Математические методы экономичских исследований МИЭП

Модель Леонтьева, ЗЛП геометрическим и симплекс-методом, теория игр, сетевой график. Загружен вариант 2. Есть другие варианты. Задания во вкладке "Введение". ...

задание 1
задание 2
задание 3
задание 4

Задание 1.
Известна матрица В, элемент которой – объем i-го продукта, потребляемого при производстве j-го продукта в модели Леонтьева; известен валовой продукт .Найдите матрицы прямых и полных затрат, объясните смысл столбцов матрицы полных затрат. Найдите валовой продукт, необходимый для производства заданного конечного продукта , определите самую затратную отрасль при производстве .
Задание 2.
Решите задачу линейного программирования. Найдите оптимальный план для неотрицательных значений переменных:
а) геометрическим методом;
б) симплекс-методом.
Сформулируйте двойственную задачу.
Задание 3.
Дана платежная матрица игры двух лиц. Используя представления теории чистых стратегий, найдите гарантирующие оптимальные стратегии игроков, их гарантированные оптимальные эффективности; найдите точную цену игры, если она существует, или интервал значений платы пассивному игроку за его участие в игре.
Задание 4.
Задан проект сетевого графика строительства объекта, даны нормативы дли-тельности работ (в днях).
Найдите критический путь и его длительность, ранние и поздние сроки начала и окончания некритических работ, а так же их полные и частные резервы времени. Данные расчета оформите в виде таблицы.

Для отыскания в множестве решений точки, которая соответствует максимуму целевой функции построим нормальный вектор . Если придать функции конкретное значение, например, , то это будет прямая, перпендикулярная вектору нормали и, при данном значении, проходящая через начало координат. Перемещая указанную прямую в направлении, вектора , по которому значение целевой функции возрастает, находим последнюю точку пересечения прямой и множества решений (вершина В треугольника). Эта точка и является оптимальным решением. Определяем ее компоненты как координаты точки пересечения 1-й и 3-й прямых: Итак, мы получили оптимальный план: , при этом целевая функция .б). Введем переменные и запишем задачу в канонической форме:Составим симплекс-таблицу.Cj-3-4000RHS№СВх1х2х3х4х5  0-10-1100-510-1-2010-2203100133Fj0000004Cj-Fj-3-4000 5-310,1-0,1000,5600-2,10,110-2,57000,70,3011,58Fj-3-0,30,300-1,59Cj-Fj0-3,7-0,300 10-310-0,100,0500,3811-401-0,05-0,4801,19120000,330,3310,6713Fj-3-40,481,760-5,9014Cj-Fj00-0,48-1,760 15-310-0,140-0,140,2916-4010,4301,432,14170001132,0018Fj-3-4-1,290-5,28-9,4319Cj-Fj001,2905,28 201. Переменные, образующие единичную матрицу (выделена серым) будем называть базисными, в данном случае х3, х4 и х5.2. Заполняем столбец CB строки 1, 2, 3 коэффициентами целевой функции при базисных переменных.3. Заполняем строку 4 (Fj) путем перемножения каждого элемента столбца CB на соответствующие элементы строк 1, 2, 3 и сложением.4. Строка 5 (Cj - Fj) получается почленным вычитанием элементов строки 4 (Fj) из элементов строки Cj.5. Смотрим на элементы RHS выше строки Fj (у нас на строки 1, 2, 3). Так как в строках 1 и 2 имеем отрицательные элементы, в каждой строке вычисляемсоотношения .Получаем в 1 строке Х1=-10 ведущий элемент. 6. Формируем строки 6, 7, 8 путем деления ведущей строки на ведущий элемент и формирования единичного столбца на месте ведущего.7. Повторяем предыдущую итерацию до тех пор, пока в столбце не останется отрицательных элементов.8. Так как все RHS в строках 11, 12, 13 >0, значит, ищем в строке 15 (Cj - Fj) максимальный по модулю отрицательный элемент. Получаем ведущий столбец Х4. В нем вычисляем соотношения: . Получаем ведущий элемент х4=0,33. Формируем единичный столбец.9. В результате данной итерации мы получили строку 20, в которой нет ни одного отрицательного элемента. При этом в строке Fj (строка 19) в RHS - столбце получим значение целевой функции в оптимальной точке, равное -9,43. Следовательно, . Из RHS в строках 16,17,18 получаем ; х2=; х3=0; х4=2; х5=0. 10. Данное решение совпадает с решением, полученным графически.в). Итак, мы имеем исходную задачу, записанную в виде: Запишем двойственную задачу:Задание 3.Дана платежная матрица игры двух лиц. Используя представления теории чистых стратегий, найдите гарантирующие оптимальные стратегии игроков, их гарантированные оптимальные эффективности; найдите точную цену игры, если она существует, или интервал значений платы пассивному игроку за его участие в игре..Решение.Таблица 1.В1В2В3А13473А26252А34533657Рассмотрим игру с позиции 1-го игрока.Обозначим - нижняя цена игры (максимин), это гарантированный выигрыш игрока 1 при любой стратегии игрока 2.1 строка: 2 строка: 3 строка: Выбираем стратегию: Гарантированно оптимальная стратегия: i=1;3Гарантированно оптимальная эффективность: .Рассмотрим игру с позиции 2-го игрока: - верхняя цена игры (минимакс).