Реферат на тему : " Действительные числа. Делимость. Метод математической индукции.

Работа состоит из 5 разделов с историческими справками и выводами. ...

Содержание рассказывает о делимости по Б. Паскалю , о математической индукции содержит примеры решения задач на делимость с использованием этого метода.

Введение рассказывает о действительных числах и о их планетарной модели.

Индукция ( лат. inductio – наведение) – способ рассуждения от общего к частному, от фактов к обобщениям. Вот что пишет по поводу наблюдений великий мастер индукции один из крупнейших математиков XVIII века Леонард Эйлер (1707 – 1783) : “…в теории чисел , которая всё ещё не совершенна, наши самые большие надежды мы можем возлагать на наблюдения; они непрерывно будут вести нас к новым свойствам, которые позже мы будем стараться доказать. Этот вид знания, которое подкрепляется только наблюдениями и всё ещё не доказано, следует тщательно отличать от истины; оно, как мы обычно говорим, приобретается индукцией… мы должны пользоваться таким открытием как возможностью более точно исследовать эти открытые свойства и доказать их или опровергнуть; в обоих случаях мы можем научиться кое – чемуполезному.”
Индукция – это своего рода научная интуиция, которая применяется в различных областях знаний.
Например: до Менделеева постепенно накапливались знания об отдельных химических элементах., но эти знания не раскрывали еще действительной связи и взаимоотношений химических элементов..
Опираясь на накопленные индуктивным путем факты Менделеев создал свою знаменитую периодическую систему, которая раскрыла внутреннюю закономерную связь химических элементов. В свете теории Менделеева, его научных дедукций стало возможным еще более глубокое понимание и объяснение фактов.

ПРИМЕНЕНИЕ ИНДУКЦИИ В МАТЕМАТИКЕ.
Рассмотрим целые числа, определяемые формулой f(x)=x2+x+41. будем придавать
х значения 0,1,2,3,….. . 
Тогда f(0)=41, f(1)=43, f(2)=47, f(3)=53, f(4)=61, …
Из этих наблюдений можно сделать вывод, что формула f(x)=х2+х+41 даёт только простые числа. Утверждение это ошибочно. При х=40 получаем f(40)=402+40+41 - число составное, равное 1681=412
Или ещё один похожий пример.
Рассмотрим многочлен g(x)=n2 - n+41 и начнём придавать аргументу n значения, равные 1,2,3,4,5,… . В результате будем иметь g(1)=41, g (2)=43, g(3)=47, g (4)=53, g (5)=61,… 
Каждое из полученных решений представляет собой простое число. Отсюда можно предположить, что при любом натуральном n значение многочлена g(n) есть простое число. Эта гипотеза выдерживает испытание для всех n от 1 до 40. Но уже g(41)=412-составное число. Таким образом, наше предположение неверно.
От такого рода ошибок предостерегал Эйлер: “ Однако мы видели случаи, когда простая индукция вела к ошибке. Поэтому мы должны проявлять большую осторожность, чтобы не принять за истинные такие свойства чисел, которые мы открывали путём наблюдения и которые подкрепляются одной лишь индукцией”. Такую индукцию часто называют неполной.
Как указывал Эйлер, этот метод хорош лишь для того, чтобы угадать результат, который в дальнейшем надо строго доказать. И не всегда математикам удавалось найти нужное доказательство. А иногда его просто нет, как в рассмотренных нами примерах.
В случае, когда математическое утверждение касается конечного числа объектов, его можно доказать, проверяя для каждого объекта. Например, утверждение «каждое двузначное четное число является суммой двух простых чисел» следует из равенств:
10=5+5 12=5+7 14=7+7 16=5+11 18=5+13 20=7+ 13
22=11+11 24=11+13 26=13+13 28=5+23 30=7+23
90=7+83 92=3+89 94=5+89 96=7+89 98=19+79.
Метод доказательства, при котором проверяется утверждение для конечного числа случаев, исчерпывающих все возможности, называют полной индукцией. 
Этот метод применим сравнительно редко, поскольку математические утверждения касаются, как правило, не конечных, а бесконечных множеств объектов.
Например, доказанное выше полной индукцией утверждение о четных двузначных числах является лишь частным случаем теоремы: «Любое четное число является суммой двух простых чисел».
Эта теорема до сих пор ни доказана, ни опровергнута.
Чтобы избежать подобного рода ошибок, необходимо справедливость утверждения доказать методом, основанным на принципе математической индукции.
Метод доказательства, основанный на применении принципа математической индукции, носит название метода математической индукции.
Термин” математическая индукция”| был введен в 1835 г. в одноименной статье де Моргана в Британской энциклопедии.
Сейчас он широко используется в математике для доказательства различных тождеств, неравенств, а также решения задач на делимость.
МЕТОД МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ.
Если требуется доказать истинность предположения А(n ) для всех
натуральных n , то
1. Нужно проверить истинность высказывания А(1)
2. Нужно доказать, что высказывание А( n+1) истинное.
Если это удается доказать, причем доказательство остается справедливым
для всех натуральных n , то предположение А ( n) истинное для всех n .
ПРИМЕРЫ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ МЕТОДА МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ.
Задача 1. Доказать , что при любом натуральном n число 
32n+1+2n+2 делится на 7.
Доказательство:
Обозначим an=32n+1+2n+2.
1.Если n=1 , то a1=35 делится на 7. 
(впрочем, здесь начать можно и с n=0)
 2.Пусть ak делится на 7. ( предположение индукции)
Докажем справедливость утверждения для n=k+1 ak+1=32(k+1)+1+2(k+1)+2=32k+1 9+ 2k+2 2= (32k+1+2k+2)9-7 *2k+2=9ak-7*2k+2
Последнее число делится на 7 , т.к. представляет собой разность двух целых чисел, делящихся на 7.
Задача 2. 
Доказать, что число 7n+1+82n-1 делится на 19.
Доказательство:
1) Если n=1 , то 72+81+57, а 57 делится на 19. 
2) предположим, что утверждение верно при некотором натуральном n=k , т.е. число 7k+1+82k-1 делится на 19.
Докажем верность утверждения для n=k+1 
7(k+1)+1+82(k+1)-1=7k+2+82k+1=7*7k+1+64*82k-1=7(7k+1+82k-1)+57*82k-1. 
Так как каждое слагаемое полученной суммы делится на 19, то и 7k+2+82k+1 также делится на 19. Утверждение доказано.
Задача 3. Доказать, что при любом натуральном n число 23+1 делится на 3n+1
Доказательство: