Интерполяция функций (Численные методы, Delphi)

Лабораторная работа по предмету:
"Численные методы и оптимизация".
Отчет + программа на Delphi позволяющая интерполировать либо экстраполировать функции при помощи итерационного полинома Ньютона. ...

1. Постановка задачи
2. Численное решение
3. Программная реализация
3.1. Описание процедур и функций
3.2. Блок-схемы основных подпрограмм
3.3. Текст программы
Вывод

Функция заданна таблично
2,211 9,124537
2,218 9,188935
2,225 9,253483
2,232 9,318484
2,239 9,383943
2,246 9,449861
2,253 9,516242
2,260 9,583089
2,267 9,650406
2,274 9,718196

С помощью интерполяционного полинома в форме:
а) Ньютона,
б) Лагранжа
необходимо:
1. Вычислить 1) f (2,265);
2) f (2,205).
2. Найти x, при котором y = 9,445566.
3. Оценить погрешность приближения функции интерполяционным полиномом Pn(x) (n=1,2,…,8) в точке x = 2,265.
4. Выбрать оптимальные узлы интерполяции.

 
 
 
 
 
0,06779
 
 
 
 
 
 
 
 
2,274
9,7182
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Так как x = 2,265; x0 =2,260 ; h =0,007, то
Интерполяционный полином Ньютона для интерполяции вперед будет
иметь следующий вид:
Интерполяционный полином Лагранжа
При n = 1 интерполяционный полином Лагранжа будет иметь следующий вид:
Экстраполяция функции
(2,205).
Интерполяционный полином Ньютона
Так как x = 2,205; x0 = 2,211; h = 0,007, то
Интерполяционный полином Лагранжа
Обратная интерполяция
y = 9,445566.
Составляем таблицу приближений параметра q
№
q
E
0,938137
1
0,935035
0,003102
2
0,935056
2,05E-05

Оценка погрешности приближения функции
интерполяционным полиномом
x = 2,265.
n
∆n+1y
Rn(x)
1
0,06779
4,8274E-05
2
0,000473
3,09E-05
3
0,000303
3,06E-07
4
3E-06
3,00054E-05
5
0,000294
6,12355E-07
6
6E-06
2,81683E-05
7
0,000276
-2,756E-06
8
-2,7E-05
Выбор оптимальных узлов интерполяции
n
xi
2,211388
1
2,214433
2
2,220226
3
2,228199
4
2,237572
5
2,247428
6
2,256801
7
2,264774
8
2,270567
9
2,273612
3. ПРОГРАММНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ
3.1 Описание процедур и функций
Разработанное программное средство позволяет интерполировать либо экстраполировать функции при помощи итерационного полинома Ньютона. Входными данными являются координаты точек, полученные эмпирическим путем, и значение аргумента, значение функции при котором необходимо узнать.
Функция function niuton(x:real):real вычисляет значение первого полинома Ньютона. Возвращаемое функцией значение выводится на экран.
function obrniuton(x:real):real вычисляет значение второго полинома Ньютона. Возвращаемое функцией значение выводится на экран.
Для построения графика считываются значения функции из таблицы и используются значения, полученные с помощью интерполяционного полинома Ньютона.
3.2 Блок-схемы основных подпрограмм
Рис1. Блок-схема функции niuton

Рис2. Блок-схема функции obrniuton
3.3 Текст программы
unit interp;
interface
uses
Windows, Messages, SysUtils, Variants, Classes, Graphics, Controls, Forms,
Dialogs, StdCtrls, ComCtrls, Grids, ExtCtrls, Buttons, Series, TeEngine,
BubbleCh, TeeProcs, Chart;
type
matr=array[1..50,1..50] of real;
otvet=array[1..150] of real;
tabl=array [1..100,1..2] of double;
TForm1 = class(TForm)
StringGrid1: TStringGrid;
RadioGroup1: TRadioGroup;
BitBtn1: TBitBtn;
Chart1: TChart;
Button1: TButton;
Series1: TBubbleSeries;
Series2: TLineSeries;
StaticText1: TStaticText;
Bevel1: TBevel;
Bevel2: TBevel;
StaticText2: TStaticText;
StaticText3: TStaticText;
Edit4: TEdit;
StaticText4: TStaticText;
Edit5: TEdit;
StaticText5: TStaticText;
StaticText6: TStaticText;
Label1: TLabel;
Edit3: TEdit;
Edit2: TEdit;
Label2: TLabel;
Series3: TBubbleSeries;
procedure inptfunc;
procedure strtcalc(Sender: TObject);
procedure Button1Click(Sender: TObject);
private
{ Private declarations }
public
{ Public declarations }
end;
var
Form1: TForm1;
mass:matr;
func:tabl;
n:integer;
pogr:real;
implementation
{$R *.dfm}
procedure tform1.inptfunc;
var
i:integer;
begin
series1.Clear;
for i:=1 to n do
begin
func[i,1]:=strtofloat(form1.StringGrid1.Cells[0,i-1]);
func[i,2]:=strtofloat(form1.StringGrid1.Cells[1,i-1]);
Series1.addBubble(func[i,1],func[i,2],0.1,'',clred);
end;
end;
function factor(r:integer):integer;
begin
if r=1 then result:=1;
if r>1 then result:=r*factor(r-1);
end;
function obrrazn(por:integer):real;
var
mas:array [1..100,1..100] of real;
i,j:integer;
begin
for i:=2 to por do
begin
if i=2 then for j:=1 to n-1 do
begin
mas[j,i]:=(func[j+1,2]-func[j,2])/(func[j+1,1]-func[j,1]);
end;
if i>2 then
begin
for j:=1 to por-i+1 do
begin
mas[j,i]:=(mas[j+1,i-1]-mas[j,i-1])/(func[j+i-1,1]-func[j,1])
end;
end;
end;
result:=mas[n-por,por]
end;
function obrniuton(x:real):real;
var
i:integer;
poli,mult,chis:real;
begin
pogr:=0;
poli:=func[n,2];
mult:=1;
for i:=n downto 2 do
begin
mult:=mult*(x-func[i,1]);
poli:=poli+(mult*obrrazn(n-i+2));
end;
obrniuton:=poli;
chis:=1;
for i:=1 to n-1 do
begin
chis:=chis*(x-func[i,1]);
end;
pogr:=(abs(obrrazn(n-1))/factor(n))*abs(chis);
end;
function razn(por:integer):real;
var
mas:array [1..100,1..100] of real;
i,j:integer;
begin
for i:=2 to por do
begin
if i=2 then for j:=1 to n-1 do
begin
mas[j,i]:=(func[j+1,2]-func[j,2])/(func[j+1,1]-func[j,1]);
end;
if i>2 then
begin
for j:=1 to por-i+1 do
begin
mas[j,i]:=(mas[j+1,i-1]-mas[j,i-1])/(func[j+i-1,1]-func[j,1])
end;
end;
end;
result:=mas[1,por]
end;
function niuton(x:real):real;