Практическое занятие по теме:Комплексные числа"

Работа содержит методический материал по обучению учащихся работе с комплексными числами.Кроме этого здесь есть теория этого вопроса и история появления понятия "комплексное число". ...

Работа состоит из теории, практики и исторического экскурса по теме: " Комплексное число".

Моя работа предназначена для студентов педагогических университетов, а также учителей математики .

Организация выполнения ученического
проекта по теме “Математические структуры”

Введение:
«Проект – это совокупность определенных действий, документов, предварительных текстов, замысел для создания реального объекта, предмета, создание разного рода теоретического продукта. Это всегда творческая деятельность. В основе метода проектов лежит развитие познавательных творческих навыков учащихся; умений самостоятельно конструировать свои знания, умений ориентироваться в информационном пространстве, развитие критического мышления» (Е.С.Полат).
Несомненна польза от раннего знакомства существенно усиливается тем, что позволяет предложить школьникам, в качестве отдельных тем исследования, сопровождающие и развивающие включенные в нее математические структуры. С одной стороны, это структуры, достаточно традиционные в математике и приложениях, но выходящие за рамки школьной программы.
Педагог в этой ситуации не только активный участник образовательного процесса: он не столько учит, сколько понимает и чувствует, как ребенок учится сам. Это задача личностно ориентированной педагогики.
Роль учителя в проектной деятельности:
1. Помогать ученикам в поиске источников;
2. Самому являтся источником информации;
3. Координировать весь процесс;
4. Поддерживать и поощрять учеников;
5. Поддерживать непрерывную связь с детьми;
6. Организовывать представление результатов работы в различных формах.
Проектное обучение активизирует усвоение знаний учениками, поскольку оно:
1. Ориентировано на личность учащегося;
2. Использует множество дидактических приемов;
3. Самомотивируемо;
4. Позволяет самореализоваться учащимся и приносит им удовлетворение от собственного труда.
Анализируя учебный проект, педагог мысленно представляет себе реакцию детей, обдумывает форму предложения рассмотреть проблему, найти решение задачи проекта, окунуться в ситуацию сюжета. Учащиеся личностно и «присваивая» проблему проекта, стремятся к оптимальной форме её разрешения, что повышает качество обучения.
Проект – это результат скоординированных совместных действий группы или нескольких групп учащихся.
Работа над проектом проходит в шесть этапов.
1. Подготовка Определение темы и целей проекта. Обсуждают тему с
учителем и получают при необходимости информацию, устанавливают цели.
2. Учитель знакомит со смыслом проектного подхода и мотивирует учащихся, помогает в постановке целей.
3. Учитель определяет источники информации;
4. Учитель устанавленивает процедуру оценки результатов и процесса;
5. Разделение задач (обязанностей между членами команды)
6. Совместно вырабатывают план действий, формируют задачи, предлагают идеи, высказывают предположения.
Реализация проекта “ Математические структуры “ дает возможность вызвать у учащихся интерес к изучению математики , как науки, способствует познанию ее серьезного прикладного значения, формирует целостную картину мира.
Дидактический материал : (анкета, задания и инструкции для групп, презентация вводного урока к проекту)
Примерные темы презентаций.
1. Конечные поля и кольца;
2. Кольца двойных, дуальных и более общих квазикомплексных чисел (связанных с полем комплексных чисел и кольцами матриц);
3. Тела (поля, например, кватернионы) и обобщающие их клиффордовы алгебры;
4. Булевы алгебры и дистрибутивные решетки (к полукольцам);
5. Сидемпотентные полукольца и полуполя (с полем действительных чисел операцией деквантования – логарифмического преобразования элементов, например, (max-plus)-алгебры);
6. MV-алгебры; алгебры с отличными от привычных операциями (например, t-нормами, t- конормами, унинормами), связанные с нечеткой логикой.
    Можно было бы взять и другие математические структуры, возникающие в современных приложениях (например, в задачах искусственного интеллекта). Это мотивирует их систематическое изучение, причем они доступны восприятию скорее в юношеском, чем в зрелом, отягощенном математическими традициями, возрасте.
