Методы оптимальных решений НИНХ

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭКОНОМИКИ И УПРАВЛЕНИЯ «НИНХ». Загружен вариант 034. Есть другие варианты. В архиве 2 файла с подробным решением всех 4-х задач и с ответами на тестовые задания. Задания во вкладке "Введение" ...

ЗАДАНИЕ 1…………………………………………………………….. 3
ЗАДАНИЕ 2 ……………………………………………………………. 12
ЗАДАНИЕ 3 …………………………………………………………….18
ЗАДАНИЕ 4 ……………………………………………………………. 26
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ …………………………………………… 31

Задание1.
Информация по фирме о нормах затрат ресурсов на единицу выпускаемой продукции, лимитах на эти ресурсы и ценах реализации готовой продукции представлена в таблице. Требуется:
1. Составить модель расчета оптимальной производственной программы для этой фирмы на основе задачи линейного программирования. 2. Используя графический метод решения этой модели, найти оптимальную программу выпуска продукции, максимизирующую ожидаемый объем продаж. 3. Сформировать задачу, двойственную к задаче расчета оптимальной производственной программы, и составить обе группы условий “дополняющей нежесткости”. 4. Подставив в условия “дополняющей нежесткости” оптимальную программу выпуска, найти предельную эффективность имеющихся у предприятия объемов ресурсов.
5. Выполнить проверку оптимальных реше ний прямой и двойственной задачи подстановкой их в ограничения и целевые функции.
Задание 2.
Учитывая данные задания 1, исследовать динамику предельной эффективно-сти сырья при изменении его объема от нуля до бесконечности при сохранении других ресурсов в прежних объемах. Требуется:
1. Рассмотреть модель расчета оптимальной производственной программы как задачу линейного программирования с параметром, выражающим объем сырья.
2. Используя графический метод решения прямой задачи при увеличении параметра от нуля до бесконечности и условия "дополняющей нежесткости", вычислить убывающие значения предельной эффективности и определить диапазоны их устойчивости.
3. Записать выявленную функцию предельной эффективности сырья в табличной форме и построить ее график.
Задание 3.
Необходимо доставить однородный груз от трех филиалов фирмы пяти потребителям. Известна матрица затрат на доставку единицы груза от каждого поставщика потребителю (руб.).
1. Составить ЭММ расчета оптимального плана перевозок.
2. Определить исходный опорный план методом северо-западного угла. 3. Найти оптимальный план перевозок методом потенциалов и указать соответствующие ему минимальные транспортные затраты.
Задача 4.
Фирма может влиять дополнительным финансированием на скорость строительства своего торгового павильона. Очередность выполнения работ, их нормальная и срочная продолжительность их выполнения, а также стоимость приведены в следующей таблице.
1. С учетом технологической последовательности работ построить сетевой график выполнения этих работ.
2. Рассчитать временные характеристики сетевого графика при нормаль-ном режиме выполнения работ. Найти критический путь, указать все возможные критические пути, определить стоимость всего комплекса работ.
3. Указать стратегию минимального удорожания комплекса работ при сокращении сроков строительства на 2 дня. В какую итоговую сумму обойдется ускоренная стройка павильона?

