ЭММ

10 задач ...

10 задач по Ивину

ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Вариант 83
Параметр варианта: δ = 507

10 задач

На трёх базах А1, А2 и А3 имеется однородный груз в количестве а1 тонн на базе A1, a2 тонн на базе A2 и а3 тонн на базе А3. Полученный груз требуется перевезти в пять пунктов: b1 тонн - в пункт B1, b2 тонн - в пункт В2, b3 тонн - в пункт В3, b4 тонн - в пункт В4 и b5 тонн в - пункт В5.
Затраты на перевозку 1 тонны груза между пунктами поставок и по­требления заданы матрицей тарифов С (в тыс. руб.).
Спланировать перевозки так, чтобы их стоимость была минимальной.
a1=400, b1=200,
a2=250, b2=170, 15 6 20 14 11
a3=350, b3=230, C= 14 6 7 11 12
b4=225, 8 16 26 12 8
b5=175.
Решение.
1) Обозначим через xij количество груза, перевозимого с базы Ai потребителю Bj. По смыслу значения xij не могут быть отрицательными, поэтому должно выполняться условие xij ≥0. Перевозки груза xij между пунктами можно спланировать по-разному, соответственно получится множество различных решений. Любое неотрицательное решение транспортной задачи называется планом перевозок.
Общая стоимость перевозок определяется функцией:
.
План перевозок, при котором функция Z принимает наименьшее значение, называется оптимальным.
2) Критерий оптимальности в методе потенциалов.
Пусть найдено некоторое решение X транспортной задачи и ему соответствует, например, следующая транспортная таблица:
Базы
П о т р е б и т е л и
Запасы,
(ai)
B1
B2
B3
B4
B5
A1
с11
x11
с12
–
с13
–
с14
–
с15
x15
a1
A2
с21
–
с22
x22
с23
x23
с24
–
с25
–
a2
A3
с31
–
с32
x32
с33
–
с34
x34
с35
x35
a3
Потреб-
ности, (bj)
b1
b2
b3
b4
b5
Некоторые клетки таблицы заполнены перевозками xij, а некоторые свободны. Строкам таблицы ставят в соответствие потенциалы ui, а столбцам – потенциалы vj. Затем для всех свободных клеток вычисляют косвенные тарифы и сравнивают со стоимостями этих же клеток. Если окажется, что все , то план перевозок оптимальный. Это и есть критерий оптимальности. Если же хотя бы в одном случае будет , то план не оптимальный, и его надо улучшать.
3) Решение задачи.
Сначала определим тип задачи: открытая или закрытая. Для этого вычислим суммы:
= 400+250+350=1000; = 200+170+230+225+175=1000.
Суммы равны, значит, задача закрытого типа и может быть решена методом потенциалов.
Запишем условие задачи в виде транспортной таблицы:
Базы
П о т р е б и т е л и
Запасы,
(ai)
B1
B2
B3
B4
B5
A1
15
6
20
14
11
a1 = 400
A2
14
6
7
11
12
a2 = 250
A3
8
16
26
12
8
a3 = 350
Потребнос-
ти, (bj)
b1 = 200
b2 = 170
b3 = 230
b4 = 225
b5 = 175
Построим первоначальный план перевозок {xij}, i=1,2,3; j=1,2,3,4,5 методом наименьшей стоимости.
Выберем в исходной таблице клетку (A1B2) с наименьшей стоимостью c12=6. Поставим в неё значение, равное min(a1, b2)=min(400, 170)=170. Тем самым спланировали перевозку x12=170 т груза с базы A1 потребителю B2. В результате потребности b2 полностью удовлетворены, поэтому столбец B2 больше не рассматриваем и в остальные его клетки ставим прочерк. Запомним, что на базе A1 осталось ещё a1' = a1 - x12 = 400-170=230 т груза.
Построение первоначального плана будем вести в таблице 1.
Таблица 1
Базы
П о т р е б и т е л и
Запасы,
(ai)
B1
B2
B3
B4
B5
A1
15
–
6
170
20
–
14
205
11
25
a1 = 400
A2
14
–
6
–
7
230
11
20
12
–
a2 = 250
A3
8
200
16
–
26
–
12
–
8
150
a3 = 350
Потреб-
ности, (bj)
b1 = 200
b2 = 170
b3 = 230
b4 = 225
b5 = 175
Из оставшихся клеток таблицы (1) снова выбираем клетку с наименьшей стоимостью. Это клетка (A2B3) со стоимостью c23=7. Ставим в неё перевозку x23=min(a2,b3)=min(250, 230)=230. В результате потребности b3 полностью удовлетворены, поэтому столбец B3 вычеркиваем. Запомним, что на базе A2 осталось ещё a2' = a2 - x23 = 250-230=20 т груза.
Продолжаем заполнять таблицу 1 аналогичным образом.
В клетку (A3B1) со стоимостью c31=8 ставим перевозку x31=min(a3,b1)= =min(350,200)=200. Столбец B1 вычёркиваем. Запомним, что на базе A3 осталось ещё a3'=a3 - x31 =350-200=150 т груза.
В клетку (A3B5) с наименьшей стоимостью c35=8 ставим перевозку x35=min(a3',b5)=min(150, 175)=150. Весь груз с базы A3 вывезен полностью, поэтому строку А3 вычёркиваем. Запомним, что потребителю В5 требуется ещё
b5' = b5 - x35 = 175-150=25 т груза.
В клетку (A2B4) ставим перевозку x24=20, в клетку (A1B5) ставим перевозку x15=25 и в последнюю клетку (A1B4) ставим остаток x14 = 205.
Первоначальный план построили, стоимость перевозок по нему составляет:
Z1 = 170∙6 + 205∙14 + 25∙11 + 230∙7 + 20∙11 + 200∙8 + 150∙8 = 8795.
