3 задания (решение)

ВАРИАНТ 5.
Задача 1.
По данным, представленным в таблице 14, изучается зависимость чистой при-были предприятия Y (млрд. долл.) от следующих переменных: X1 – оборот капитала, млрд. долл.; Х2 – численность служащих, тыс. чел.; Х3 – рыночная капитализация компании, млрд. долл.
Таблица 14
Месяц Y X1 X2 X3
1 0,9 31,3 43 40,9
2 1,7 13,4 64,7 40,5
3 0,7 4,5 24 38,9
4 1,7 10 50,2 38,5
5 2,6 20 106 37,3
6 1,3 15 96,6 26,5
7 4,1 137,1 347 37
8 1,6 17,9 85,6 36,8
9 6,9 165,4 745 36,3
10 0,4 2 4,1 35,3
11 1,3 6,8 26,8 35,3
12 1,9 27,1 42,7 35
13 1,9 13,4 61,8 26,2
14 1,4 9,8 212 33,1
15 0,4 19,5 105 32,7
16 0,8 6,8 33,5 32,1
17 1,8 27 142 30,5
18 0,9 12,4 96 29,8
19 1,1 17,7 140 25,4
20 1,9 12,7 59,3 29,3
21 0,9 21,4 13 ...

ВАРИАНТ 5.
Задача 1.
По данным, представленным в таблице 14, изучается зависимость чистой при-были предприятия Y (млрд. долл.) от следующих переменных: X1 – оборот капитала, млрд. долл.; Х2 – численность служащих, тыс. чел.; Х3 – рыночная капитализация компании, млрд. долл.
Таблица 14
Месяц Y X1 X2 X3
1 0,9 31,3 43 40,9
2 1,7 13,4 64,7 40,5
3 0,7 4,5 24 38,9
4 1,7 10 50,2 38,5
5 2,6 20 106 37,3
6 1,3 15 96,6 26,5
7 4,1 137,1 347 37
8 1,6 17,9 85,6 36,8
9 6,9 165,4 745 36,3
10 0,4 2 4,1 35,3
11 1,3 6,8 26,8 35,3
12 1,9 27,1 42,7 35
13 1,9 13,4 61,8 26,2
14 1,4 9,8 212 33,1
15 0,4 19,5 105 32,7
16 0,8 6,8 33,5 32,1
17 1,8 27 142 30,5
18 0,9 12,4 96 29,8
19 1,1 17,7 140 25,4
20 1,9 12,7 59,3 29,3
21 0,9 21,4 131 29,2
22 1,3 13,5 70,7 29,2
23 2 13,4 65,4 29,1
24 0,6 4,2 23,1 27,9
25 0,7 15,5 80,8 27,2
Задание:
1. Для заданного набора данных построить линейную модель множественной регрессии. Оценить точность и адекватность построенного уравнения регрессии.
2. Выделить значимые и незначимые факторы в модели. Построить уравне-ние регрессии со статистически значимыми факторами. Дать экономическую интер-претацию параметров модели.
3. Для полученной модели проверить выполнение условия гомоскедастично-сти остатков, применив тест Голдфельда-Квандта.
4. Проверить полученную модель на наличие автокорреляции остатков с по-мощью теста Дарбина-Уотсона.
5. Проверить, адекватно ли предположение об однородности исходных дан-ных в регрессионном смысле. Можно ли объединить две выборки (по первым 15 и ос-тальным 10 наблюдениям) в одну и рассматривать единую модель регрессии Y по X?
Задача 2.
Производственная функция Кобба-Дугласа характеризуется следующим урав-нением:
lgY = -0,15 + 0,35∙lgK + 0,72∙lgL + εt.
(0,43) (0,06) (0,15)
В скобках указаны значения стандартных ошибок для коэффициентов регрес-сии. R2 = 0,97, F = 254,9.

Задание:
1. Оценить значимость коэффициентов модели по t-критерию Стьюдента и сделать вывод о целесообразности включения факторов в модель;
2. Записать уравнение в степенной форме и дать интерпретацию результа-тов;
3. Что можно сказать об эффекте от масштабов производства?
Задача 3.
Структурная форма модели имеет вид:

Известно, что приведенная форма имеет вид:

Задание:
1. Выбрать метод определения структурных коэффициентов модели. Выбор
обосновать.
2. Определить возможные структурные коэффициенты на основе приведенной
формы модели.

