КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА по дисциплине «Статистика», вариант № 6

Задания для контрольной работы
Для анализа эффективности деятельности предприятий одной из отраслей экономики была произведена 20%-ная механическая выборка, в результате которой получены следующие данные за год, млн. руб.:
Таблица 1 Исходные данные
№ предприятия
п/п Выручка от продажи продукции Чистая прибыль № предприятия
п/п Выручка от продажи продукции Чистая прибыль
1 36,0 8,0 16 29,0 2,0
2 63,0 15,0 17 47,0 11,0
3 43,0 9,0 18 21,0 4,0
4 58,0 15,0 19 38,0 7,0
5 70,0 18,0 20 60,0 14,0
6 86,0 25,0 21 65,0 17,0
7 27,0 5,0 22 35,0 6,0
8 39,0 9,0 23 80,0 25,0
9 48,0 10,0 24 57,0 13,0
10 61,0 16,0 25 44,0 10,0
11 52,0 14,0 26 23,0 3,0
12 67,0 20,0 27 64,0 16,0
13 94,0 27,0 28 41,0 7,0
14 46,0 9,0 29 75,0 21,0
15 42,0 8,0 30 49,0 11,0

ЗАДАНИЕ 1
По исходным данным (таблица 1) ...

Задания для контрольной работы
Для анализа эффективности деятельности предприятий одной из отраслей экономики была произведена 20%-ная механическая выборка, в результате которой получены следующие данные за год, млн. руб.:
Таблица 1 Исходные данные
№ предприятия
п/п Выручка от продажи продукции Чистая прибыль № предприятия
п/п Выручка от продажи продукции Чистая прибыль
1 36,0 8,0 16 29,0 2,0
2 63,0 15,0 17 47,0 11,0
3 43,0 9,0 18 21,0 4,0
4 58,0 15,0 19 38,0 7,0
5 70,0 18,0 20 60,0 14,0
6 86,0 25,0 21 65,0 17,0
7 27,0 5,0 22 35,0 6,0
8 39,0 9,0 23 80,0 25,0
9 48,0 10,0 24 57,0 13,0
10 61,0 16,0 25 44,0 10,0
11 52,0 14,0 26 23,0 3,0
12 67,0 20,0 27 64,0 16,0
13 94,0 27,0 28 41,0 7,0
14 46,0 9,0 29 75,0 21,0
15 42,0 8,0 30 49,0 11,0

ЗАДАНИЕ 1
По исходным данным (таблица 1)необходимо выполнить следующее:
1. Построить статистический ряд распределения предприятий по признаку «выручка от продажи продукции», образовав пять групп с равными интервалами.
2. Построить графики полученного ряда распределения, графически определить значение моды и медианы.
3. Рассчитать характеристики интервального ряда распределения: среднюю арифметическую, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации, моду и медиану.
4. Вычислить среднюю арифметическую по исходным данным (таблица 1), сравнить её с аналогичным показателем, рассчитанным в п. 3 для интервального ряда распределения. Объяснить причину их расхождения.
Сделать выводы по результатам выполнения Задания 1.

ЗАДАНИЕ 2
По исходным данным (таблица 1) с использованием результатов выполнения Задания 1 необходимо выполнить следующее:
1. Установить наличие и характер связи между признаками Выручка от продажи продукции и Чистая прибыль, используя методы:
а) аналитической группировки;
б) корреляционной таблицы.
2. Измерить тесноту корреляционной связи между признаками Выручка от продажи продукции и Чистая прибыль, используя коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение.
Сделать выводы по результатам выполнения задания 2.

ЗАДАНИЕ 3
По результатам выполнения Задания 1 с вероятностью 0,954 необходимо определить:
1. ошибку выборки средней выручки от продажи продукции и границы, в которых она будет находиться в генеральной совокупности.
2. ошибку выборки доли предприятий с выручкой от продажи продукции 66 и более млн. руб., а также границы, в которых будет находиться генеральная доля.

ЗАДАНИЕ 4.
По организации имеются следующие данные, млн. руб.:



Таблица 2
Вид продукции Затраты на производство и реализацию продукции Прибыль от реализации продукции
Базисный период Отчетный период Базисный период Отчетный период
А 12,0 15,6 3,4 5,0
Б 5,0 3,8 1,2 0,84
Определить:
1. Уровни и динамику рентабельности по каждому виду продукции.
Результат расчетов представить в таблице.
2. По двум видам продукции вместе:
• индексы средней рентабельности переменного, постоянного состава, структурных сдвигов;
• абсолютное изменение средней рентабельности продукции в результате влияния отдельных факторов;
• абсолютное изменение прибыли от реализации продукции вследствие изменения затрат на производство и реализацию продукции, изменения средней рентабельности двух факторов вместе.
Сделать выводы по результатам выполнения задания 4.

