10 задач (решение)

Вариант № 1

1. Из 100 изделий, среди которых имеется 6 нестандартных, вы¬браны случайным образом 6 изделий для проверки их качества. Опреде¬лить вероятность того, что среди выбранных 6 изделий окажется ровно 1 нестандартное изделие, используя классическое определение вероят¬ности, формулу Бернулли, формулу Пуассона и локальную теорему Ла¬пласа.
2. Система Sсостоит из четырех независимых подсистем Sa, Sb, Scи Sd.Неисправность хотя бы одной подсистемы ведет к неисправности всей системы (подсистемы соединены последовательно). Подсистемы Saи Sbсостоят из двух независимых дублирующих блоков akи bk(к = 1,2) (схема параллельного подсоединения блоков в подсистемах).

Найти надежность системы - вероятность того, что система будет исправна в течение некоторого времени, если известны надежности бло ...

Вариант № 1

1. Из 100 изделий, среди которых имеется 6 нестандартных, вы¬браны случайным образом 6 изделий для проверки их качества. Опреде¬лить вероятность того, что среди выбранных 6 изделий окажется ровно 1 нестандартное изделие, используя классическое определение вероят¬ности, формулу Бернулли, формулу Пуассона и локальную теорему Ла¬пласа.
2. Система Sсостоит из четырех независимых подсистем Sa, Sb, Scи Sd.Неисправность хотя бы одной подсистемы ведет к неисправности всей системы (подсистемы соединены последовательно). Подсистемы Saи Sbсостоят из двух независимых дублирующих блоков akи bk(к = 1,2) (схема параллельного подсоединения блоков в подсистемах).

Найти надежность системы - вероятность того, что система будет исправна в течение некоторого времени, если известны надежности блоков Р(ак) = 0.8, P(bk) = 0.9, P(c) = 0.99, P(d) = 0.95.
3. Дана система из двух блоков а и b, соединенных последова¬тельно в смысле надежности. Каждый из двух блоков может работать независимо от другого в трех разных режимах. Вероятность наступле¬ния первого режима 0.2, второго 0.5, третьего 0.3. Надежность работы первого блока в 1 - м, 2 - м, 3 - м режимах равна соответственно 0.9; 0.8; 0.7. Надежность работы второго блока в 1 - м, 2 - м, 3 - м режимах равна соответственно 0.9; 0.9; 0.8. Найти надежность системы, если блоки независимы.4. Передается 6 сообщений по каналу связи. Каждое сообщение с вероятностью p= 0.2 независимо от других искажается. Случайная ве¬личина Х - число искаженных сообщений. Построить ее законы распре¬деления, их графики, найти ее числовые характеристики. Найти вероят¬ность того, что будет искажено не менее двух сообщений.
Задана плотность распределения f(x)случайной величины Х:

f(x)={■(2A cos⁡2x,&если |x|≤π/,&если |x|≥π/4)┤

Требуется найти коэффициент А, построить график плотности рас¬пределения f(x),найти функцию распределения F(x)и построить ее гра¬фик, найти вероятность попадания величины Х на участок от 0 до 0.5. Найти числовые характеристики случайной величины Х.
6. По выборке объема n = 100 построен рядраспределения:

Xi 1 3 5 7 9 11 13
Pi 0.07 0.09 0.14 0.21 0.25 0.18 0.06

Построить гистограмму, полигон и эмпирическую функцию рас-пределения. Найти точечные оценки математического ожидания, дис¬персии, среднеквадратичного отклонения, асимметрии и эксцесса.
Какова вероятность того, что среднеарифметическое из n= 16 измерений для выборки из нормального распределения отличается от истинного значения не более, чем на ε = 2, если 1) σ = 4, 2) s= 4.
8. По результатам эксперимента получена таблица наблюденийсистемы случайных величин (X,Y):

Y X
1 2 3 4 5 6
-1 0.02 0.025 0.03 0.02 0.0 0.0
-2 0.0 0.10 0.06 0.12 0.02 0.0
-3 0.0 0.0 0.05 0.09 0.13 0.03
-4 0.0 0.0 0.01 0.05 0.065 0.09
-5 0.0 0.0 0.0 0.02 0.04 0.03

Оценить данную матрицу распределения (X, Y)на регрессию видовf(x) = А0 + A1xи f(x)=А0 + A1x + A2x2.
По двум независимым выборкам объемов nx=12 и ny=8нор¬мальных распределений найдены выборочные значениями математиче¬ских ожиданий x ̅=15.3 и y ̅=16.5и исправленные выборочные дисперсии s_x^2=0.47 и s_y^2=0.54. При уровне значимости проверить нулевую гипотезу H_0:m_X=m_y при конкурирующей гипотезе H_1:m_X По критерию Пирсона при уровне значимости α= 0.025 прове¬рить гипотезу о распределении случайной величины Х по показатель¬ному закону, если задано nk попаданий выборочных значений случайной величины Х в подинтервалQk = (ak, bk ):