Такой линии уровня соответствует штрих - пунктирная прямая, проходящая через точку ОДР с координатами (67;61). Значит, в этой точке достигается максимальное значение уровня целевой функции над построенной областью допустимых решений. Вычисляем его подстановкой координат точки в целевую функцию. Отсюда оптимальным решением задачи является ,.В целях аналитической подстраховки найденного графически оптимального решения вычислим значение целевой функции в точке. Последний результат еще раз подтверждает правильность найденного оптимального решения задачи. Итак, оптимальной производственной программой предприятия на планируемый временной период будет выпуск первого продукта в объеме 67 единиц и второго продукта в объеме 61 единицы. При этом предприятие получит максимальную выручку в размере 33018 рублей.3. Для того, чтобы выбрать оптимальную стратегию расширения производства, нужно знать, какой рост достигнутого выше максимума выручки, следует ожидать от дополнительного привлечения единицы того или иного ресурса при сохранении других ресурсов в прежнем объеме.Пусть - величина ожидаемого роста найденного максимума выручки 33018 руб. от дополнительного вовлечения в производство 1 кг сырья, к имеющимися 329 кг. Эта величина называется предельной эффективностью 330-го килограмма сырья. - величина ожидаемого роста найденного максимума выручки 33018 руб. от дополнительного вовлечения в производство 1 ст. час. оборудования к имеющимися 372 ст. час. Эта величина называется предельной эффективностью 373-го ст. час. оборудования. - величина ожидаемого роста найденного максимума выручки 33018 руб. от дополнительного вовлечения в производство 1 чел. час.труда к имеющимися 995 чел. час. Эта величина называется предельной эффективностью 996-го чел. час. труда. Предельные эффективности , , могут быть вычислены как решение следующей задачи линейного программирования (1.2), называемой двойственной задачей. Она составлена на основе тех же исходных данных, как и предыдущая задача (1.1), называемая прямой задачей.Найти (1.2)Относительно рассматриваемых в данной работе задач (1.1) и (1.2) соответствующие условия «дополняющей нежесткости» первой и второй группы выглядят следующим образом. (1.3) (1.4)Из первой группы условий (1.3), так как , следует, что труд не лимитирует оптимальную программу, а значит . На рис. 2 очевидно, что прямая, связанная с трудом, проходит выше точки, которая соответствует оптимальной производственной программе, что показывает избыточность трудовых ресурсов для этой программы. Из второй группы условий (1.4), следует, что, если оба продукта выпускаются по оптимальной производственной программе, то есть , , то должны выполняться равенства Из двух последних уравнений, с учетом , перейдем к решению следующей системы Откуда получаем , , при этом для проверки вычислим.В соответствии с вышесказанным, найденное оптимальное решение двойственной задачи интерпретируется следующим образом.=54 руб.- величина ожидаемого роста найденного максимума выручки 33018 руб. от дополнительного вовлечения в производство 1 кг сырья к имеющимся 329 кг. =41 руб. - величина ожидаемого роста найденного максимума выручки 33018 руб. от дополнительного вовлечения в производство 1 ст. час. оборудования к имеющимся 372 ст. час. =0 руб. - величина ожидаемого роста найденного максимума выручки 33018 руб. от дополнительного вовлечения в производство 1 чел. час. труда к имеющимся 995 чел. час. 5. Выполним проверку оптимальных решений прямой и двойственной задачи подстановкой их в ограничения и целевые функции. Для прямой задачи имеем:Все условия выполнены.Для двойственной задачи имеем:Ответ: Оптимальной производственной программой предприятия на планируемый временной период будет выпуск первого продукта в объеме 67 единиц и второго продукта в объеме 61 единицы. При этом предприятие получит максимальную выручку в размере 33018 рублей.Найденное оптимальное решение двойственной задачи интерпретируется следующим образом.=54 руб.- величина ожидаемого роста найденного максимума выручки 33018 руб. от дополнительного вовлечения в производство 1 кг сырья к имеющимся 329 кг. =41 руб. - величина ожидаемого роста найденного максимума выручки 33018 руб. от дополнительного вовлечения в производство 1 ст. час. оборудования к имеющимся 372 ст. час. =0 руб. - величина ожидаемого роста найденного максимума выручки 33018 руб. от дополнительного вовлечения в производство 1 чел. час. труда к имеющимся 995 чел. час. Задание 2.