Задания для контрольной работы
Для анализа эффективности деятельности предприятий одной из отраслей экономики была произведена 20%-ная механическая выборка, в результате которой получены следующие данные за год, млн. руб.:
Таблица 1 Исходные данные
№ предприятия
п/п Выручка от продажи продукции Чистая прибыль № предприятия
п/п Выручка от продажи продукции Чистая прибыль
1 36,0 8,0 16 29,0 2,0
2 63,0 15,0 17 47,0 11,0
3 43,0 9,0 18 21,0 4,0
4 58,0 15,0 19 38,0 7,0
5 70,0 18,0 20 60,0 14,0
6 86,0 25,0 21 65,0 17,0
7 27,0 5,0 22 35,0 6,0
8 39,0 9,0 23 80,0 25,0
9 48,0 10,0 24 57,0 13,0
10 61,0 16,0 25 44,0 10,0
11 52,0 14,0 26 23,0 3,0
12 67,0 20,0 27 64,0 16,0
13 94,0 27,0 28 41,0 7,0
14 46,0 9,0 29 75,0 21,0
15 42,0 8,0 30 49,0 11,0

ЗАДАНИЕ 1
По исходным данным (таблица 1) необходимо выполнить следующее:
1. Построить статистический ряд распределения предприятий по признаку «выручка от продажи продукции», образовав пять групп с равными интервалами.
2. Построить графики полученного ряда распределения, графически определить значение моды и медианы.
3. Рассчитать характеристики интервального ряда распределения: среднюю арифметическую, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации, моду и медиану.
4. Вычислить среднюю арифметическую по исходным данным (таблица 1), сравнить её с аналогичным показателем, рассчитанным в п. 3 для интервального ряда распределения. Объяснить причину их расхождения.
Сделать выводы по результатам выполнения Задания 1.

ЗАДАНИЕ 2
По исходным данным (таблица 1) с использованием результатов выполнения Задания 1 необходимо выполнить следующее:
1. Установить наличие и характер связи между признаками Выручка от продажи продукции и Чистая прибыль, используя методы:
а) аналитической группировки;
б) корреляционной таблицы.
2. Измерить тесноту корреляционной связи между признаками Выручка от продажи продукции и Чистая прибыль, используя коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение.
Сделать выводы по результатам выполнения задания 2.

ЗАДАНИЕ 3
По результатам выполнения Задания 1 с вероятностью 0,954 необходимо определить:
1. ошибку выборки средней выручки от продажи продукции и границы, в которых она будет находиться в генеральной совокупности.
2. ошибку выборки доли предприятий с выручкой от продажи продукции 66 и более млн. руб., а также границы, в которых будет находиться генеральная доля.

ЗАДАНИЕ 4.
По организации имеются следующие данные, млн. руб.:



Таблица 2
Вид продукции Затраты на производство и реализацию продукции Прибыль от реализации продукции
Базисный период Отчетный период Базисный период Отчетный период
А 12,0 15,6 3,4 5,0
Б 5,0 3,8 1,2 0,84
Определить:
1. Уровни и динамику рентабельности по каждому виду продукции.
Результат расчетов представить в таблице.
2. По двум видам продукции вместе:
• индексы средней рентабельности переменного, постоянного состава, структурных сдвигов;
• абсолютное изменение средней рентабельности продукции в результате влияния отдельных факторов;
• абсолютное изменение прибыли от реализации продукции вследствие изменения затрат на производство и реализацию продукции, изменения средней рентабельности двух факторов вместе.
Сделать выводы по результатам выполнения задания 4.

