Контрольная работа по математике №1

Решение задач:
Задание №1.
Найдите вектор длины 2, который имеет направление вектора a = 4i – 12j + 3k, если i = (1; 0; 0), j = (0; 1; 0), k = (0; 0; 1).;
Задание №2.
Найдите матрицу 2АВ – 3АТ В –1, если А=(6 3 А=(5 2
4 2), 7 3).;
Задание №3.
[1 2 3 2
2 2 4 1
3 1 3 2
4 1 1 4] упростите и вычислите.;
Задание №4.
Решите систему линейных уравнений тремя способами – с помощью обратной матрицы, с помощью формул Крамера и методом Гаусса:
2x+3y-z=5,
-2x+2y+4z=12,
x-y-3z=-10.;
Задание №5.
Найдите центр и радиус окружности, проходящей через вершины треугольника А(–2; –2), В(2; 6), С(5; –3).;
Задание №6.
Определите уравнение эллипса, пересекающего ось Ох в точках (1; 0) и (9; 0) и касающего ...

Содержания нету.

Введения нету.

Теперь можно приступить к вычислениям. , или . Это и есть ответ.
Ответ: .
Задание №3.
упростите и вычислите.
Решение:
Для решения применим сначала метод исключения Гаусса. (Действия здесь – первый шаг метода Гаусса. Более подробно - вычисление свелось к вычитанию из второй строчки удвоенной первой, из третьей строчки – утроенной первой, и из4-ой строчки – учетверённой первой строки).
Теперь вычтем из 4-ой строчки третью. , и из четвёртой – вторую. . Теперь добавим 4-ый столбец к третьему: . Теперь вычтем из третьего столбца удвоенный второй столбец. и переставим местами третий столбец и четвёртый (при этом поменяется знак определителя). .
Задание №4.
Решите систему линейных уравнений тремя способами – с помощью обратной матрицы, с помощью формул Крамера и методом Гаусса:
Решение:
1). Для решения найдём матрицу системы: . Полученную систему решим методом Гаусса, для чего удобно переставить первое уравнение с третьим: . Выполним первый шаг метода Гаусса: . Целесообразно во втором уравнении поменять знак, а третье разделить на 5, т.е. получим: и выполним второй шаг метода Гаусса: . Т.е. мы получили систему: . Следовательно, , , .
2). Для решения с помощью формул Крамера нам необходимо найти определитель системы, т.е. , и вспомогательные определители: , , . Отсюда следует, что , , .
3). Для решения обращением матрицы найдём алгебраические дополнения элементов матрицы:
, ,
, ,
, ,
Соответственно, матрица алгебраических дополнений примет вид: . Транпонируем её и разделим на определитель системы, -5: . Теперь осталось умножить эту матрицу на столбец правых частей:
Ответ: , , .
Задание №5.
Найдите центр и радиус окружности, проходящей через вершины треугольника А(–2; –2), В(2; 6), С(5; –3).
Решение:
Для решения заметим, что уравнение окружности имеет вид: . Следовательно, если подставить координаты точек в это уравнение, то мы получим систему из трёх уравнений для трёх переменных.
Таким образом, получаем систему трёх уравнений: , или, после преобразований, .
Вычтем первое из уравнений из остальных двух. Получим: . Преобразуем систему. Получим:
. Открывая скобки и приводя подобные, получим: или . Отсюда следует, что , . Теперь подставим этот результат в первое из уравнений системы: , откуда , т.е. . Окончательно получаем: .
Таким образом, центр окружности находится в точке , и радиус окружности 5.