Учитывая данные задания 1, исследовать динамику предельной эффективности сырья при изменении его объема от нуля до бесконечности при сохранении других ресурсов в прежних объемах.Требуется:1. Рассмотреть модель расчета оптимальной производственной программы как задачу линейного программирования с параметром, выражающим объем сырья.2. Используя графический метод решения прямой задачи при увеличении параметра от нуля до бесконечности и условия "дополняющей нежесткости", вычислить убывающие значения предельной эффективности и определить диапазоны их устойчивости.3. Записать выявленную функцию предельной эффективности сырья в табличной форме и построить ее график.Решение.При сохранении лимитов по другим ресурсам исследуем зависимость максимума выручки от изменения лимита сырья в диапазоне от нуля до бесконечности. Это значит, что при графическом анализе изменения области допустимых решений на рис. 3, прямая, связанная с оборудованием, и прямая, связанная с трудом, останутся на тех же местах, что и на рис. 1 и 2, рассмотренных в задаче 1, в то время как прямая по сырью будет менять свое положение. Пунктирные прямые на рис. 3, рассмотренные в порядке (1), (2), (3), (4), (5) отражают динамику роста лимитов потребления сырья для данного предприятия. Пунктирная прямая (3) соответствует первоначально заданному лимиту по сырью, равному 329 кг. Прямая (5) соответствует избыточному объему сырья по отношению ко всем программам, допустимым по лимитам для оборудования и труда.(1) (2) Рис. 3. Графический анализ изменения предельной эффективностидополнительно привлекаемой единицы сырьяПри лимите сырья, представленном пунктирной прямой (1), область допустимых решений задачи будет представлена треугольником, образованным этой прямой и осями координат. Для определения оптимального решения на таком треугольнике можно либо использовать градиент целевой функции, либо сравнить значения целевой функции в угловых точках треугольника. Такими точками можно взять, например, точки (0;60) и (15;0), расход сырья для которых одинаков и равен 60 кг. Выручку, соответствующую этим точкам, вычислим, как и . Отсюда видно, что оптимальным решением в данной ситуации будет точка , . Решение двойственной задачи для данной ситуации найдем по составленным выше условиям «дополняющей нежесткости».Из группы условий (1.3), так как и , следует, что оборудование и труд не лимитируют оптимальную программу, а значит , . Из группы условий (1.4) следует, что, если второй продукт выпускается по оптимальной производственной программе, то есть , то должно выполняться равенство Из последнего уравнения, с учетом , , получим .При повышении лимита потребления сырья пунктирная прямая будет двигаться по направлению от начала координат, а треугольник, отражающий ОДР, будет увеличиваться. При этом соответствующие оптимальные программы будут находиться на оси ординат, а вышеприведенные расчеты предельной эффективности сырья будут приводить к результату . Такая ситуация будет качественно сохраняться до тех пор, пока оптимальная программа не совпадет с точкой А, имеющей координаты . В данной точке, наряду с ограничением по сырью, будет ограничение по оборудованию. Поэтому расход сырья на программу А покажет правую границу диапазона устойчивости предельной эффективности . Каждый следующий за этой границей килограмм сырья будет расходоваться с меньшей предельной эффективностью.Для расчета расхода сырья на программу А подставим ее координаты в левую часть ограничения по сырью , а именно:.Результаты последних расчетов показали, что каждый дополнительный килограмм сырья в диапазоне от 1 до 74,4 будет давать прирост максимума выручки 259 руб.При дальнейшем увеличении лимита сырья ОДР будет представлять собой четырехугольник, сторонами которого являются оси координат и ограничения по сырью и оборудованию. При этом точка, соответствующая максимальному значению выручки будет находиться на отрезке АВ, а именно в точке пересечения ограничений по сырью и оборудованию.Для ответа на вопрос, будет ли прирастать максимум выручки при , нужно сравнить значения выручки для программы А и программы В.Значение выручки в точке В (67;61) будет равно 33018 (см. задачу 1).Значение выручки в точке А будет равно .Очевидно, что . Это означает дальнейший рост максимума выручки при движении ограничения по сырью от точки А через пунктирную линию (2) к точке В. Оптимальные программы будут находиться на отрезке АВ.