10,0
30
100,0
ИТОГО
30
100,0
Вывод. Анализ интервального ряда распределения изучаемой совокупности предприятий показывает, что распределение предприятий по выручке от продажи продукции не является равномерным:
преобладают предприятия с выручкой от продажи продукции от 35,6 млн. руб. до 50,2 млн. руб. (11 предприятий, доля которых составляет 36,7%);
самая малочисленная группа предприятий имеет выручку от продажи продукции от 79,4 млн. руб. до 94,0 млн. руб. (3 предприятия, доля которых составляет 10,0%).
2. Построение графиков полученного ряда распределения, нахождение моды и медианы графическим методом
Гистограмма применяется для изображения интервального вариационного ряда.
Рисунок 1. Гистограмма распределения предприятий по признаку «выручка от продажи продукции».
При анализе формы гистограммы, прежде всего, следует оценить распределение вариантов признака по интервалам. Если на гистограмме четко прослеживаются два-три «горба» частот вариантов, это говорит о том, что значения признака концентрируются сразу в нескольких интервалах, что не соответствует нормальному закону распределения.
Если гистограмма имеет одновершинную форму, есть основания предполагать, что выборочная совокупность может иметь характер распределения, близкий к нормальному.
Мода графическим методом определяется по гистограмме распределения (Рисунок 1). Для этого выбирается самый высокий прямоугольник, который в данном случае является модальным. Затем правую вершину модального прямоугольника соединяют с правым верхним углом предыдущего прямоугольника, а левую вершину модального прямоугольника – с левым верхним углом последующего прямоугольника. Далее из точки их пересечения опускают перпендикуляр на ось абсцисс.
В нашем случае абсцисса точки пересечения этих прямых и будет модой распределения Мо  44,4 млн. руб.
При помощи кумуляты изображают ряд накопленных частот, которые определяют путем последовательного суммирования частот по группам. Накопленные частоты показывают, сколько единиц совокупности имеют значения признака не больше, чем рассматриваемое значение.
Рисунок 2. Кумулята распределения групп предприятий по признаку «выручка от продажи продукции».
Медиана графическим методом определяется по кумуляте (Рисунок 2). Для её определения из точки на шкале накопленных частот, соответствующей 50% (30/2=15), проводится прямая, параллельная оси абсцисс, до пересечения с кумулятой. Затем из точки пересечения указанной прямой с кумулятой опускается перпендикуляр на ось абсцисс. Абсцисса точки пересечения является медианой Ме  48,9 млн. руб.
Вывод. При анализе формы гистограммы мы видим, что гистограмма имеет одновершинную форму, есть основания предполагать, что выборочная совокупность может иметь характер распределения, близкий к нормальному
Для рассматриваемой совокупности предприятий наиболее часто встречающаяся выручка от продажи продукции характеризуется средней величиной 44,4 млн. руб.
В рассматриваемой совокупности половина предприятий имеют выручку от продажи продукции не более 48,9 млн. руб., а другая половина – не менее 48,9 млн. руб.
3. Расчет характеристик ряда распределения
Для расчета характеристик ряда распределения необходимо построить дополнительную расчетную таблицу 6.
Таблица 6 - Расчетная таблица для нахождения характеристик ряда распределения
Группы предприятий по выручке от продажи продукции,
млн. руб.
Середина интервала,
Число предприятий,
fj
21,0 - 35,6
28,3
5
141,5
-23,847
568,6790
2843,3950
35,6 - 50,2
42,9
11
471,9
-9,247
85,5070
940,5770
50,2 - 64,8
57,5
7
402,5
5,353
28,6546
200,5822
64,8 - 79,4
72,1
4
288,4
19,953
398,1222
1592,4888
79,4 - 94,0
86,7
3
260,1
34,553
1193,9098
3581,7294
ИТОГО
30
1564,4
9158,7724
Выполним расчет средней арифметической взвешенной:
Выполним расчет среднего квадратического отклонения:
Выполним расчет дисперсии:
σ2 = 17,47262 = 305,29175
Выполним расчет коэффициента вариации:
Выполним расчет моды:

