Математика

Задачи даны по дисциплине Задачи решены самостоятельно и защищены на "отлично" ...

8 задач

Задача 1
Даны координаты вершин пирамиды 〖〖M_1 M〗_2 M〗_3 M_4:
M_1 (19, 7,-6) ; M_2 (9,−2,-5) ;
M_3 (−14,0, 6) ; M_4 (3,-6, -2) .
Найти:
а) длину ребра 〖M_2 M〗_3 ;
б) угол между ребрами 〖M_1 M〗_2 и 〖M_2 M〗_3;
в) площадь грани 〖〖M_1 M〗_2 M〗_3;
г) объем пирамиды;
д) высоту, опущенную из вершины M_4.

Задача 2
Вычислить двойной интеграл ∬_D▒xydxdy , где D — треугольник с
вершинами M_1 (5,12), M_2 (−6, 10), M_3 (−14, 12) .


Задача 3
Для функции z=(12) x^2+7y^2-5xy+5x+14
найти:
а) ∂z/∂x - производную по направлению от точки M_1 (7, 19) к точке M_2 (13,0) в точке M_1 ;
б) grad z — градиент z в точке M_2 ;
в) локальные экстремумы функции z ;
г) наибольшее и наименьшее значения функции z в треугольнике 〖〖M_1 M〗_2 M〗_3, где M_3 (−14, 10) ;
д) уравнение плоскости 〖〖M_1 M〗_2 M〗_3 .

Задача 4
Найти решение задачи Коши для следующих уравнений:
а) (5x^2+5x+7)dy+(7y+5)/(5y^2+7y+7) dx=0, y(0)=1;
б) y' + 5y = e^x y^7 , y(0) =1.

Задача 5
Найти общее решение дифференциального уравнения:
5y''-14y' +12y = x^5 - 2sin7x + 〖7e〗^5x

Задача 6
Найти суммы рядов:
а) ∑_(n=1)^∞▒n^5/(n^2+5n+8)
б) ∑_(n=1)^∞▒〖(n^2-5n+7〗)x^n.

Задача 7
Найти радиусы сходимости и области сходимости степенных рядов:
а) ∑_(n=1)^∞▒5/(n+7)! 〖(x+7)〗^(2n+1)
б) ∑_(n=1)^∞▒(〖(-1)〗^n 〖(x-5)〗^n)/(n^(5⁄7)+12n+5)

Задача 8
Разложить функции:
а) f(x) = ln(〖5x〗^2 + 7x + 5)
б) f(x)= (〖5x〗^3+〖7x〗^2-5x+7+2)/(〖7x〗^2+5x-1)
в ряд Тейлора по степеням x , (x_0 = 0) .

Тогдаzmax-14;10=3696 zmin13;0=2107д) уравнение плоскости M1M2M3 . Для составления плоскости должны быть указаны координаты в трехмерном пространстве – x, y, z.Задача 4Найти решение задачи Коши для следующих уравнений:а) 5x2+5x+7dy+7y+55y2+7y+7dx=0, y0=1;б) y' + 5y = ex y7 , y(0) =1.Решение:а) 5x2+5x+7dy+7y+55y2+7y+7dx=0, y0=1;Уравнение с разделяющимися переменнымиdydx=7y+55y2+7y+75x2+5x+75y2+7y+7dy7y+5=dx5x2+5x+757y+2449+22349(7y+5)=dx5x+12 2+274514y2+24y49+ln7y+5=2527arctg2x+127+CПри начальных условиях y0=1514+2449+ln12=2527arctg127+CC=2,49514+2449+ln12=2527arctg127+2,49б) y'+ 5y = ex y7 , y0=1Заменаy=uv y⋰=u⋰v+uv⋰u⋰v+uv⋰+5uv=ex u7v7 u⋰v+u(v⋰+5v)=ex u7v7v⋰+5v=0dvdx=-5vdvv=-5dxlnv=-5xv=e-5xu⋰e-5x=e5x u7u⋰= u7 x=-16u6+Cy=C-16u6e-5x Задача 5Найти общее решение дифференциального уравнения:5y''-14y' +12y = x5 - 2sin7x + 7e5x .Решение:Вначале находим решение уравнения без правой части5y''-14y'+12y =0Составим и решим характеристическое уравнение5k2-14k+12 =0k1-2=7±i115Общее решениеу0=e7|5C1sin115+C2cos115Теперь находим частное решение по виду правой частиуч=Аx5+Bcos7x+Csin7x+De5x уч⋰=5Аx4-7Bsin7x+7Ccos7x+5De5xуч⋰=20Аx3-49Bcos7x-49Csin7x+25De5x20Аx3-49Bcos7x-49Csin7x+25De5x-70Аx4+98Bsin7x-98Ccos7x-70De5x+12Аx5+12Bcos7x+12Csin7x+12De5x=0A=1-33D=7-37B-98C=098B-37C=-2 A=1-33D=7B=-19610973C=7410973уч=x5-19610973cos7x+7410973sin7x-733e5xОбщее решениеy=e7|5C1sin115+C2cos115+x5-19610973cos7x+7410973sin7x-733e5xЗадача 6Найти суммы рядов:а) n=1∞n5n2+5n+8 б) n=1∞(n2-5n+7)xn.Решение:а) n=1∞n5n2+5n+8 n=1∞n5n2+5n+8=n=1∞n3-5n2+17n-65+189n+520n2+5n+8=∞б) n=1∞(n2-5n+7)xn.