Задача (решение)

Условие задачи
Требуется найти оптимальную цену единицы товара по результатам наблюдений. В каждом варианте задано по 10 пар данных, на основе кото¬рых, используя линейную модель, требуется методом наименьших квадратов определить оценки параметров модели α и β. Затем определить выручку как функцию F(P)для каждой пары наблюдений. Далее, необходимо найти зна¬чение Р, при котором доход будет максимальным. Для этого берем произ¬водную по Р от функции F(P)и приравниваем ее к 0. Из полученного выраже¬ния определяем оптимальное значение цены Р.
Даны: стоимость единицы товара Р и количество (шт.) проданного то¬вараK для 10 наблюдений (табл. 1).
Используя линейную модель: K_i=α+βP_i+ε_iнайти оптимальнуюцену (при которой получается максимальная выручка от продаж).
_
Таблица 1
Вар. 7
№ набл. P К
1 6 ...

Условие задачи
Требуется найти оптимальную цену единицы товара по результатам наблюдений. В каждом варианте задано по 10 пар данных, на основе кото¬рых, используя линейную модель, требуется методом наименьших квадратов определить оценки параметров модели α и β. Затем определить выручку как функцию F(P)для каждой пары наблюдений. Далее, необходимо найти зна¬чение Р, при котором доход будет максимальным. Для этого берем произ¬водную по Р от функции F(P)и приравниваем ее к 0. Из полученного выраже¬ния определяем оптимальное значение цены Р.
Даны: стоимость единицы товара Р и количество (шт.) проданного то¬вараK для 10 наблюдений (табл. 1).
Используя линейную модель: K_i=α+βP_i+ε_iнайти оптимальнуюцену (при которой получается максимальная выручка от продаж).
_
Таблица 1
Вар. 7
№ набл. P К
1 6,5 20
2 7 18
3 7,5 17
4 7,7 16
5 8,5 14
6 9,5 11
7 10,5 9
8 12 4
9 12,5 3
10 13 2

Условие задачи
Требуется найти оптимальную цену единицы товара по результатам наблюдений. В каждом варианте задано по 10 пар данных, на основе кото¬рых, используя линейную модель, требуется методом наименьших квадратов определить оценки параметров модели α и β. Затем определить выручку как функцию F(P)для каждой пары наблюдений. Далее, необходимо найти зна¬чение Р, при котором доход будет максимальным. Для этого берем произ¬водную по Р от функции F(P)и приравниваем ее к 0. Из полученного выраже¬ния определяем оптимальное значение цены Р.
Даны: стоимость единицы товара Р и количество (шт.) проданного то¬вараK для 10 наблюдений (табл. 1).
Используя линейную модель: K_i=α+βP_i+ε_iнайти оптимальнуюцену (при которой получается максимальная выручка от продаж).
_
Таблица 1
Вар. 7
№ набл. P К
1 6 ,5 20
2 7 18
3 7,5 17
4 7,7 16
5 8,5 14
6 9,5 11
7 10,5 9
8 12 4
9 12,5 3
10 13 2

_ Таблица 1Вар.7№ набл.PК16,520271837,51747,71658,51469,511710,598124912,5310132Решение: Уравнение должно выражать усредненную зависимость выходной величины (y = K) при изменении входных величин (факторов x = P). Ki=α+βPi+εiСуть метода наименьших квадратов заключается в том, чтобы найти такие значения x, при которых минимизируется сумма квадратов отклонений (ошибок) εi=yi-(α+βxi).Fα,β=iεi2=iyi-(α+βxi)2⟶minНаходим частные производные по переменным α и β и приравниваем их к нулю:F'α=-2iyi-α+βxi=0F'β=-2ixiyi-α+βxi=0Сократим на (2) и запишем систему относительно неизвестных коэффициентов α и β.