где хМo – нижняя граница модального интервала,
h – величина модального интервала,
fMo – частота модального интервала,
fMo-1 – частота интервала, предшествующего модальному,
fMo+1 – частота интервала, следующего за модальным.
Согласно таблице 5 модальным интервалом построенного ряда является интервал 35,6 - 50,2 млн. руб., т.к. он имеет наибольшую частоту (f2=11).
Выполним расчет медианы:
,
где хМе– нижняя граница медианного интервала,
h – величина медианного интервала,
– сумма всех частот,
fМе – частота медианного интервала,
SMе-1 – кумулятивная (накопленная) частота интервала, предшествующего медианному.
Медианным интервалом является интервал 35,6 - 50,2 млн. руб., т.к. именно в этом интервале накопленная частота S2=16 впервые превышает полусумму всех частот ().
Вывод. Анализ полученных значений показателей и σ говорит о том, что средняя величина выручки от продаж продукции составляет 52,147 млн. руб., отклонение от этой величины в ту или иную сторону составляет в среднем 17,473 млн. руб. (или 33,5%), наиболее характерная выручка от продажи продукции находится в пределах от 34,674 до 69,619 млн. руб. (диапазон ).
Значение Vσ = 33,5% близко к значению 33%, следовательно, вариация выручки от продажи продукции в исследуемой совокупности предприятий незначительна и совокупность по данному признаку однородна. Расхождение между значениями , Мо и Ме незначительно (=52,147 млн. руб., Мо=44,360 млн. руб., Ме=48,873 млн. руб.), что подтверждает вывод об однородности совокупности предприятий. Таким образом, найденное среднее значение выручки от продажи продукции (52,147 млн. руб.) является типичной, надежной характеристикой исследуемой совокупности предприятий.
4. Вычисление средней арифметической по исходным данным (таблица 1), сравнение с аналогичным показателем, рассчитанным в п. 3 для интервального ряда распределения.
Для расчета применяется формула средней арифметической простой:
,
Для расчета средней арифметической взвешенной применяли формулу:
Причина расхождения средних величин, рассчитанных по исходным данным (52,0 млн. руб.) и по интервальному ряду распределения (52,147 млн. руб.), заключается в том, что в первом случае средняя определяется по фактическим значениям исследуемого признака для всех 30-ти предприятий, а во втором случае в качестве значений признака берутся середины интервалов и, следовательно, значение средней будет менее точным. Вместе с тем, их расхождение не значительно и при округлении обеих рассматриваемых величин их значения совпадают (52 млн. руб.), что говорит о достаточно равномерном распределении выручки от продажи продукции внутри каждой группы интервального ряда.
ВЫПОЛНЕНИЕ ЗАДАНИЯ 2
1. Установление наличия и характера связи между признаками Выручка от продажи продукции и Чистая прибыль методами аналитической группировки и корреляционных таблиц
1а. Применение метода аналитической группировки
Аналитическая группировка строится по факторному признаку Х и для каждой j-ой группы ряда определяется среднегрупповое значение результативного признака Y. Если с ростом значений фактора Х от группы к группе средние значения систематически возрастают (или убывают), между признаками X и Y имеет место корреляционная связь.
Используя таблицу 4, строим аналитическую группировку, характеризующую зависимость между факторным признаком Х- Выручка от продажи продукции и результативным признаком Y – Чистая прибыль. Аналитическая таблица имеет следующий вид (таблица 7):
Таблица 7 - Зависимость чистой прибыли от выручки от продажи продукции
Номер группы
Группы предприятий по выручке от продажи продукции, млн. руб.,
x
Число предприятий,
fj
Чистая прибыль, млн. руб.
всего
в среднем на одно предприятие,
1
21,0 - 35,6
5
20,0
4,000
2
35,6 - 50,2
11
99,0
9,000
3
50,2 - 64,8
7
103,0
14,714
4
64,8 - 79,4
4
76,0
19,000
5
79,4 - 94,0
3
77,0
25,667
ИТОГО
30
375,0
Вывод. Анализ данных таблицы 7 показывает, что с увеличением выручки от продажи продукции от группы к группе систематически возрастает и средняя чистая прибыль по каждой группе предприятий, что свидетельствует о наличии прямой корреляционной связи между исследуемыми признаками.
1б. Применение метода корреляционных таблиц
Для построения корреляционной таблицы сначала осуществляют группировку совокупности по факторному и результативному признакам, а затем в графах таблицы располагают группы по факторному признаку, в строках – группы по результативному признаку. Числа, расположенные на пересечениях граф и строк, показывают частоту повторения данного сочетания значений Х и У. Связь прямая, если частоты располагаются по диагонали, идущей от левого верхнего угла к правому нижнему, обратная - по диагонали от правого верхнего угла к левому нижнему.