ВАРИАНТ 5.
Задача 1.
По данным, представленным в таблице 14, изучается зависимость чистой при-были предприятия Y (млрд. долл.) от следующих переменных: X1 – оборот капитала, млрд. долл.; Х2 – численность служащих, тыс. чел.; Х3 – рыночная капитализация компании, млрд. долл.
Таблица 14
Месяц Y X1 X2 X3
1 0,9 31,3 43 40,9
2 1,7 13,4 64,7 40,5
3 0,7 4,5 24 38,9
4 1,7 10 50,2 38,5
5 2,6 20 106 37,3
6 1,3 15 96,6 26,5
7 4,1 137,1 347 37
8 1,6 17,9 85,6 36,8
9 6,9 165,4 745 36,3
10 0,4 2 4,1 35,3
11 1,3 6,8 26,8 35,3
12 1,9 27,1 42,7 35
13 1,9 13,4 61,8 26,2
14 1,4 9,8 212 33,1
15 0,4 19,5 105 32,7
16 0,8 6,8 33,5 32,1
17 1,8 27 142 30,5
18 0,9 12,4 96 29,8
19 1,1 17,7 140 25,4
20 1,9 12,7 59,3 29,3
21 0,9 21,4 13 1 29,2
22 1,3 13,5 70,7 29,2
23 2 13,4 65,4 29,1
24 0,6 4,2 23,1 27,9
25 0,7 15,5 80,8 27,2
Задание:
1. Для заданного набора данных построить линейную модель множественной регрессии. Оценить точность и адекватность построенного уравнения регрессии.
2. Выделить значимые и незначимые факторы в модели. Построить уравне-ние регрессии со статистически значимыми факторами. Дать экономическую интер-претацию параметров модели.
3. Для полученной модели проверить выполнение условия гомоскедастично-сти остатков, применив тест Голдфельда-Квандта.
4. Проверить полученную модель на наличие автокорреляции остатков с по-мощью теста Дарбина-Уотсона.
5. Проверить, адекватно ли предположение об однородности исходных дан-ных в регрессионном смысле. Можно ли объединить две выборки (по первым 15 и ос-тальным 10 наблюдениям) в одну и рассматривать единую модель регрессии Y по X?
Задача 2.
Производственная функция Кобба-Дугласа характеризуется следующим урав-нением:
lgY = -0,15 + 0,35∙lgK + 0,72∙lgL + εt.
(0,43) (0,06) (0,15)
В скобках указаны значения стандартных ошибок для коэффициентов регрес-сии. R2 = 0,97, F = 254,9.

Задание:
1. Оценить значимость коэффициентов модели по t-критерию Стьюдента и сделать вывод о целесообразности включения факторов в модель;
2. Записать уравнение в степенной форме и дать интерпретацию результа-тов;
3. Что можно сказать об эффекте от масштабов производства?
Задача 3.
Структурная форма модели имеет вид:

Известно, что приведенная форма имеет вид:

Задание:
1. Выбрать метод определения структурных коэффициентов модели. Выбор
обосновать.
2. Определить возможные структурные коэффициенты на основе приведенной
формы модели.

