ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ НАПРАВЛЯЮЩИХ СИСТЕМ (19 вариант)

К.р. состоит из 2 заданий, сделано по методике. ...

Задание № 1...............2
Задание № 2...............7

По стальному проводу [электрическая проводимость γ = 107 (Ом∙м)-1; относительная магнитная проницаемость μ = 103] диаметром 2а = 6,04 мм течет синусоидальный ток I = 100 А частотой f (Гц).Определить плотность тока на поверхности и на оси провода.
Поперечные размеры прямоугольного волновода по осям х и у соответственно А × В см2 (А < В), а вдоль направления оси z он неограниченно протяжен.Какие типы электромагнитных волн Н (т.е. ТЕ) могут распространяться по этому волноводу в направлении оси z при длине волны в свободном пространстве λ = 10 см ?Определить длину волны Λ, распространяющейся по волноводу.

Увеличение частоты ω даже на несколько порядков несущественно скажется на результате, так как в проводнике ток проводимости во много раз больше тока смещения.
2. Так как последняя цифра учебного шифра 9, то отсюда находим численное значение частоты тока:
f = 1,38866 ∙ 92 = 112,48146 Гц
3. Рассчитаем параметр , где
ω – круговая частота:
ω = 2 ∙ π ∙ f = 2 ∙ 3,1416 ∙ 112,48146 = 706,7435 рад/с
γ = 107 (Ом ∙ м)-1 – электрическая проводимость;
μа – магнитная проницаемость среды:
μа = μ0 ∙ μ = 4 ∙ π ∙ 10-7 ∙ 103 = 12,57 ∙ 10-4 Гн/м, где
μ0 = 4 ∙ π ∙ 10-7 Гн/м – магнитная постоянная;
μ = 103 – относительная магнитная проницаемость.
Исходя из этого:
=
4. Комплексная величина
5.Выражение а = 0,00302 ∙ 2980,57 = 9,00.
6. По табл. № 1 методических указаний найдем:
J0(q ∙ a) = J0(9) = 77,96 ∙ e j 341,52º ; b0 = 77,96; β0 = 341,52º;
J1(q ∙ a) = J1(9) = 74,97 ∙ e j 253,95º ; b1 = 74,97; β1 = 253,95º;
7. Определим плотность тока на оси провода:
A/м2.
8. Определим плотность тока на поверхности провода:
δа = δ0 ∙ J0(q ∙ a) = 20,95 ∙ 104 ∙ e –j 298,95º ∙ 77,96 ∙ e j 341,52º = 1633,262 ∙ 104 ∙ e j 42,57 A/м2.
Задание № 2.
Условия задачи.
Поперечные размеры прямоугольного волновода по осям х и у соответственно А × В см2 (А < В), а вдоль направления оси z он неограниченно протяжен.
Какие типы электромагнитных волн Н (т.е. ТЕ) могут распространяться по этому волноводу в направлении оси z при длине волны в свободном пространстве λ = 10 см ?
Определить длину волны Λ, распространяющейся по волноводу.
Установить справедливость следующих соотношений:
λz < λ < Λ; υф > υ; Λ ∙ λz = λ2; υф ∙ υz = υ2; где