В конце урока необходимо обобщить полученные знания и умения, сделать выводы и выставить оценки учащимся .
Текст беседы для знакомства учеников с аксиоматикой действительных чисел и комплексных чисел.
Цель урока:
Вспомнить изученные в школьном курсе множества чисел;
Углубить теорию построения натуральных чисел по аксиоматике Пеано;
Расширить множество чисел введением комплексных чисел;
Ознакомить с арифметическими действиями над комплексными числами;
Связать множества чисел с помощью кругов Эйлера.
Использованный материал и средства: интерактивная доска, раздаточный материал.
Беседа проходит в режиме вопрос-ответ.
Учитель: Первобытный человек не мог обойтись без счёта. Счёт в разное время вёлся по-разному : камешками, узлами, значками на камнях, папирусе.Изучение математики начиналось с натуральных чисел, недаром они и назывались натуральными, т.е. «природными», естественными, обыкновенными. Они нужны прежде всего для счёта предметов.
Вопрос1 Какие числа называются натуральными ?
Ответ: Натуральными называются числа от 1 до бесконечности и обозначаются латинской буквой N
Вопрос 2 Что мы знаем о множестве натуральных чисел ?
Ответ: 1. Это множество упорядочено. Эта фраза означает, что о любых двух натуральных неравных числах всегда можно сказать, что одно из них меньше другого.
2. Это множество ограничено снизу. Это значит, что в нём существует число, меньше которого уже нет. Это число 1.
3. Это множество неплотно. Между двумя натуральными числами далеко не всегда удаётся вставить третье так, чтобы оно было больше одного, но меньше другого.
4. Это множество бесконечно.
Учитель: Мысль о таком построении теории натуральных чисел давно привлекала учёных, попыток было сделано немало, но наиболее удачной оказалась система аксиом, сформулированных итальянским учёным Джузеппе Пеано (1858-1932). Оказалось, что для дедуктивного построения арифметики натуральных чисел достаточно всего четырёх аксиом.
Аксиома 1. Существует натуральное число единица, не следующее ни за каким числом.
Аксиома 2. За любым натуральным числом следует одно и только одно число.
Аксиома 3. Всякое натуральное число, кроме единицы, следует за одним и только одним числом.
Аксиома 4. Если какая-либо теорема о свойствах натуральных чисел доказана для единицы и если из допущения, что она верна для нату- рального числа n , следует, что она верна и для числа, непосредствен- но следующего за n , то она верна для всех натуральных чисел.
Учитель: Достаточно ли для человека множества натуральных чисел? Конечно, нет. Вы уже знакомы с отрицательными числами …-3, -2, -1 и др., каждое из которых противоположно какому-нибудь натуральному.
Вопрос 3 Какие числа называтся целыми?
Ответ: Целыми называются числа отрицательные, натуральные и ноль.
Учитель: Как только людям понадобилось что-либо делить на части и что-то измерять, так оказалось, что натуральных чисел не хватает. Нужны были новые числа – дробные.
Вопрос 4 Какие числа называются рациональными ?
Ответ: Множество дробных чисел вместе с целыми называется множеством рациональных чисел и обозначается буквой Q (от первой буквы французского слова quotient–отношение).
Учитель: На уроке алгебры мы с вами рассматривали квадрат со стороной равной единице и пытались найти длину его диагонали. Стали нужны новые числа. Их назвали иррациональными. Очень долго люди считали, что существуют только натуральные числа и числа, представляющие собой их отношение (лат.Ratio – отношение), т.е обыкновенные дроби. Иррациональные числа – значит не выражающиеся в виде такого отношения, не рациональные. Сам факт существования таких чисел долго не укладывался в сознании учёных древности, убеждённых в том, что все в природе, все её явления и законы описываются законами, представляющими различные отношения целых чисел. А тут оказалось, что длина диагонали квадрата таким отношением не описывается. Существует легенда, будто этот факт настолько потряс Пифагора и его учеников, что они решили скрыть это от всех. Но, как это часто бывает со всякого рода тайнами, нашёлся некто Гиппас, который всё же не удержался и разгласил запретную информацию. Легенда утверждает, что боги наказали его - он утонул во время кораблекрушения. Теорию вычисления с иррациональностями и геометрическую интерпритацию этого создал немецкий математик Рихард Дедекинд(1831-1916).