Qk 0 - 2 2 - 4 4 - 6 6 - 8 8 - 10 10 - 12
nk 60 25 7 5 2 1

Вариант № 1

1. Из 100 изделий, среди которых имеется 6 нестандартных, вы¬браны случайным образом 6 изделий для проверки их качества. Опреде¬лить вероятность того, что среди выбранных 6 изделий окажется ровно 1 нестандартное изделие, используя классическое определение вероят¬ности, формулу Бернулли, формулу Пуассона и локальную теорему Ла¬пласа.
2. Система Sсостоит из четырех независимых подсистем Sa, Sb, Scи Sd.Неисправность хотя бы одной подсистемы ведет к неисправности всей системы (подсистемы соединены последовательно). Подсистемы Saи Sbсостоят из двух независимых дублирующих блоков akи bk(к = 1,2) (схема параллельного подсоединения блоков в подсистемах).

Найти надежность системы - вероятность того, что система будет исправна в течение некоторого времени, если известны надежности бло ков Р(ак) = 0.8, P(bk) = 0.9, P(c) = 0.99, P(d) = 0.95.
3. Дана система из двух блоков а и b, соединенных последова¬тельно в смысле надежности. Каждый из двух блоков может работать независимо от другого в трех разных режимах. Вероятность наступле¬ния первого режима 0.2, второго 0.5, третьего 0.3. Надежность работы первого блока в 1 - м, 2 - м, 3 - м режимах равна соответственно 0.9; 0.8; 0.7. Надежность работы второго блока в 1 - м, 2 - м, 3 - м режимах равна соответственно 0.9; 0.9; 0.8. Найти надежность системы, если блоки независимы.4. Передается 6 сообщений по каналу связи. Каждое сообщение с вероятностью p= 0.2 независимо от других искажается. Случайная ве¬личина Х - число искаженных сообщений. Построить ее законы распре¬деления, их графики, найти ее числовые характеристики. Найти вероят¬ность того, что будет искажено не менее двух сообщений.
Задана плотность распределения f(x)случайной величины Х:

f(x)={■(2A cos⁡2x,&если |x|≤π/[email protected],&если |x|≥π/4)┤

Требуется найти коэффициент А, построить график плотности рас¬пределения f(x),найти функцию распределения F(x)и построить ее гра¬фик, найти вероятность попадания величины Х на участок от 0 до 0.5. Найти числовые характеристики случайной величины Х.
6. По выборке объема n = 100 построен рядраспределения:

Xi 1 3 5 7 9 11 13
Pi 0.07 0.09 0.14 0.21 0.25 0.18 0.06

Построить гистограмму, полигон и эмпирическую функцию рас-пределения. Найти точечные оценки математического ожидания, дис¬персии, среднеквадратичного отклонения, асимметрии и эксцесса.
Какова вероятность того, что среднеарифметическое из n= 16 измерений для выборки из нормального распределения отличается от истинного значения не более, чем на ε = 2, если 1) σ = 4, 2) s= 4.
8. По результатам эксперимента получена таблица наблюденийсистемы случайных величин (X,Y):

Y X
1 2 3 4 5 6
-1 0.02 0.025 0.03 0.02 0.0 0.0
-2 0.0 0.10 0.06 0.12 0.02 0.0
-3 0.0 0.0 0.05 0.09 0.13 0.03
-4 0.0 0.0 0.01 0.05 0.065 0.09
-5 0.0 0.0 0.0 0.02 0.04 0.03

Оценить данную матрицу распределения (X, Y)на регрессию видовf(x) = А0 + A1xи f(x)=А0 + A1x + A2x2.
По двум независимым выборкам объемов nx=12 и ny=8нор¬мальных распределений найдены выборочные значениями математиче¬ских ожиданий x ̅=15.3 и y ̅=16.5и исправленные выборочные дисперсии s_x^2=0.47 и s_y^2=0.54. При уровне значимости проверить нулевую гипотезу H_0:m_X=m_y при конкурирующей гипотезе H_1:m_X<m_y.
По критерию Пирсона при уровне значимости α= 0.025 прове¬рить гипотезу о распределении случайной величины Х по показатель¬ному закону, если задано nk попаданий выборочных значений случайной величины Х в подинтервалQk = (ak, bk ):

