задачи по методам оптимальных решений

методы оптимальных решений ...

Задание 1
Предприятию ООО «ТИТАН», одним из видов деятельности которого
является выполнение токарных, фрезерных и сверлильных работ, поступил
заказ на производство гаек стремянки, гаек штанги, гаек МОД и колец
шкворня в количестве соответственно Di шт. Производство заказанной
токарной продукции в полном объеме ограничено запасами имеющихся
ресурсов (трудозатратами – T чел.-час., запасом стали – S кг, а также
выделенными денежными средствами на оплату труда рабочих и
последующую обработку токарной продукции – Q руб.). Кроме того,
известно, что для производства единицы продукции каждого вида требуется
соответственно i
s кг стали, трудозатраты при этом составляют
соответственно i
t чел.-час. За каждую изготовленную деталь рабочий
предприятия получает i
f руб., последующая обработка единицы изделия
каждого вида требует затрат денежных средств в размере i
z руб.
соответственно.
Задача оптимизации производства для ООО «ТИТАН» ставится в
форме максимизации дополнительной прибыли предприятия при заданных
ассортименте выпускаемой продукции и ограничениях на имеющиеся запасы
ресурсов, при условии, что прибыль от реализации единицы продукции
каждого вида составляет соответственно ci руб.
Необходимо:
1. Построить экономико-математическую модель представленной
задачи линейного программирования (с учетом условия целочисленности).
2. Определить с помощью надстройки «Поиск решения» в
Microsoft Excel оптимальный план производства продукции ООО «ТИТАН»
(количество гаек стремянки, гаек штанги, гаек МОД и колец шкворня).
3. Дать экономическую интерпретацию полученного решения.
Сформулировать оптимальное управленческое решение в описанных
условиях.

номер варианта показатель ассортимент выпускаемой продукции
гайка стремянки гайка штанги гайка мод кольцо шкворня
4 Di 700 300 600 400
Si 0,21 0,19 0,45 1,37
Ti 0,1 0,13 0,39 0,221
Fi 6 7 15 8
Zi 3 4 4 5
Ci 6,5 11 17,5 12
T 600
S 950
Q 23500

ЧОУ ВПО Институт экономики, управления и права (г. Казань)

Экономический факультет






Кафедра высшей математики








РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА

по дисциплине «Методы оптимальных решений»

Вариант 4








Исполнитель: гр121 дз ______________ С.А.Борисов

Проверил: ст. преподаватель ______________ З.Ш. Аглямова

перерабатывающую фабрику
– с четвертой шахты 40 т. необходимо перевезти на первую
перерабатывающую фабрику и 60 т. – на вторую,20 т. на третью.
4. Найдем с помощью надстройки «Поиск решения» в Microsoft Excel
оптимальное распределение поставок угля с угольных шахт на
перерабатывающие фабрики при условии, что в регионе открылась пятая
угольная шахта с объемом добычи угля в A5
тонн в день, расстояние от
которой до перерабатывающих фабрик составляет соответственно
Rj
( j = 3;1 ) км.
Дополнительные исходные данные транспортной задачи представлены
в табл. 4.
Дополнительные исходные данные транспортной задачи по пятой шахте
показатель
A5
R1
R2
R3
значение
90
27
42
30
Сначала составим экономико-математическую модель представленной
транспортной задачи с измененными условиями:
F(x)=200(24x11+21x12+44x13+39x21+17x22+26x23+26x31+32x32+15x33+50x41+41x42+38x43) → min
X11+x12+x13=150
X21+x22+x23=50
X31+x32+x33=60
X41+x42+x43=120
X51+x52+x53=90
X11+x21+x31+x41+x51=190
X12+x22+x32+x42+x52=110
X13+x23+x33+x43+x53=80
x ij ≥ 0( i = 1,2,3,4,5 j = 1,2,3 )
Проверим тип представленной транспортной задачи с измененными
Условиями
5 3
∑ Ai=150+50+60+120+90 > ∑ Bj=190+110+80
i=1 j=1
(суммарная мощность шахт не равна суммарной потребности фабрик), то
данная задача является открытой, необходимо привести ее к закрытой.
Для этого введем фиктивного потребителя (перерабатывающую
фабрику), производственная потребность в угле которой составляет
5 3
B4=∑ Ai-∑ Bj=470-380=90 Все значения расстояний от шахт до этой
углеперерабатывающей фабрики ci4= 0( i = 5,1)
После введения фиктивной фабрики задача становится закрытой, и её
математическая модель будет иметь вид:
F(x)=200(24x11+21x12+44x13+39x21+17x22+26x23+26x31+32x32+15x33+50x41+41x42+38x43) → min
X11+x12+x13=150
X21+x22+x23=50
X31+x32+x33=60
X41+x42+x43=120
X51+x52+x53=90
X11+x21+x31+x41+x51=190
X12+x22+x32+x42+x52=110
X13+x23+x33+x43+x53=80
X14+x24+x34+x44+x54=90
Транспортные затраты за 1т.-км.:
200
руб.
Угольные шахты
Углеперерабатывающие фабрики
Мощность угольных шахт
 