0,8
1,12
0,317
0,100
42,7
1,9
1,38
-0,518
0,268
43,0
0,9
1,39
0,491
0,241
50,2
1,7
1,60
-0,101
0,010
59,3
1,9
1,86
-0,039
0,002
Сумма
0,848
Уравнения
X2
Y
Yp
e
e2
Y = 0,229 + 0,009x2
96,6
1,3
1,11
-0,191
0,037
105
0,4
1,19
0,785
0,617
106
2,6
1,19
-1,406
1,976
131
0,9
1,42
0,522
0,273
140
1,1
1,50
0,404
0,163
142
1,8
1,52
-0,278
0,077
212
1,4
2,16
0,760
0,577
347
4,1
3,39
-0,711
0,505
745
6,9
7,01
0,114
0,013
Сумма
4,237
Результаты данной таблицы получены с помощью инструмента Регрессия поочередно к каждой из полученных совокупностей.
Найдем отношение полученных остаточных сумм квадратов (в числителе должна быть большая сумма):
Fнабл = 4,237 : 0,848  5.
Вывод о наличии гомоскедастичности остатков делаем с помо­щью F-критерия Фишера с уровнем значимости  = 0,05 и двумя одинаковыми степенями свободы:
где p – число параметров уравнения регрессии:
Fтабл(0,05; 9; 9) = 3,18.
Поскольку Fнабл > F, гипотеза об однородности выборочной дисперсии должна быть отвергнута, т.е. в остатках присутствует гетероскедастичность.
Проверим полученную модель на наличие автокорреляции остатков с помощью теста Дарбина-Уотсона.
В нашем случае число наблюдений равно n = 25. Число переменных в модели равно 1.
По таблице приложения 1 находим: = 1,288 и = 1,454.
Проверим независимость по критерию Дарбина-Уотсона.
Составим вспомогательную таблицу.
№
y
x2
1
0,9
43,0
1,06
-0,158
0,025
2
1,7
64,7
1,23
0,467
0,218
0,391
3
0,7
24,0
0,91
-0,206
0,042
0,452
4
1,7
50,2
1,12
0,584
0,341
0,623
5
2,6
106,0
1,57
1,034
1,070
0,203
6
1,3
96,6
1,49
-0,190
0,036
1,499
7
4,1
347,0
3,51
0,595
0,354
0,615
8
1,6
85,6
1,40
0,199
0,039
0,157
9
6,9
745,0
6,71
0,191
0,036
0,000
10
0,4
4,1
0,75
-0,345
0,119
0,288
11
1,3
26,8
0,93
0,372
0,138
0,514
12
1,9
42,7
1,06
0,844
0,712
0,223
13
1,9
61,8
1,21
0,690
0,476
0,024
14
1,4
212,0
2,42
-1,019
1,038
2,921
15
0,4
105,0
1,56
-1,158
1,340
0,019
16
0,8
33,5
0,98
-0,182
0,033
0,952
17
1,8
142,0
1,86
-0,055
0,003
0,016
18
0,9
96,0
1,49
-0,585
0,342
0,281
19
1,1
140,0
1,84
-0,739
0,546
0,024
20
1,9
59,3
1,19
0,710
0,505
2,101
21
0,9
131,0
1,77
-0,867
0,751
2,487
22
1,3
70,7
1,28
0,019
0,000
0,784
23
2,0
65,4
1,24
0,761
0,579
0,552
24
0,6
23,1
0,90
-0,298
0,089
1,123
25
0,7
80,8
1,36
-0,663
0,439
0,133
Сумма
40,8
2856,3
9,27
16,380
Среднее
1,63
114,25
Получаем:
Сформулируем гипотезы:
H0 – в остатках нет автокорреляции;
H1 – в остатках есть положительная автокорреляция;
H1* – в остатках есть отрицательная автокорреляция.
Зададим уровень значимости  = 0,05. По таблице значений критерия Дарбина-Уотсона определим для числа наблюдений n = 25 и числа независимых переменных модели k = 3 критические значения dL = 1,288 и dU = 1,454. Получим следующие промежутки внутри интервала [0; 4]: (0; dL); (dL; dU); (dU; 4 – dU);(4 – dU; 4 – dL); (4 – dL; 4);
Есть автокорреляция
Область неопределенности
Нет автокорреляции
Область неопределенности
Есть автокорреляция
------------------
1,288
--------------------
1,454
-------------------
2,546
--------------------
2,712
-------------------
Поскольку расчетное значение критерия Дарбина-Уотсона d = 0,915 попадает в интервал (1,454; 2,546), то принимается гипотеза H0 – в остатках нет автокорреляции.
Для проверки предположения об однородности исходных данных применим тест Чоу.
Разделим совокупность наблюдений на две группы по 15 и 10 наблюдений. Определим для каждой группы уравнение регрессии и остаточную сумму квадратов.
Уравнения
X2
Y
Yp
e2
Y = 0,839 + 0,008x2
43,0
0,9
1,19
0,081
64,7
1,7
1,36
0,116
24,0
0,7
1,03
0,110
50,2
1,7
1,24
0,209
106,0
2,6
1,69
0,824
96,6
1,3
1,62
0,100
347,0
4,1
3,63
0,219
85,6
1,6
1,53
0,005
745,0
6,9
6,83
0,004
4,1
0,4
0,87
0,223
26,8
1,3
1,05
0,060
42,7
1,9
1,18
0,514
61,8
1,9
1,34
0,317
212,0
1,4
2,55
1,312
105,0
0,4