Вопрос 5 Какие числа называются действительными ?
Ответ: Иррациональные числа вместе с рациональными составляют множество действительных чисел и обозначается буквой R.
На интерактивной доске изображены различные числа. Учащиеся проверяют себя, выбирая из ряда чисел натуральные, целые, рациональные, иррациональные, а также вспоминают некоторые замечательные числа.
Учитель: Однако множество чисел оказывается ещё шире. Существует число, квадрат которого равен -1. Это число обозначили через i. Выполняется равенство i 2 = -1. С помощью этого числа можно показать все другие числа, квадраты которых равны отрицательному числу. Это комплексные числа и обозначаются буквой С.
Комплексные числа задаются в виде а + вi, где а – вещественная часть, в – мнимая часть. Например:
С = 2 + 3i
В = 3 – 7i
Покажем связь между множествами чисел с помощью кругов Эйлера.
Закрепление знаний.
Верны ли утверждения:
Вопрос 1 Любое ли рациональное число является комплексным ?
Вопрос 2 Любое ли комплексное число рационально ?
Вопрос 3 Любое ли целое число является комплексным ?
Вопрос 4 Любое ли комплексное число является целым?
Седьмая проблема Гильберта.
Алгебраические и трансцендентные числа.
Число  называется алгебраическим, если оно является корнем некоторого многочлена с целыми коэффициентами 
anxn+an-1xn-1+... +a1x+a0
(т. е. корнем уравнения anxn+an-1xn-1+... +a1x+a0=0, где an, an-1, ..., a1, a0 --- целые числа, n 1, an0).
Множество алгебраических чисел обозначим буквой .
Легко видеть, что любое рациональное число является алгебраическим. Действительно,  --- корень уравнения qx-p=0 с целыми коэффициентами a1=q и a0=-p. Итак, .
Однако не все алгебраические числа рациональны: например, число  является корнем уравнения x2-2=0, следовательно,  --- алгебраическое число.
Долгое время оставался нерешенным важный для математики вопрос:
Существуют ли неалгебраические действительные числа? Далее история открытия трансцендентного числа развивается стремительно:
В 1844 году Лиувилль впервые привел пример трансцендентного (т. е. неалгебраического) числа когда доказал теорему о том, что алгебраическое число невозможно слишком хорошо приблизить рациональной дробью
В 1873 году  Эрмит доказал трансцендентность числа e, основания натуральных логарифмов.
В 1882 году Линдеман доказал теорему о трансцендентности степени числа e с ненулевым алгебраическим показателем, тем самым доказав трансцендентность числа  и неразрешимость задачи квадратуры круга.
Квадратура круга.
Задач, которые пытались решить еще математики Древней Греции было было три: об удвоении куба, о трисекции угла и о квадратуре круга.
Задача о квадратуре круга. На плоскости имеется круг. При помощи циркуля и линейки построить квадрат, площадь которого равна площади этого круга.
Пусть круг имеет радиус 1, т. е. задан отрезок длины 1. Площадь этого круга равна , поэтому построение искомого квадрата сводится к построению отрезка длины .
Далее воспользуемся известным геометрическим фактом: если задан отрезок длины 1, то с помощью циркуля и линейки можно построить только такие отрезки, длины которых суть числа очень специального вида. А именно, эти числа могут быть получены из рациональных чисел с помощью операций извлечения квадратного корня, а также сложения и умножения.
Поскольку число  трансцендентно, то и  трансцендентно. Поэтому построить отрезок длины  при помощи циркуля и линейки невозможно.