υ – скорость волны в свободном пространстве;
υф – фазовая скорость в направлении оси z;
υz – скорость распространения сигнала, энергии в направлении оси z.
Определить: λz; частоту электромагнитных колебаний f, считая что
υ = с – скорости света в вакууме; υф ; υz .
Размер А волновода определяется по предпоследней значащей цифре шифра студента, размер В = 9 см для всех вариантов.
Методика расчета задачи.
Рассмотрим прямоугольный волновод с размерами А и В по осям х и у и неограниченно протяженный в направлении z. Начало декартовой системы координат расположим на одном из ребер волновода. В случае волны, распространяющейся в сторону + z, возможные решения для электрической составляющей электромагнитного поля имеют вид:
Ex = E1 cos(kx x) ∙ sin(ky y) ∙ e – jkzz ;
Ey = E2 sin(kx x) ∙ cos(ky y) ∙ e – jkzz ;
Ez = E3 sin(kx x) ∙ sin(ky y) ∙ e – jkzz .
Необходимо помнить граничные условия для идеально проводящих стенок волновода: касательная к поверхности составляющая вектора напряженности электрического поля и нормальная составляющая вектора напряженности магнитного поля на идеально проводящей поверхности равны нулю, а касательная к поверхности составляющая вектора напряженности магнитного поля и нормальная составляющая вектора напряженности электрического поля на идеально проводящей поверхности имеют экстремумы. Предложенные решения удовлетворяют этому в случае, если составляющие волнового вектора k будут иметь следующие значения:
kx = l π / A; ky = m π / B.
При этом должно выполняться условие:
kx2 + ky2 + kz2 = k2 = (2 π / λ)2.
Для того, чтобы электромагнитные волны распространялись в направлении z без затухания, необходимо, чтобы kz было вещественным, т.е. чтобы выполнялось неравенство:
kz2 = (2 π / λ)2 – (l π / A)2 – (m π / B)2 > 0.
Последнее условие показывает, что в волноводе могут распространяться колебания, длина волны которых в свободном пространстве меньше некоторого критического значения (kz = 0):
λ < λкр = 2 / √ (l / A)2 + (m / B)2 .
Критическая длина волны зависит от типа устанавливающегося поля, определяемого характеристическими числами l и m. Если А = В, то наибольшее значение критической длины волны соответствует числам l = 0, m = 1 или
l = 1, m = 0 (оба числа не могут одновременно обращаться в ноль).
При этом:
λкр1 = 2А λкр2 = 2В.
Зная z-ю составляющую волнового вектора, находим длину волны, распространяющейся по волноводу:
Λ = 2 π / kz.
Сопоставляя полученные соотношения, можно заключить, что эта длина всегда больше длины λ свободной волны, поскольку:
Λ = λ / √ 1 – (λ / λкр)2.
Соответственно фазовая скорость волны υф, распространяющейся в волноводе, всегда больше скорости волны в свободном пространстве:
υф = Λ f > υ = λ f.
Поскольку λz = λ cos α и Λ = λ / cos α, где α – угол между траекторией движения волны и стенкой волновода, то перемножая эти выражения почленно получим простое соотношение между тремя длинами волн:
Λ λz = λ2.
Если разделить обе части равенства на Т2, то получим соотношение для скоростей:
υф υz = υ2, где
υ – скорость волны в свободном пространстве;
υф – фазовая скорость в направлении z;
υz – скорость распространения сигнала, энергии в направлении z.
Множество разных типов волн в волноводах, описываемых в самой общей форме приведенными выше решениями для электрической составляющей электромагнитного поля и уравнением Максвелла Н = [j / (ω μ0)] rot E для его магнитной составляющей, разделяются на два класса. К одному относятся волны, не имеющие продольной, т.е. z-й, составляющей электрического вектора (Еz = 0); поэтому их называют поперечноэлектрическими ТЕ или магнитными Н.
К другому классу относятся волны, не имеющие продольной магнитной составляющей; их называют поперечномагнитными ТМ или электрическими Е.
Дальнейшая классификация типов электромагнитных волн в волноводе определяется значениями характеристических чисел. Говорят о волне ТЕlm, если в ней Ez = 0, а характеристические числа имеют значения l и m; или о волне ТМlm, если Hz = 0.
Так, например, электрический вектор простейшей волны типа ТЕ01 определяется формулой:
E = Ex = E1 sin (π y / B) e – jkzz (Ey = Ez = 0).
А магнитный вектор имеет у-ю и z-ю составляющие и определяется формулой:
H = [kz E1 sin (π y / B) y0 – j ky E1 cos (π y / B) z0] e – jkzz / (ω μ0).
Как это следует из условия kx = 0, поскольку l = 0 и ky = π / B, поскольку m = 1.
Для волн типа ТЕ02 картина поля отличается только тем, что вдоль оси у укладывается не одна полуволна синусоиды Ех (и соответствующего магнитного поля), а две.
Решение задачи.
1. Так как предпоследняя цифра шифра n = 1, следовательно размер А = 1 см.
Отсюда следует, что поперечные размеры волновода 1 × 9 см2. По формуле:
λкр =,
полагая, что А = 1 см и В = 9 см находим ряд значений λкр для разных значений l и m:
l m
0 1
0 2
1 0
1 1
1 2
2 0
2 1
λкр, см
18
9
2
1,988
1,952
1