Qk 0 - 2 2 - 4 4 - 6 6 - 8 8 - 10 10 - 12
nk 60 25 7 5 2 1

81; P(A|H8)=0.9*0.8=0.72; P(A|H9)=0.56Воспользуемся формулой полной вероятности:PA=iP(H1)∙P(A|H1)PA=0.6963Передается 6 сообщений по каналу связи. Каждое сообщение с вероятностью p = 0.2 независимо от других искажается. Случайная величина Х - число искаженных сообщений. Построить ее законы распределения, их графики, найти ее числовые характеристики. Найти вероятность того, что будет искажено не менее двух сообщений.Решение:Случайная величина Х имеет биномиальное распределениеPX=m=Cnmpm(1-p)n-m, Cnm=n!m!n-m!PX=0=0.86=0.262144PX=1=C610.210.85=0.393216PX=2=C620.220.84=15*0.220.84=0.24576PX=3=C630.230.83=20*0.230.83=0.08192PX=4=C640.240.82=15*0.240.82=0.01536PX=5=C650.250.81=0.001536PX=6=0.26=0.000064Составим закон распределения:Xi0123456Pi0.2621440.3932160.245760.081920.015360.0015360.000064Построим полигон относительных частот:Поскольку случайная величина имеет биномиальное распределение, тоMx=np=6*0.2=1.2Dx=npq=1.2*0.8=0.96σ=Dx≈0.9798Пусть A - искажено не менее двух сообщений, тогдаPA=1-PX=0-PX=1=1-0.262144-0.393216=0.34464Задана плотность распределения f(x) случайной величины Х:fx=2Acos2x,если x≤π/40,если x≥π/4Требуется найти коэффициент А, построить график плотности распределения f(x), найти функцию распределения F(x) и построить ее график, найти вероятность попадания величины Х на участок от 0 до 0.5. Найти числовые характеристики случайной величины Х.Решение: отметим, что fx – чётная функция, по условию нормировки-∞+∞f(x)dx=120π/42Acos2xdx=14A2sin2x0π/4=2A⟹A=1/2Найдём функцию распределенияFx=-∞xfxdx=-π/4xcos2xdx=sin2x2-π/4x=sin2x+12, если x≤π/4Fx=0,x≤-π/4sin2x+12-π/4&lt;x≤π/41,x&gt;π/4Найдём математическое ожиданиеMx=-∞+∞xfxdx=-π/4π/4xcos2xdx=0, (интеграл от нечётной функции)Dx=-∞+∞x-Mx2fxdx=-π/4π/4x2cos2xdx=20π/4x2cos2xdx==x2sin2x0π4-0π42xsin2xdx=π42+xcos2x0π4-0π4cos2xdx=π42-sin2x20π4==π42-sin2x20π4=π42-12≈0.11685.σ=Dx≈0.3418Вероятность P0&lt;X&gt;0.5=F0.5-F0=12sin1-sin0≈0.4207По выборке объема n = 100 построен ряд распределения:Xi135791113Pi0.070.090.140.210.250.180.06Построить гистограмму, полигон и эмпирическую функцию распределения. Найти точечные оценки математического ожидания, дисперсии, среднеквадратичного отклонения, асимметрии и эксцесса.Решение: строим гистограмму:Многоугольник распределения:Эмпирическая функция распределения:Для вычисления числовых характеристик произведём вычисления:Xi135791113СуммыPi0,070,090,140,210,250,180,060,070,270,71,472,251,980,787,52-6,52-4,52-2,52-0,521,483,485,48 2,9757281,8387360,8890560,0567840,54762,1798721,80182410,2896-19,40174656-8,31108672-2,24042-0,029530,8104487,5859559,87399552-11,7124126,499387637,566111975,6458610,0153541,19946326,3991254,10949545251,4348Математическое ожидание: Дисперсия:Среднее квадратическое отклонение:σ x=Dx≈3.21Коэффициент асимметрииA=ixi-Mx3piσ3=-11.71243.213=-0.355Коэффициент эксцессаE=ixi-Mx4piσ4-3=251.43483.214-3=-0.625Какова вероятность того, что среднеарифметическое из n = 16 измерений для выборки из нормального распределения отличается от истинного значения не более, чем на ε = 2, если 1) σ = 4, 2) s = 4.Решение: 1) в случае известной дисперсии σ величина предельного отклонения от среднего значения вычисляется какε= где - квантиль нормального распределения, определяемая из таблиц по заданной доверительной вероятности : Фuα2=P2.Следовательно, uα2=εnσ=2∙164=2Ф2=0.4772=P2⟹P=0.95442) в случае неизвестной дисперсии s определяется по выборке, тогда величина предельного отклонения от среднего значения вычисляется какε= где - квантиль распределения Стьюдента (двусторонняя критическая область), определяемая из таблиц по заданной доверительной вероятности и числу степеней свободы .Следовательно, tα/2;n-1=εns=2∙164=2tα/2;15=2⟹α≈0.0639, P=1-α=0.9361(Здесь использовали функцию Microsoft Excel СТЬЮДЕНТ.РАСП.2Х(2; 15))По результатам эксперимента получена таблица наблюдений системы случайных величин (X, Y):YX123456-10.020.0250.030.020.00.0-20.00.100.060.120.020.0-30.00.00.050.090.130.03-40.00.00.010.050.0650.09-50.00.00.00.020.040.03Оценить данную матрицу распределения (X, Y) на регрессию видов f(x) = А0 + A1x и f(x) = А0 + A1x + A2x2.Решение:Для более удобного расчёта примем число испытаний n=1000 и запишем таблицу частот. Найдём ixi, ixi2, ixi3, ixi4, ixi2yi, ixiyi, iyiixi=4095; iyi=-2905.