Операторы основных физических величин

Курсовая работа по квантовой механике. ...

Введение
1. Основные операторы физических величин
2. Задача на собственные значения и собственные функции
3. Ортогональность собственных функций самосопряженных (эрмитовых) операторов
4. Нахождение коэффициентов разложения
Заключение
Список использованных источников

Подобно тому, как в классической механике свойства системы могут быть выражены путем задания координат и импульсов всех частиц, так и в квантовой механике операторы различных физических величин задаются через операторы координат и импульсов. В квантовой механике каждой физической величине f ста¬вится в соответствие линейный самосопряженный оператор F ̂. Соотношения между квантово-механическими операторами формально имеют ту же структуру, что и соотношения между физическими величинами в классической механике.
Основная идея применения операторов в квантовой механике заключается в том, что каждой механической величине в квантовой механике сопоставляется изображающий её линейный самосопряженный оператор. Вопрос о том, какую именно физическую величину изображает тот или иной оператор, решается свойствами этой величины и способами её наблюдения. В тех случаях, когда изображаемая оператором квантовая величина обладает свойствами, аналогичными свойствам некоторой классической величины, для обеих величин употребляют одно и то же название.
Вероятностная интерпретация ψ-функции позволяет развить математический формализм, существенно облегчающий различные квантово-механические вычисления − метод операторов.