В1
В2
В3
В4(фиктивная)
 
Расстояние от шахт до углеперерабатывающих фабрик, км
А1
24
21
44
150
А2
39
17
26
50
А3
26
32
15
60
А4
50
41
43
120
А5
27
42
30
90
Производственные возможности фабрик
190
110
80
90
 
Матрица оптимального распределения поставок угля
В1
В2
В3
В4(фиктивная)
Вывезенное из шахт количество угля
А1
100
50
150
А2
50
50
А3
60
60
А4
10
20
90
120
А5
90
90
Поступившее на фабрики количество угля
190
110
80
150
 
Целевая функция (суммарные транспортные затраты на перевозку угля):
1 780 000р.
Дадим экономическую интерпретацию полученного решения.
Итак, для того, чтобы совокупные транспортные издержки на
перевозку угля от шахт до перерабатывающих фабрик, осуществляющуюся с
помощью железнодорожного транспорта, были минимальны и составили
1780 тыс.руб. необходимо придерживаться следующего оптимального
плана распределения поставок угля:
– с первой шахты 100 т необходимо перевезти на первую перерабатывающую фабрику;
50 т на вторую
– со второй шахты весь объем добытого за день угля (это 50 т.)
необходимо перевезти на вторую перерабатывающую фабрику;
– с третьей шахты 60 т. необходимо перевезти на третью
перерабатывающую фабрику
– с четвертой шахты 10 т. необходимо перевезти на вторую
перерабатывающую фабрику 20 т. – на третью, и 90 т на четвертую
– с пятой шахты весь объем добытого за день угля (это 90 т.)
необходимо перевезти на первую перерабатывающую фабрику
5. Найдем с помощью надстройки «Поиск решения» в Microsoft Excel
оптимальное распределение поставок угля с угольных шахт на
перерабатывающие фабрики при условии, что открылась четвертая
углеперерабатывающая фабрика с производственной мощностью в B4
тонн в
день, при этом расстояние от каждой шахты до новой фабрики составляет
соответственно Ti
(i = 4;1 ) км
показатель
B4
T1
T2
T3
T4
значение
150
32
28
18
36
Сначала составим экономико-математическую модель представленной
транспортной задачи с измененными условиями:
F(x)=200(24x11+21x12+44x13+39x21+17x22+26x23+26x31+32x32+15x33+50x41+41x42+38x43) → min
X11+x12+x13+x14=150
X21+x22+x23+x24=50
X31+x32+x33+x34=60
X41+x42+x43+x44=120
X11+x21+x31+x41=190
X12+x22+x32+x42=110
X13+x23+x33+x43=80
X14+x24+x34+x44=150
x ij ≥ 0( i = 1,2,3,4,5 j = 1,2,3 )
Проверим тип представленной транспортной задачи с измененными
условиями.так как
4 4
∑ Ai=150+50+60+120 < ∑ Bj=190+110+80+150
i=1 j=1
(суммарная мощность шахт не равна суммарной потребности фабрик), то
данная задача является открытой, необходимо привести ее к закрытой.
Для этого введем фиктивного поставщика (угольную шахту), добыча
угля которой составляет
4 4
A5= ∑ Bj-∑ Ai=530-380=150 т. в день. Все значения расстояний от этой фиктивной шахты до углеперерабатывающих
фабрик c5 j=0(j=1,4)
После введения фиктивной шахты задача становится закрытой, и её
математическая модель будет иметь вид:
F(x)=200(24x11+21x12+44x13+39x21+17x22+26x23+26x31+32x32+15x33+50x41+41x42+38x43) → min