Проверим этот план на оптимальность методом потенциалов. Поставим в соответствие строкам таблицы 1 числа ui, а столбцам – числа vj, называемые потенциалами. Подберём потенциалы так, чтобы для всех клеток, занятых перевозками xij, выполнялись условия: ui + vj = cij.
Из этих условий составим систему уравнений:
u1+v2 = 6
u1+v4 =14
u1+v5 =11
u2+v3 = 7
u2+v4 =11
u3+v1 = 8
u3+v5 = 8
В этой системе 7 уравнений и 8 неизвестных потенциалов. Чтобы её решить, положим любой из потенциалов равным нулю, например, u1=0. Тогда последовательно находим:
v2=6, v4=14, v5=11, u2=11-v4= -3, v3=7-u2 =10, u3=8-v5= -3, v1=8-u3=11.
Теперь для всех клеток, не занятых перевозками xij, вычислим косвенные тарифы и сравним их со стоимостями cij этих же клеток. Если окажется, что все cij* ≤ cij, то план перевозок оптимальный. Если же хотя бы в одном случае будет cij* > cij, то план не оптимальный и его надо улучшать.
Проверяем косвенные тарифы незанятых клеток таблицы 1:
c11*= u1+v1= 0+11=11≤15; c13*= u1+v3= 0+10=10≤20;
c21*= u2+v1= -3+11=8≤14; c22*=u2+v2= -3+6=3≤6; c25*=u2+v5= -3+11=8≤12;
c32*= u3+v2= -3+6= 3≤16; c33*= u3+v3= -3+10=7≤26; c34*= u3+v4= -3+14=11≤12.
Все cij* ≤ cij, значит, второй план перевозок оптимальный, и ему соответствует наименьшая стоимость Zmin = Z1 = 8795 единиц.
Итак, в соответствии с оптимальным планом следует перевезти:
с базы A1: 170 т груза потребителю B2,
205 т -“- -“- B4,
25 т -“- -“- B5;
с базы A2: 230 т -“- -“- B3,
20 т -“- -“- B4;
с базы A3: 200 т -“- -“- B1,
150 т -“- -“- B5.
Задание 10. Прогнозирование товарооборота.
1. Дайте понятие прогноз и прогнозное планирование.
2. Тренд, уравнение тренда, экономический смысл коэффициентов уравнения тренда.
3. Спрогнозировать объем товарооборота на основе данных таблицы:
а) определить параметры тренда;
б) спрогнозировать объем товарооборота на 2009 г.;
с) оценить погрешность прогноза, сравнив фактические и прогнозные значения
за 2009 г.
Месяц
2005 г.
2006 г.
2007 г.
2008 г.
2009 г.
1
4,9
24,5
64,0
76,6
87,8
2
6,2
32,2
63,8
76,7
88,4
3
7,8
34,6
64,1
77,0
88,6
4
8,8
35,6
65,2
77,6
89,3
5
10,2
29,6
65,4
78,2
88,6
6
10,4
34,6
65,0
76,4
89,2
7
10,3
33,0
65,6
79,1
90,6
8
14,0
39,2
72,6
80,4
90,2
9
18,4
38,6
68,1
80,8
92,4
10
22,9
44,3
71,6
88,6
93,7
11
25,3
57,4
71,6
85,8
94,3
12
30,4
61,3
73,0
86,7
92,5
Решение.
1. Прогноз – обоснованное суждение о возможном состоянии изучаемого объекта в будущем. Прогнозирование – процесс разработки прогноза. Этап прогнозирования – часть процесса разработки прогнозов, характеризующаяся своими задачами, методами и результатами. Деление на этапы связано со спецификой построения систематизированного описания объекта прогнозирования, сбора данных, с построением модели, верификацией прогноза.
Прием прогнозирования – один или несколько математических или логических методов, направленных на получение конкретного результата в процессе разработки прогноза. В качестве методов могут выступать сглаживание динамического ряда, определение компетентности эксперта, вычисление средневзвешенного значения оценок экспертов и т. д.
Модель прогнозирования – математическая модель объекта прогнозирования, исследование которой позволяет получить информацию о возможном поведении и состояниях исследуемого объекта в будущем.
Прогнозное планирование – планирование на основе полученной модели прогнозирования.
2. Тренд – это основная тенденция развития социально-экономических процессов во времени или основное изменение количественных показателей изучаемых объектов, например, изменение цены товаров, изменение объемов произведенной продукции и т. д. Тренд может иметь ярко выраженный характер, например, растущий или падающий, а может не иметь определенной тенденции (флэтовый – боковой – тренд).
Математической моделью тренда является уравнение тренда, в котором в качестве независимой переменной выступает время t. На практике чаще всего используется следующие уравнения тренда:
а) линейное уравнение: . Оно характеризует равномерное поступательное развитие. Параметр b определяет направление развития: при b >0 тренд возрастающий, при b <0 – убывающий.
б) параболическое уравнение: . Оно характеризует равноускоренное (равнозамедленное) развитие. Параметры a и b такие же, как в линейном уравнении, параметр c характеризует ускорение развития во времени: при c>0 тренд ускоряется, при c<0 – замедляется.
Для моделирования тренда применяются также другие математические функции:
гиперболическая: ,
показательная: ,