В. Гейзенбергом.Операторы физических величин обладают двумя основными свойствами:Линейность. Это свойство следует из второго постулата- принципа суперпозиции.Рассмотрим состояние Ψ, которое является суперпозицией двух состояний Ψ1 и Ψ2:Ψ=С1Ψ1+С2Ψ2 (1.15)где С1,С2- комплексные постоянные. Пусть функции Ψ1 и Ψ2 являются собственными для оператора F физической величины f :FΨ1=f1Ψ1, FΨ2=f2Ψ2 (1.16)где f1 и f2- разные собственные значения физической величины f , соответствующие Ψ1 и Ψ2. Если функции соответствуют разным собственным значениям, то они ортогональны:Ψ1*Ψ2dV=0 (1.17)Предположим также, что они нормированы на 1:Ψ12dV=1, Ψ22dV=1 (1.18)При измерении f в состоянии Ψ с вероятностью P1 получится величина f1, и с вероятностью P2 получится величина f2, где вероятности даются выражениями:P1=C12C12+C22, P2=C22C12+C22 (1.19)Тогда среднее значение физической величины:f=P1f1+P2f2=C12f1+C22f2C12+C22 (1.20)С другой стороны, согласно пятому постулату:f=Ψ*FΨdVΨ*ΨdV=C1*Ψ1*+C2*Ψ2*FC1Ψ1+C2Ψ2dVC1*Ψ1*+C2*Ψ2*C1Ψ1+C2Ψ2dV (1.21)Интеграл в знаменателе с учётом нормировки и ортогональности функций запишется какC1*Ψ1*+C2*Ψ2*C1Ψ1+C2Ψ2dV=C12Ψ12dV+C22Ψ22dV=C12+C22 (1.22)Выражения (1.20) и (1.21) описывают одно и то же среднее значение физической величины, следовательно, должно выполняться равенство (с учётом равенства знаменателей (1.22))C1*Ψ1*+C2*Ψ2*FC1Ψ1+C2Ψ2dV=C12f1+C22f2 (1.23)Последнее выполнимо только если оператор F обладает следующим свойством:FC1Ψ1+C2Ψ2=C1FΨ1+C2FΨ2 (1.24)Такие операторы называются линейными. Все операторы физических величин линейны.Самосопряженность (эрмитовость). Каждому линейному оператору F можно сопоставить другой линейный оператор F+, сопряженный ему, который удовлетворяет условию:ψ*FφdV=F+ψ*φdV (1.25)Если оператор, сопряженный данному, совпадает с ним самим, то есть выполняется условие F=F+, тогда такой оператор называют самосопряженным или эрмитовым. Следовательно, самосопряженный оператор должен удовлетворять следующему условию:ψ*FφdV=Fψ*φdV (1.26)Рассмотрим среднее значение физической величины f, которая описывается эрмитовым оператором F в состоянии, которое описывается нормированной на 1 волновой функцией Ψ:Ψ2dV=1 (1.27)Согласно пятому постулату, среднее значение физической величины f определяется выражением:f=Ψ*FΨdV (1.28)Проведём операцию комплексного сопряжения над (1.28):f*=ΨF*Ψ*dV (1.29)Так как оператор F эрмитов, следовательно, выполняется условие (1.26). Подставив в (1.26) Ψ, получимΨF*Ψ*dV=Ψ*FΨdV (1.30)Сравнивая (1.28) и (1.29) с (1.30) получаем следующее условие:f=f* (1.31)которое есть условие вещественности. Таким образом, среднее значение физической величины, которая описывается самосопряженным оператором, является вещественным числом. Так как при измерениях физических величин наблюдаются только вещественные значения, то все операторы физических величин должны быть самосопряженными.Задача на собственные значения и собственные функцииОдин из постулатов квантовой механики утверждает, что результатом измерения физической величины f в квантово-механической системе могут быть только собственные значения соответствующего оператора F. Именно поэтому проблема собственных значений эрмитовых операторов играет важную роль в математическом аппарате квантовой механики.Для оператора F его собственные значения и собственные функции находят как нетривиальные решения операторного уравненияFψ=fψ (2.1)удовлетворяющие условиям регулярности волновой функции.Спектр собственных значений операторов в квантовой механике может быть как непрерывным, так и дискретным. Учитывая связь проблемы квантования физических величин с дискретностью спектров соответствующих им операторов, ограничимся ниже обсуждением случаев, когда существует счетное множество собственных значений fn и собственных функций ψn, являющихся решением уравненияFψn=fnψn, n=1,2,… (2.2)Многие физически важные свойства собственных значений связаны с самосопряженностью операторов физических величин в квантовой механике.Напомним, что каждому линейному оператору F можно поставить в соответствие другой оператор F+, который называют оператором, сопряженным к данному, или эрмитово сопряженным. Сопряженный оператор F+ определяется с помощью интегрального соотношенияRNψ1*Fψ2dV=RNψ2F+ψ1*dV (2.3)Здесь ψ1 и ψ2- две любые волновые функции, интегрирование которых ведут по всей области изменения пространственных переменных; dV- элемент объёма пространства размерностью N, причём dV= dx для N=1, dV= dx1dx2 для N=2, dV= dx1dx2dx3 для N=3.Если оператор F совпадает со своим сопряжённым оператором F+ , т.е. F= F+, то такой оператор называют эрмитовым, или самосопряжённым. С учётом формулы (2.3), самосопряжённость оператора F означает выполнение интегрального равенстваRNψ1*Fψ2dV=RNψ2Fψ1*dV (2.4)В качестве примера докажем самосопряженность оператора проекции импульса PX. Для этого рассмотрим две волновые функции ψ1(x) и ψ2(x) (N=1), удовлетворяющие условиям регулярности, в частности условиям ψ1,2-∞=ψ1,2+∞=0. Тогда-∞+∞ψ1*Pxψ2dx=-∞+∞ψ1*-iℏ∂ψ2∂xdx=-iℏψ1*ψ2+-∞+∞ψ2iℏ∂ψ1*∂xdx=-∞+∞ψ2-iℏ∂ψ1∂x*dx=-∞+∞ψ2Pxψ1*dxВ соответствии с равенством это означает самосопряженность оператораPx=-iℏ∂∂xДокажем теперь, что собственные значения эрмитова оператора вещественны. Для этого умножим уравнение (2.2) для собственных значений слева на ψn* и проинтегрируем полученное равенство по всей области изменения переменных. В результате получимRNψn*FψndV=fnRNψn*ψndV (2.5)С учётом нормировки волновой функцииRNψn*ψndV=1Из равенства (2.5) находимfn=RNψn*FψndVПрименив теперь операцию комплексного сопряжения к левой и правой частям полученного равенства, имеемfn*=RNψnFψn*dVНо, как следует из уравнения (2.4), для эрмитова оператораRNψnFψn*dV=RNψn*FψndVПоэтому fn=fn*, т.е. эрмитов оператор имеет только действительные собственные значения.Ортогональность собственных функций самосопряженных (эрмитовых) операторовТеперь перейдём к доказательству ортогональности собственных функций линейного эрмитова оператора. Для этого запишем уравнения для собственных функций ψn и ψm эрмитова оператора F:Fψn=fnψn, Fψm=fmψm (3.1)Применив операцию комплексного сопряжения к левой и правой частям второго уравнения (3.1), получимFψm*=fm*ψm*=fmψm* (3.2)Умножая первое уравнение (3.1) на ψm*, а равенство (3.2) на ψn и интегрируя полученные соотношения, находимRNψm*FψndV=fnRNψm*ψndVRNψnFψm*dV=fmRNψm*ψndV (3.3)Так как для эрмитова оператора RNψm*FψndV=RNψnFψm*dV,из уравнений (3.