X11+x12+x13+x14=150
X21+x22+x23+x24=50
X31+x32+x33+x34=60
X41+x42+x43+x44=120
X51+x52+x53+x54=150
X11+x21+x31+x41+x51=190
X12+x22+x32+x42+x52=110
X13+x23+x33+x43+x53=80
X14+x24+x34+x44+x54=150
x ij ≥ 0( i = 1,2,3,4,5 j = 1,2,3 ,4)
Транспортные затраты за 1т.-км.:
200
руб.
Угольные шахты
Углеперерабатыающие фабрики
Мощность угольных шахт
 
В1
В2
В3
В4
 
Расстояние от шахт до углеперерабатывающих фабрик, км
А1
24
21
44
32
150
А2
39
17
26
28
50
А3
26
32
15
18
60
А4
50
41
43
36
120
А5(фиктивная)
150
Производственные возможности фабрик
190
110
80
150
 
Матрица оптимального распределения поставок угля
В1
В2
В3
В4
Вывезенное из шахт количество угля
А1
90
60
150
А2
50
50
А3
60
60
А4
120
120
А5(фиктивная)
100
20
30
150
Поступившее на фабрики количество угля
190
110
80
150
 
Целевая функция(суммарные транспортные затраты на перевозку угля):
1 898000 р.
Дадим экономическую интерпретацию полученного решения.
Итак, для того, чтобы совокупные транспортные издержки на
перевозку угля от шахт до перерабатывающих фабрик, осуществляющуюся с
помощью железнодорожного транспорта, были минимальны и составили
1898 тыс.руб. необходимо придерживаться следующего оптимального
плана распределения поставок угля:
– с первой шахты 90 т. добытого угля необходимо перевезти на
первую перерабатывающую фабрику и 60 т. – на вторую;
– со второй шахты весь объем добытого за день угля (это 50 т.)
необходимо перевезти на вторую перерабатывающую фабрику;
– с третьей шахты весь объем добытого за день угля (это 60 т.)
необходимо перевезти на третью перерабатывающую фабрику;
– с четвертой шахты 120 т. добытого угля необходимо перевезти на
четвертую перерабатывающую фабрику.
Кроме того, важно отметить, что согласно полученному оптимальному
распределению перевозки угля производственная потребность первой
перерабатывающей фабрики не будет удовлетворена на 90 т.
Задание 3
Руководство финансовой компании рассматривает 4 инвестиционных
проекта, между которыми собирается распределить Q млн. руб. В
зависимости от объема выделенных средств x , каждый инвестиционный
проект приносит финансовой компании дополнительный доход fi (x)
(i = 1;4 ).
Необходимо:
1. Определить размер максимального дополнительного дохода от
вложения денежных средств в рассматриваемые инвестиционные проекты. 2. Определить оптимальное распределение средств финансовой
компании, обеспечивающее ей максимальный дополнительный доход от
инвестиций во все проекты.
3. Дать экономическую интерпретацию полученного решения
Решение.
1. Определим размер максимального дополнительного дохода от
вложения денежных средств в рассматриваемые инвестиционные проекты.
Согласно обратной схеме Беллмана показатель эффективности 4-ого
шага:
Z*=4(Q)=f4(Q)
Z*4(Q)=max f4(Q) -− показатель эффективности 1-го инвестиционного
проекта
Z*3(Q)= max f3(X)+ *Z4(Q-X) -объединённый показатель
эффективности 2-х инвестиционных проектов.
Произведем вычисления значений функции *
Z3(Q) и представим их в
табл. 7
Объем выделенных денежных средств, x (млн. руб.)
Дополнительный доход инвестиционного проекта в
зависимости от объема выделенных денежных средств,
f i (x)
(у.е.)
f1 (x)
f2 (x)
f3 (x)
f4 (x)
25
11
10
13
9
50
34
12
21
17
75
46
20
32
30
100
53
29
38
40
125
68
47
57
50
Z*3(25)=max{0+9;13+0}=13
Z*3(50)=max{0+17;13+9;21+0}=22
Z*3(75)=max{0+30;13+17;21+9;32+0}=32
Z*3(100)=max{0+40;13+30;21+17;32+9;38+0}=43
Z*3(125)=max{0+50;13+40;21+30;32+17;38+9;57+0}=57
Объем выделенных денежных средств, x (млн. руб.)
Дополнительный доход
инвестиционного проекта в
зависимости от объема
выделенных денежных
средств, f i (x)
(у.е.)
Показатели эффективности в
зависимости от объема
выделенных средств,
Z i (x)
(у.е.)
f1 (x)
f2 (x)
f3 (x)
f4 (x)
Z4 (x)
Z3 (x)
Z2 (x)
Z1 (x)