Для построения корреляционной таблицы необходимо знать величины и границы интервалов по двум признакам X и Y. Для факторного признака Х – Выручка от продажи продукции эти величины известны из табл. 4 Определяем величину интервала для результативного признака Y – Чистая прибыль при k = 5, уmax = 27,0 млн. руб., уmin = 2,0 млн. руб.:
Границы интервалов ряда распределения результативного признака Y – Чистая прибыль имеют вид:
Таблица 8 - Границы интервалов ряда распределения результативного признака Y – Чистая прибыль
Номер группы
Нижняя граница,
Млн. руб.
Верхняя граница,
Млн. руб.
1
2,0
7,0
2
7,0
12,0
3
12,0
17,0
4
17,0
22,0
5
22,0
27,0
Подсчитывая для каждой группы число входящих в нее фирм с использованием принципа полуоткрытого интервала [ ), получаем интервальный ряд распределения результативного признака (таблица 9).
Таблица 9 - Интервальный ряд распределения фирм по объёму продаж
Группы предприятий по чистой прибыли,
Млн. руб.,
у
Число предприятий,
fj
2,0 - 7,0
5
7,0 - 12,0
11
12,0 - 17,0
7
17,0 - 22,0
4
22,0 - 27,0
3
ИТОГО
30
Используя группировки по факторному и результативному признакам, строим корреляционную таблицу (таблица 10).
Таблица 10 - Корреляционная таблица зависимости чистой прибыли от выручки от продажи продукции
Группы предприятий по выручке от продажи продукции, млн. руб.
Группы предприятий по чистой прибыли, млн. руб.
ИТОГО
2,0-7,0
7,0-12,0
12,0-17,0
17,0-22,0
22,0-27,0
21,0 - 35,6
5
5
35,6 - 50,2
11
11
50,2 - 64,8
7
7
64,8 - 79,4
4
4
79,4 - 94,0
3
3
ИТОГО
30
Вывод. Анализ данных таблицы 10 показывает, что распределение частот групп произошло по диагонали, идущей из левого верхнего угла в правый нижний угол таблицы. Это свидетельствует о наличии прямой корреляционной связи между выручкой от продажи продукции и чистой прибылью предприятий.
2. Измерение тесноты корреляционной связи с использованием коэффициента детерминации и эмпирического корреляционного отношения
Коэффициент детерминации характеризует силу влияния факторного (группировочного) признака Х на результативный признак Y и рассчитывается как доля межгрупповой дисперсии признака Y в его общей дисперсии:
где – общая дисперсия признака Y,
– межгрупповая (факторная) дисперсия признака Y.
Общая дисперсия характеризует вариацию результативного признака, сложившуюся под влиянием всех действующих на Y факторов (систематических и случайных) и вычисляется по формуле
,
где yi – индивидуальные значения результативного признака;
– общая средняя значений результативного признака;
n – число единиц совокупности.
Межгрупповая дисперсия измеряет систематическую вариацию результативного признака, обусловленную влиянием признака-фактора Х (по которому произведена группировка) и вычисляется по формуле
,
где – групповые средние,
– общая средняя,
– число единиц в j-ой группе,
k – число групп.
Для расчета показателей и необходимо знать величину общей средней , которая вычисляется как средняя арифметическая простая по всем единицам совокупности:
Значения числителя и знаменателя формулы имеются в таблице 7. Используя эти данные, получаем общую среднюю :
= = 12,5 млн. руб.
Для расчета общей дисперсии применяется вспомогательная таблица 11.
Таблица 11 - Вспомогательная таблица для расчета общей дисперсии
Номер
предприятия
Чистая прибыль,
млн. руб.
1
8,0
-4,5
20,25
2
15,0
2,5
6,25
3
9,0
-3,5
12,25
4
15,0
2,5
6,25
5
18,0
5,5
30,25
6
25,0
12,5
156,25
7
5,0
-7,5
56,25
8
9,0
-3,5
12,25
9
10,0
-2,5
6,25
10
16,0
3,5
12,25
11
14,0
1,5
2,25
12
20,0
7,5
56,25
13
27,0
14,5
210,25
14
9,0
-3,5
12,25
15
8,0
-4,5
20,25
16
2,0
-10,5
110,25
17
11,0
-1,5
2,25
18
4,0
-8,5
72,25
19
7,0
-5,5
30,25
20
14,0
1,5
2,25
21
17,0
4,5
20,25
22
6,0
-6,5
42,25
23
25,0
12,5
156,25
24
13,0
0,5
0,25
25
10,0
-2,5
6,25
26
3,0
-9,5
90,25
27
16,0
3,5
12,25
28
7,0
-5,5
30,25
29
21,0
8,5
72,25
30
11,0
-1,5
2,25
Итого
375,0
1269,50
Рассчитаем общую дисперсию:
=
Для расчета межгрупповой дисперсии строится вспомогательная таблица 12. При этом используются групповые средние значения из таблицы 7.
Таблица 12 - Вспомогательная таблица для расчета межгрупповой дисперсии
Группы предприятий по выручке от продажи продукции, млн. руб.,
x
Число предприятий
fj
Среднее значение в группе, млн. руб.

21,0-35,6
5
4,000
-8,500
361,250
35,6-50,2
11
9,000
-3,500
134,750
50,2-64,8
7
14,714
2,214
34,313
64,8-79,4
4
19,000
6,500
169,000