Вы видите, как решение задачи теории чисел о трансцендентности числа влечет решение геометрической задачи. Это еще один яркий пример тесной связи между различными областями математики.
Формулировка проблемы.
В 1900 году на II Международном конгрессе математиков Гильберт в числе сформулированных им проблем сформулировал седьмую проблему:
Пусть a --- положительное алгебраическое число, не равное 1, b --- иррациональное алгебраическое число. Доказать, что ab есть число трансцендентное.
В 1934 году советский математик Гельфонд и чуть позже немецкий математик Шнайдер доказали справедливость этого утверждения, и таким образом, эта проблема была решена.
Пример: Пусть a и b --- иррациональные числа. Может ли число ab быть рациональным?
Конечно, с использованием седьмой проблемы Гильберта эту задачу решить нетрудно. В самом деле, число  --- трансцендентное (поскольку  --- алгебраическое иррациональное число). Но все рациональные числа являются алгебраическими, поэтому  --- иррациональное. С другой стороны, 
()=* =2=2.

Организация выполнения ученического
проекта по теме “Математические структуры”

Введение:
«Проект – это совокупность определенных действий, документов, предварительных текстов, замысел для создания реального объекта, предмета, создание разного рода теоретического продукта. Это всегда творческая деятельность. В основе метода проектов лежит развитие познавательных творческих навыков учащихся; умений самостоятельно конструировать свои знания, умений ориентироваться в информационном пространстве, развитие критического мышления» (Е.С.Полат).
Несомненна польза от раннего знакомства существенно усиливается тем, что позволяет предложить школьникам, в качестве отдельных тем исследования, сопровождающие и развивающие включенные в нее математические структуры. С одной стороны, это структуры, достаточно традиционные в математике и приложениях, но выходящие за рамки школьной программы.
Педагог в этой ситуации не только активный участник образовательного процесса: он не столько учит, сколько понимает и чувствует, как ребенок учится сам. Это задача личностно ориентированной педагогики.
Роль учителя в проектной деятельности:
1. Помогать ученикам в поиске источников;
2. Самому являтся источником информации;
3. Координировать весь процесс;
4. Поддерживать и поощрять учеников;
5. Поддерживать непрерывную связь с детьми;
6. Организовывать представление результатов работы в различных формах.
Проектное обучение активизирует усвоение знаний учениками, поскольку оно:
1. Ориентировано на личность учащегося;
2. Использует множество дидактических приемов;
3. Самомотивируемо;
4. Позволяет самореализоваться учащимся и приносит им удовлетворение от собственного труда.
Анализируя учебный проект, педагог мысленно представляет себе реакцию детей, обдумывает форму предложения рассмотреть проблему, найти решение задачи проекта, окунуться в ситуацию сюжета. Учащиеся личностно и «присваивая» проблему проекта, стремятся к оптимальной форме её разрешения, что повышает качество обучения.
Проект – это результат скоординированных совместных действий группы или нескольких групп учащихся.
Работа над проектом проходит в шесть этапов.
1. Подготовка Определение темы и целей проекта. Обсуждают тему с
учителем и получают при необходимости информацию, устанавливают цели.
2. Учитель знакомит со смыслом проектного подхода и мотивирует учащихся, помогает в постановке целей.
3. Учитель определяет источники информации;
4. Учитель устанавленивает процедуру оценки результатов и процесса;
5. Разделение задач (обязанностей между членами команды)
6. Совместно вырабатывают план действий, формируют задачи, предлагают идеи, высказывают предположения.
Реализация проекта “ Математические структуры “ дает возможность вызвать у учащихся интерес к изучению математики , как науки, способствует познанию ее серьезного прикладного значения, формирует целостную картину мира.
Дидактический материал : (анкета, задания и инструкции для групп, презентация вводного урока к проекту)
Примерные темы презентаций.
