Метод Крамера, метод Гаусса, угол между векторами, угол между прямой и плоскостью, вид кривой.

Подробно решена контрольная работа по линейной алгебре. Задачи на решение систем уравнений методом Крамера, Гаусса, нахождение углов между векторами, прямой и плоскостью, вид кривой. ...

1. Решить матричное уравнение (с нахождением обратной матрицы);
2. решить систему уравнений по методу Крамера (формулы включены);
3. решить систему уравнений по методу Гаусса;
4. найти угол между векторами (через нахождение скалярного произведения векторов);
5. определить вид и расположение кривой второго порядка;
6. найти угол между прямой и плоскостью.

Подробное решение задач по высшей математике.

Приведем расширенную матрицу системы по методу Гаусса к ступенчатому виду, используя элементарные преобразования:
1. К 1-ой строке прибавим третью, умноженную на -1.
2. Сложим 2-ю, 3-ю, 4-ю строчки последовательно с 1-ой, умноженной на -3, -4, -5 соответственно.
3. Разделим 2-ю, 3-ю, 4-ю строчки на -2, -3, -4 соответственно.
4. Уберем повторные строки.
То есть
Следовательно, изначальная система имеет бесконечно много решений, где свободные переменные, базисные переменные.
Выразим из получившейся системы базисные переменные через свободные:
Тогда общее решение системы имеет вид:
Ответ: .
Задача 4
Найти угол между векторами и , если известно, что , , , , а угол между векторами и равен .
Решение:
Угол между векторами и будем искать с помощью формулы для скалярного произведения векторов:
Найдем , используя свойства скалярного произведения:
1.
2.
3.
4.
То есть угол между векторами и равен .
Ответ: .
Задача 5
Определить вид и расположение кривой второго порядка . Составить уравнение прямой, проходящей через ее центр перпендикулярно прямой . Сделать чертеж.
Решение:
1. Определим вид кривой, выделив полные квадраты:
Окружности задаются уравнением вида:
, где - радиус окружности, - координаты центра окружности.
Значит, мы получили окружность с центром в точке (-1;2) и радиусом 4.
2. Составим уравнение искомой прямой.
Уравнение прямой в общем виде: . Так как эта прямая должна проходить через точку (-1;2), то .
Учитывая перпендикулярность к прямой , скалярное произведение направляющих векторов этих прямых и должно быть равно нулю, то есть .
Получаем систему из двух уравнений: