детерминации.
Модель
Нормированный R- квадрат
YТ = -14,9 + 1,6·X3 (3)
0,790747
YТ = -16,47 + 3,94·X­2 + 1,47·X3 (4)
0,787535
Таким образом, при добавлении в уравнение регрессии фактора количества комнат в квартире (X2) качество модели ухудшилось, что говорит не в пользу сохранения фактора X2 в модели.
Средние коэффициенты эластичности в случае линейной модели определяются формулами:
Эj = bj· , j = 1,2,…,
где , – выборочные средние признаков Xj и Y; bj – коэффициенты регрессии.
Подготовим =72,93; =2,6; =101,24
Э3 = 3,94· = 2,838; Э2 = 1,47· = 0,378
Следовательно, при увеличении общей площади квартиры X3 на 1% и неизменном значении количества комнат в квартире X2 стоимость квартиры увеличивается в среднем на 2,838%.
Изменение количества комнат в квартире в % выражать не имеет логического смысла.
Бета-коэффициенты определяются формулами βj = bj· , j = 1,2,…,
где Sxj , Sy - выборочные средние квадратичные (стандартные) отклонения признаков Xj и Y.
bj – коэффициенты регрессии.
Подготовим Sx3 = 32,101; Sx2 = 1,194; Sy = 57,291 (функция СТАНДАРТОТКЛОН).
Рассчитаем: β3 = 0,8237, β­2 = 0,0821.

Таким образом, при увеличении только фактора X3 на одно свое стандартное отклонение результат Y увеличивается в среднем на 0,8237 своего стандартного отклонения Sу, при увеличении только фактора X2 на его одно стандартное отклонение результат Y увеличивается в среднем на 0,0821 своего стандартного отклонения Sу.
Дельта – коэффициенты определяются формулами ∆j = βj·­­­­­­­­ , j = 1,2,…,
где ­­­­­­­­r(Y, Xj) – соответствующие выборочные коэффициенты парной корреляции.
Коэффициенты парной корреляции ­­­­­­­­r(Y, X3) = 0,892; ­­­­­­­­r(Y, X2) = 0,751 найдены с помощью программы КОРРЕЛЯЦИЯ (п.1 данной задачи), коэффициент детерминации