7. Конечные поля и кольца;
8. Кольца двойных, дуальных и более общих квазикомплексных чисел (связанных с полем комплексных чисел и кольцами матриц);
9. Тела (поля, например, кватернионы) и обобщающие их клиффордовы алгебры;
10. Булевы алгебры и дистрибутивные решетки (к полукольцам);
11. Сидемпотентные полукольца и полуполя (с полем действительных чисел операцией деквантования – логарифмического преобразования элементов, например, (max-plus)-алгебры);
12. MV-алгебры; алгебры с отличными от привычных операциями (например, t-нормами, t- конормами, унинормами), связанные с нечеткой логикой.
    Можно было бы взять и другие математические структуры, возникающие в современных приложениях (например, в задачах искусственного интеллекта). Это мотивирует их систематическое изучение, причем они доступны восприятию скорее в юношеском, чем в зрелом, отягощенном математическими традициями, возрасте.
В конце урока необходимо обобщить полученные знания и умения, сделать выводы и выставить оценки учащимся .
Текст беседы для знакомства учеников с аксиоматикой действительных чисел и комплексных чисел.
Цель урока:
Вспомнить изученные в школьном курсе множества чисел;
Углубить теорию построения натуральных чисел по аксиоматике Пеано;
Расширить множество чисел введением комплексных чисел;
Ознакомить с арифметическими действиями над комплексными числами;
Связать множества чисел с помощью кругов Эйлера.
Использованный материал и средства: интерактивная доска, раздаточный материал.
Беседа проходит в режиме вопрос-ответ.
Учитель: Первобытный человек не мог обойтись без счёта. Счёт в разное время вёлся по-разному : камешками, узлами, значками на камнях, папирусе.Изучение математики начиналось с натуральных чисел, недаром они и назывались натуральными, т.е. «природными», естественными, обыкновенными. Они нужны прежде всего для счёта предметов.
Вопрос1 Какие числа называются натуральными ?
Ответ: Натуральными называются числа от 1 до бесконечности и обозначаются латинской буквой N
Вопрос 2 Что мы знаем о множестве натуральных чисел ?
Ответ: 1. Это множество упорядочено. Эта фраза означает, что о любых двух натуральных неравных числах всегда можно сказать, что одно из них меньше другого.
2. Это множество ограничено снизу. Это значит, что в нём существует число, меньше которого уже нет. Это число 1.
3. Это множество неплотно. Между двумя натуральными числами далеко не всегда удаётся вставить третье так, чтобы оно было больше одного, но меньше другого.
4. Это множество бесконечно.
Учитель: Мысль о таком построении теории натуральных чисел давно привлекала учёных, попыток было сделано немало, но наиболее удачной оказалась система аксиом, сформулированных итальянским учёным Джузеппе Пеано (1858-1932). Оказалось, что для дедуктивного построения арифметики натуральных чисел достаточно всего четырёх аксиом.
Аксиома 1. Существует натуральное число единица, не следующее ни за каким числом.
Аксиома 2. За любым натуральным числом следует одно и только одно число.
Аксиома 3. Всякое натуральное число, кроме единицы, следует за одним и только одним числом.
Аксиома 4. Если какая-либо теорема о свойствах натуральных чисел доказана для единицы и если из допущения, что она верна для нату- рального числа n , следует, что она верна и для числа, непосредствен- но следующего за n , то она верна для всех натуральных чисел.
Учитель: Достаточно ли для человека множества натуральных чисел? Конечно, нет. Вы уже знакомы с отрицательными числами …-3, -2, -1 и др., каждое из которых противоположно какому-нибудь натуральному.
Вопрос 3 Какие числа называтся целыми?
Ответ: Целыми называются числа отрицательные, натуральные и ноль.
Учитель: Как только людям понадобилось что-либо делить на части и что-то измерять, так оказалось, что натуральных чисел не хватает. Нужны были новые числа – дробные.
Вопрос 4 Какие числа называются рациональными ?
Ответ: Множество дробных чисел вместе с целыми называется множеством рациональных чисел и обозначается буквой Q (от первой буквы французского слова quotient–отношение).