ИДЗ

ТПУ 30 вариант ИДЗ №3 1 курс ...

.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»




Институт
дистанционного образования

Автоматизация технологических процессов
и производств (в нефтегазовой области)






Индивидуальное домашнее задание № 3


по дисциплине:

Линейная алгебра и аналитическая геометрия






Исполнитель:

студент группы Д-8T31 Шеверев Максим Игоревич 02.02.2014






Руководитель:

Преподаватель

Рожкова Ольга Владимировна
Вячи




Людмила Вячеславовна










Томск  2013

Из уравнения (3.1) выпишем М1 (–1;0), из уравнения для l3: М2(–4;4).,..б) Найдем косинус угла между прямыми l1 и l2 как косинус угла между направляющими векторами и ..Косинус угла между параллельными прямыми l1 и l2 равен 1, т.к..Задача 3. Привести уравнения линий к каноническому виду, назвать и построить кривые:Решение. Решая эту задачу, будем пользоваться таблицей 3.4 канонических уравнений кривых 2-го порядка.а) х2+у2+4х+2у+6=0Приведем уравнение к каноническому виду. Для этого сгруппируем переменные и выделим полные квадраты:(х2+4х+4)+(у2+2у+1)+6–4–1=0(х+2)2+(у+1)2= –1Данное уравнение кривую не определяет, т.к. в правой части стоит отрицательное число, а в левой сумма квадратов, которая всегда не отрицательна.б) Приведем уравнение к каноническому виду. Для этого перенесем (–4 ) в левуючасть и возведем в квадрат:Получили каноническое уравнение параболы с вершиной в точке О'(2;–4), с осью симметрии вдоль оси Ох (т.к. переменная у в квадрате) и фокальным параметром .в) х2+4х–у–1=0Приведем уравнение к каноническому виду.(х2+4х+4)–4–у–1=0(х+2)2=у+5Получили каноническое уравнение параболы с вершиной в точке О'(–2;–5), с осью симметрии вдоль оси Оу (т.к. переменная х в квадрате) и фокальным параметром .г) 5х2–4у2+16у–36=0Приведем уравнение к каноническому виду. Для этого сгруппируем переменные и выделим полные квадраты:5х2–4(у2+–4у+4)–36+16=05х2–4(у–2)2=20Разделим каждое слагаемое на 20:.Получили каноническое уравнение гиперболы с центром в точке О' и полуосями а=2, b= (табл. 3.4.).Знак "–" стоит перед слагаемым с переменной у. Значит мнимая ось – O'x'. Вершины гиперболы в точках А1(–2;2), А2(2;2).Строим вспомогательный прямоугольник с центром в точке О' и сторонами 2a и 2b, проводим диагонали – они будут асимптотами гиперболы, проводим ветви гиперболы через вершины А1 и А2 к асимптотам. Задача 4. Построить кривые, заданные в полярных координатах:а) =6cos; б) =2(1+sin).Найти их уравнения в полярных координатах при условии, что начало прямоугольной системы координат совпадает с полюсом, а положительная ось абсцисс – с полярной осью.Решение. а) Построим таблицу значений аргумента от 0 до 2, т.к. период cos равен 2, и вычислим соответствующие значения функции .0/6/4/3/22/34/33/25/3263330–3–6–0361) Выберем полюс О, проведем полярную ось горизонтально. Это соответствует =0. Все остальные углы будем откладывать от него против часовой стрелки.2) На лучах каждого отложим от полюса О вычисленное значение .3) Для отрицательных значений расстояние от полюса откладываем в противоположном направлении (они будут совпадать с уже отложенными точками в положительном направлении).4) Соединяем все точки плавной линией.Получим уравнение кривой в декартовой системе координат. Связь полярной и декартовой системы: Подставим в уравнение =2cos выражение для и :Выделим полный квадрат и получим каноническое уравнение окружности с центром в точке О'(3;1) и радиусом 3:(х–3)2+у2=9.Задача 5. Построить кривые, заданные параметрическими уравнениями:а) б) Решение. а) построим таблицу значений параметра t и вычислим соответствующие значения функций х и у. Значения t достаточно взять от 0 до /2, так как все остальные точки можно достроить из соображений симметрии четной функции cos t и нечетной функции sin t. t0/6/4/3/2x01/2/2/21y1/2/21/20На плоскости в декартовой системе поставим точки, соответствующие вычисленным значениям координат (х;у). Получим часть кривой в I четверти. В остальных четвертях точки будут располагаться симметрично относительно осей Ох и Оу. Таким образом, получили кривую – окружность.б) построим таблицу значений параметра t и вычислим соответствующие значения функций х и у. При этом следует обратить внимание, что функция х(t) – четная, т.е. точки кривой будут симметричны относительно оси Ох.t–2–1–2/3–1/201/22/312x414/91/401/44/914y–0.670.670.570.460–0.46–0.57–0.670.67Задача 6. Составить уравнения плоскостей, которые проходят:а) через три точки А(1; 0; –1), В (1; 1; –3), С(0; 0; 4);б) через А(1; 0; –1) перпендикулярно прямой в) через точку В(1;1; –3) параллельно двум векторам и .г) через точку С (0;0;4) и отсекает на координатных осях равные по величине и по знаку отрезки.Решение. а) Запишем уравнение плоскости по трем точкам (табл. 3.3):и подставим заданные по условию задачи точки:.Вычислим определитель, разлагая его по первой строке:Получили общее уравнение плоскости в координатной форме. Можно раскрыть скобки и получить общее уравнение плоскости:.б) Плоскость перпендикулярна прямой, значит ее вектор нормали является направляющим вектором прямой . Запишем общее уравнение плоскости в координатной форме (табл. 3.